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1、一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法,第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)和全微分,偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù),如 在 處,解,證,解,例,證,有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明：,、,、,求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；,解,、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系,？,但函數(shù)在該點處并不連續(xù).,偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù).,一元函數(shù)中在某點可導(dǎo) 連續(xù)，,多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，,4、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,如圖,幾何意義:,純偏導(dǎo),混合偏導(dǎo),定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).,二、高階偏導(dǎo)數(shù),解,解,問題：,混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？,解,課堂思考題,思考題解答,不能.,例如,解,證,原結(jié)論成立,解,不存在,解,

2、解,解,由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得,三、全微分的定義,全增量的概念,全微分的定義,事實上,四、可微的條件,證,總成立,同理可得,一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在,多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在,？,例如，,則,當 時，,說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全 微分存在，,證,（依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）,同理,習(xí)慣上，記全微分為,全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù),通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理,疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況,解,所求全微分,解,解,所求全微分,證,多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系,證,令,則,同理,不存在.,證,五、復(fù)合函數(shù)的為分法：鏈式法則,上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況.,如,以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為全導(dǎo)數(shù).,解,上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：,鏈式法則如圖示,

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