1、2010屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 強化雙基系列課件,離散型隨機變量 的期望值和方差,一、基本知識概要：,1、期望的定義：,一般地，若離散型隨機變量的分布列為,則稱E=X1P1+X2P2+X3P3+XnPn+為的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，簡稱期望。,它反映了:離散型隨機變量取值的平均水平。,若=a+b(a、b為常數(shù))，則也是隨機變量，且E=aE+b。 E(c)= c,特別地，若B(n，P)，則E=nP,2、方差、標準差定義：,D=(X1-E)2P1+(X2-E)2P2+(Xn-E)2Pn+稱為隨機變量的方差。,D的算術(shù)平方根 =叫做隨機變量的標準差。,隨機變量的方差與標準差都反映了:隨機變量取值的穩(wěn)定與波動

2、、集中與離散的程度。,且有D(a+b)=a2D,可以證明D=E2- (E)2。,若B(n，p)，則D=npq，其中q=1-p.,3、特別注意：在計算離散型隨機變量的期望和方差時，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要準確應(yīng)用公式，特別是充分利用性質(zhì)解題，能避免繁瑣的運算過程，提高運算速度和準確度。,二、例題：,例1、（1）下面說法中正確的是 ( ),A離散型隨機變量的期望E反映了取值的概率的平均值。,B離散型隨機變量的方差D反映了取值的平均水平。,C離散型隨機變量的期望E反映了取值的平均水平。,D離散型隨機變量的方差D反映了取值的概率的平均值。,C,例1、（2）（2001年高考題）一個袋子里裝有

3、大小相同的3個紅球和2個黃球，從中同時取出兩個，則其中含紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望是 。,說明：近兩年的高考試題與考試說明中的“了解，會”的要求一致，此部分以重點知識的基本題型和內(nèi)容為主，突出應(yīng)用性和實踐性及綜合性。考生往往會因?qū)︻}意理解錯誤，或?qū)Ω拍?、公式、性質(zhì)應(yīng)用錯誤等，導(dǎo)致解題錯誤。,1.2,例2、設(shè) 是一個離散型隨機變量，其分布列如下表，試求E 、D,剖析：應(yīng)先按分布列的性質(zhì)，求出 的值后，再計算出E 、D 。,說明：解答本題時，應(yīng)防止機械地套用期望和方差的計算公式，出現(xiàn)以下誤解： E 。,練習(xí)：已知的分布列為,(1) 求E,D,，,(2) 若=2+3,求E,D,例3、人壽保險中（某一年齡段）

4、，在一年的保險期內(nèi)，每個被保險人需交納保險費 元，被保險人意外死亡則保險公司賠付3萬元，出現(xiàn)非意外死亡則賠付1萬元，經(jīng)統(tǒng)計此年齡段一年內(nèi)意外死亡的概率是 ，非意外死亡的概率為 ，則 需滿足什么條件，保險公司才可能盈利？,剖析：要使保險公司能盈利，需盈利數(shù) 的期望值大于0，故需求E 。,說明：（1）離散型隨機變量的期望表征了隨機變量取值的平均值,（2）本題中D 有什么實際意義？,例4：把4個球隨機地投入4個盒子中去，設(shè) 表示空盒子的個數(shù)，求E 、D,剖析：每個球投入到每個盒子的可能性是相等的，總的投球方法數(shù)為 ，空盒子的個數(shù)可能為0個，此時投球方法數(shù)為 ；空盒子的個數(shù)為1時，此時投球方法數(shù)為 ，

5、 。,例5、已知兩家工廠，一年四個季度上繳利稅如下：（單位：萬元）,試分析兩廠上繳利稅狀況，并予以說明。,說明：本題考查利用離散型隨機變量的方差與期望的知識，分析解決實際問題的能力。,例6、(1)設(shè)隨機變量具有分布列為P(=k)= (k=1，2，3，4，5，6)，求E、E(2+3)和D。,(2) 設(shè)隨機變量的分布列為P(=k)= (k=1，2，3，n)，求E和D。,(3)一次英語測驗由50道選擇題構(gòu)成，每道有4個選項，其中有且僅有一個是正確的，每個選對得3分，選錯或不選均不得分，滿分150分，某學(xué)生選對每一道題的概率為0.7，求該生在這次測驗中的成績的期望與方差。,說明：可根據(jù)離散型隨機變量的期望和方差的概念、公式及性質(zhì)解答。,三、課堂小結(jié)：,1、利用離散型隨機變量的方差與期望的知識，可以解決實際問題。利用所學(xué)知識分析和解決實際問題的題型，越來越成為高考的熱點，應(yīng)予重