1、物理 課標(biāo)版,第4講追及與相遇問題,考點(diǎn)一對(duì)追及和相遇問題的理解及應(yīng)用 1.追及和相遇問題概述 當(dāng)兩個(gè)物體在同一條直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),由于兩物體的運(yùn)動(dòng)情況不同,所以兩物體之間的距離會(huì)不斷發(fā)生變化,兩物體間距越來越大或越來越小時(shí),就會(huì)涉及追及、相遇或避免碰撞等問題。,2.追及問題的兩類情況 (1)若后者能追上前者,則追上時(shí),兩者處于同一位置,后者的速度一定不小于前者的速度。 (2)若后者追不上前者,則當(dāng)后者的速度與前者速度相等時(shí),兩者相距 最近。 3.相遇問題的常見情況 (1)同向運(yùn)動(dòng)的兩物體追及即相遇。 (2)相向運(yùn)動(dòng)的兩物體,當(dāng)各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時(shí)兩物體的距離時(shí)即相遇。,(1)同一直線

2、上運(yùn)動(dòng)的兩物體,后者若追上前者,后者速度必須不小于前者。() (2)同一直線上運(yùn)動(dòng)的兩物體,速度相等時(shí),兩物體相距最遠(yuǎn)或最近。 () (3)相向運(yùn)動(dòng)的物體各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時(shí)二者間距時(shí)即相遇。() (4)兩物體同向運(yùn)動(dòng)恰好不相碰,則此時(shí)兩物體速度相等。() 答案(1)(2)(3)(4),1.追及相遇問題中的兩個(gè)關(guān)系和一個(gè)條件 (1)兩個(gè)關(guān)系:即時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系,這兩個(gè)關(guān)系可通過畫草圖得到。 (2)一個(gè)條件:即兩者速度相等,它往往是物體間能否追上或(兩者)距離最大、最小的臨界條件,也是分析判斷的切入點(diǎn)。 2.追及相遇問題常見的情況 物體A追物體B,開始時(shí),兩個(gè)物體相距x0。 (1)

3、A追上B時(shí),必有xA-xB=x0,且vAvB; (2)要使兩物體恰好不相撞,必有xA-xB=x0,且vA=vB; (3)若使物體肯定不相撞,則由vA=vB時(shí),xA-xBx0,且之后vAvB。,注意在解決追及、相遇類問題時(shí),要緊抓“一圖三式”,即:過程示 意圖,時(shí)間關(guān)系式、速度關(guān)系式和位移關(guān)系式。最后還要注意對(duì)結(jié)果的討論分析。 分析追及、相遇類問題時(shí),要注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼,充分挖掘題目中的隱含條件,如“剛好”“恰好”“最多”“至少”等,往往對(duì)應(yīng)一個(gè)臨界狀態(tài),滿足相應(yīng)的臨界條件。,1-1(2016安徽示范高中聯(lián)考改編)2016年9月29日,受颶風(fēng)“鲇魚”影響,福建多地暴雨,嚴(yán)重影響了道路交通

4、安全。某高速公路同一直線車道上同向勻速行駛的轎車和貨車,其速度大小分別為v1=40 m/s,v2=25 m/s,轎車在與貨車距離s0=22 m 時(shí)才發(fā)現(xiàn)前方有貨車,若此時(shí)轎車只是立即剎車,則轎車要經(jīng)過s=160 m才能停下來。兩車可視為質(zhì)點(diǎn) (1)若轎車剎車時(shí)貨車以v2勻速行駛,通過計(jì)算分析兩車是否會(huì)相撞? (2)若轎車在剎車的同時(shí)給貨車發(fā)信號(hào),貨車司機(jī)經(jīng)t0=2 s收到信號(hào)并立即以加速度大小a2=2.5 m/s2加速前進(jìn),通過計(jì)算分析兩車會(huì)不會(huì)相撞?,得t1=3 s 3 s內(nèi)轎車前進(jìn)的距離s1=t1=97.5 m 3 s內(nèi)貨車前進(jìn)的距離s2=v2t1=75 m 因?yàn)閟1-s2=22.5 ms

5、0,故兩車會(huì)相撞。 (2)假設(shè)經(jīng)過時(shí)間t后,兩車的速度相等,則v1-a1t=v2+a2(t-t0) 此時(shí)轎車前進(jìn)的距離s1=v1t-a1t2 貨車前進(jìn)的距離s2=v2t+a2(t-t0)2 解得s1= m,s2= m,因?yàn)閟1-s2=21.7 ms0,兩車不會(huì)相撞。,答案見解析 解析(1)由=2a1s得轎車剎車加速度大小為a1=5 m/s2 兩車恰好不相撞時(shí)速度相等,即v1-a1t1=v2,1-2一輛汽車在十字路口等候綠燈,當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以3.0 m/s2的加速度由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng),恰在這時(shí),某人騎一輛自行車以6.0 m/s的速度勻速駛來,從后邊超過汽車。求: (1)汽車追上自行車之前

6、,兩者間的最大距離; (2)汽車啟動(dòng)后追上自行車所需的時(shí)間。 答案(1)6.0 m(2)4.0 s 解析(1)當(dāng)v汽=v自=6.0 m/s時(shí),兩者距離最大。則從自行車超過汽車到兩者距離最大的時(shí)間t=2.0 s 這段時(shí)間內(nèi)汽車和自行車運(yùn)動(dòng)的距離分別為s自=v自t=12.0 m,s汽=at2=6.0 m 所以它們間的最大距離 xm=s自-s汽=6.0 m (2)設(shè)汽車追上自行車所需時(shí)間為t。這段時(shí)間內(nèi)汽車和自行車運(yùn)動(dòng)的距離分別為 s自=v自t s汽=at2 又因?yàn)閟自=s汽 解得t=4.0 s,方法指導(dǎo) 解答追及相遇問題的關(guān)鍵是尋找問題中隱含的臨界條件,例如速度小者加速追趕速度大者,在兩物體速度相

7、等時(shí)有最大距離;速度大者減速追趕速度小者,若追不上則在兩物體速度相等時(shí)有最小距離。在此基礎(chǔ)上要掌握好兩個(gè)基本解題思路: 思路一:先求出在任意時(shí)刻t兩物體間的距離y=f(t),若對(duì)任何t,均存在f(t)0,則這兩個(gè)物體永遠(yuǎn)不能相遇;若存在某個(gè)時(shí)刻t,使得y=f(t)0,則這兩個(gè)物體能相遇。 思路二:設(shè)兩物體在t時(shí)刻相遇,然后根據(jù)位移關(guān)系列出關(guān)于t的方程f(t)=0,若方程f(t)=0無正實(shí)數(shù)解,則說明這兩個(gè)物體不可能相遇;若方程f(t)=0存在正實(shí)數(shù)解,說明這兩個(gè)物體能相遇。,考點(diǎn)二應(yīng)用圖像分析追及相遇問題 (1)兩條v-t圖線的交點(diǎn)表示兩個(gè)物體相遇。() (2)兩條x-t圖線的交點(diǎn)表示兩個(gè)物體

8、相遇。() (3)x-t圖像和v-t圖像不表示物體運(yùn)動(dòng)的軌跡。() 答案(1)(2)(3),通過圖像可以很直觀反映物體運(yùn)動(dòng)參量間的相關(guān)關(guān)系,下面表格中為常見的追及運(yùn)動(dòng)模型,要認(rèn)真理解并能靈活應(yīng)用到具體問題中。 1.速度小者追速度大者,2.速度大者追速度小者,說明(1)表中的x是開始追趕以后,后面物體因速度大而比前面物體 多運(yùn)動(dòng)的位移; (2)x0是開始追趕以前兩物體之間的距離; (3)t2-t0=t0-t1; (4)v1是前面物體的速度,v2是后面物體的速度。,2-1(2016課標(biāo),21,6分)(多選)甲、乙兩車在平直公路上同向行駛,其v-t圖像如圖所示。已知兩車在t=3 s時(shí)并排行駛,則()

9、 A.在t=1 s時(shí),甲車在乙車后 B.在t=0時(shí),甲車在乙車前7.5 m C.兩車另一次并排行駛的時(shí)刻是t=2 s D.甲、乙車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為40 m,行駛,此時(shí)x甲=a甲t2=1032 m=45 m,x乙=v0t+a乙t2=103 m+532 m= 52.5 m,所以t=0時(shí)甲車在前,距乙車的距離為L(zhǎng)=x乙-x甲=7.5 m,B項(xiàng)正確。t=1 s時(shí),x甲=a甲t2=5 m,x乙=v0t+a乙t2=12.5 m,此時(shí)x乙=x甲+L=12.5 m,所 以另一次并排行駛的時(shí)刻為t=1 s,故A、C項(xiàng)錯(cuò)誤;兩次并排行駛的位置沿公路方向相距L=x乙-x乙=40 m,故D項(xiàng)正

10、確。,答案BD由題中v-t圖像得a甲=10 m/s2,a乙=5 m/s2,兩車在t=3 s時(shí)并排,2-2(2016陜西漢中二模,24)在平直的公路上行駛的a車和b車,其位移時(shí)間圖像分別為圖中直線a和曲線b,已知b車的加速度恒定且ab=-2 m/s2,當(dāng)t=3 s時(shí),直線a和曲線b剛好相切,求:t=0 s時(shí)a車和b車的距離s0。 答案9 m 解析由圖可知:a車做勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度va= m/s=2 m/s 當(dāng)t=3 s時(shí),直線a和曲線b剛好相切,即此時(shí)b車的速度vb=va=2 m/s,設(shè)b車的初速度為vb,對(duì)b車有vb+abt=vb 解得vb=8 m/s 從t=0時(shí)刻起經(jīng)過3 s,a車和b車的位

11、移分別為: a車的位移sa=vat=6 m b車的位移sb=t=15 m 因t=3 s時(shí),a車和b車到達(dá)同一位置, 則t=0 s時(shí)a車和b車的距離s0=sb-sa=9 m,2-3在水平軌道上有兩列火車A和B,相距s,A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運(yùn)動(dòng),而B車同時(shí)做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng),兩車運(yùn)動(dòng)方向相同。要使兩車不相撞,求A車的初速度v0滿足什么條件。 答案v0 解析要使兩車不相撞,A車追上B車時(shí)其速度最大只能與B車相等。設(shè)A、B兩車從相距s到A車追上B車時(shí),A車的位移為sA、末速度為vA、所用時(shí)間為t,B車的位移為sB、末速度為vB,兩者運(yùn)動(dòng)過程如圖甲

12、所示,現(xiàn)用四種方法解答如下:,甲 解法一:(臨界法) 利用位移公式、速度公式求解。 對(duì)A車有sA=v0t+(-2a)t2 vA=v0+(-2a)t 對(duì)B車有sB=at2,vB=at 兩車有s=sA-sB,追上時(shí),兩車不相撞的臨界條件是vA=vB 聯(lián)立以上各式解得v0= 故要使兩車不相撞,A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是 v0。 解法二:(函數(shù)法)利用判別式求解,由解法一可知 sA=s+sB,即v0t+(-2a)t2=s+at2,整理得3at2-2v0t+2s=0,這是一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的一元二次方程,當(dāng)根的判別式=(-2v0)2-43a2s0時(shí),t無實(shí)數(shù)解,即兩車不相撞,所以要使兩車不相撞,A車的初

13、速度v0應(yīng)滿足的條件是 v0。 解法三:(圖像法)利用速度-時(shí)間圖像求解,先作A、B兩車的速度-時(shí)間圖像,其圖像如圖乙所示,設(shè)經(jīng)過t時(shí)間兩車剛好不相撞,則 乙,對(duì)A車有vA=v=v0-2at 對(duì)B車有vB=v=at 以上兩式聯(lián)立解得t= 經(jīng)t時(shí)間兩車發(fā)生的位移大小之差,即為原來兩車間的距離s,它可用圖中的陰影面積表示,由圖像可知 s=v0t=v0= 所以要使兩車不相撞,A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是 v0。 解法四:(相對(duì)運(yùn)動(dòng)法)巧選參考系求解。以B車為參考系,A車的初速度為v0,加速度為a=-2a-a=-3a。A車剛好追上B車的條件是:vt=0,這一過程A車相對(duì)于B車的位移為s,由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有-=2as,則,02-=2(-3a)s 所以v0= 即要使兩車不相撞,A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是 v0。,方法指導(dǎo) 1.在上面2-3的解析中: 解法一(臨界法)注重對(duì)運(yùn)動(dòng)過程的分析,抓住兩車間距離有極值時(shí)速度應(yīng)相等這一關(guān)鍵條件來求解;解法二(函數(shù)法)由位移關(guān)