1、第三節(jié) 唯一決定分式線性映射的條件,一、分式線性映射的確定,二、分式線性映射對(duì)圓域的映射,三、典型例題,四、小結(jié)與思考,課件,2,一、分式線性映射的確定,含有三個(gè)獨(dú)立的常數(shù),定理,只需給定三個(gè)條件就能決定一個(gè)分式線性映射.,課件,3,證,課件,4,所以三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)可唯一確定一個(gè)分式線性映射.,唯一性:,重復(fù)上述步驟, 仍得到相同形式的結(jié)果.,證畢,課件,5,二、分式線性映射對(duì)圓域的映射,1. 問題: 圓域內(nèi)部被映射成什么區(qū)域?,.,.,.,與一一對(duì)應(yīng)性 相矛盾.,課件,6,結(jié)論: 在分式線性映射下, C的內(nèi)部不是映射成,判別方法:,方法1,在分式線性映射下, 如果在圓周C內(nèi)任取,課件,7,方法2

2、,.,.,.,.,.,.,課件,8,若繞向相反, 則C,.,.,.,.,.,.,方法2,課件,9,.,.,.,.,.,.,若繞向相反, 則C,方法2,課件,10,2.分式線性映射對(duì)圓弧邊界區(qū)域的映射:,這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成一圓弧與 一直線所圍成的區(qū)域.,2) 當(dāng)二圓周上有一點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí),3) 當(dāng)二圓交點(diǎn)中的一個(gè)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí),這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映成角形區(qū)域.,1) 當(dāng)二圓周上沒有點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí),這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成二圓弧所 圍成的區(qū)域.,課件,11,三、典型例題,.,.,.,解,.,.,.,例1,課件,12,所求分式線性映射為,化簡得:,注意: 本題中如果

3、選取其他三對(duì)不同點(diǎn), 也能得,出滿足要求但不同于本題結(jié)果的分式線性映射.,可見, 把上半平面映射成單位圓的分式線性映射,不唯一, 有無窮多個(gè).,課件,13,另解:,設(shè)實(shí)軸映射成單位圓周,則所求映射具有下列形式:,.,.,.,課件,14,由于z為實(shí)數(shù)時(shí),上半平面映為單位圓的分式線性映射的一般形式,說明:,課件,15,解,依上題結(jié)論得,例2,課件,16,從而所求映射為,課件,17,解,.,.,.,例3,課件,18,因此可設(shè)所求分式線性映射為:,課件,19,故所求分式線性映射為:,課件,20,例4,解,依上題結(jié)論得,課件,21,所以所求映射為,課件,22,分析,上半平面,單位圓域,單位圓域,例5,課件,23,解 如圖示:,.,.,.,.,.,課件,24,于是所求的映射為,課件,25,四、小結(jié)與思考,分式線性映射是共形映射的一個(gè)重要內(nèi)容 , 應(yīng)熟練掌握并會(huì)應(yīng)用分式線性映射的各種性質(zhì)尋 找一些簡單而典型的區(qū)域之間的共形映射；掌握 上半平面到上半平面, 上半平面到單位圓