1、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),任課教師: 夏小剛,聯(lián)系方式: ,主要參考書籍: 1. 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn), 趙靜, 但琦 2. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn), 蕭樹鐵 3. 數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用, 韓中庚 4. 數(shù)學(xué)建模導(dǎo)論, 陳理榮,數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 簡介,1、什么是數(shù)學(xué)模型？,數(shù)學(xué)模型是對于現(xiàn)實(shí)世界的一個特定對象，一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 簡單地說：就是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式（或是用數(shù)學(xué)術(shù)語對部分現(xiàn)實(shí)世界的描述），即用數(shù)學(xué)式子（如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來描述（表述、模擬）所研究的客觀對象或系統(tǒng)在某一方面的存在

2、規(guī)律。,一、名詞解釋,2、什么是數(shù)學(xué)建模?,數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一種實(shí)踐。即通過抽象、簡化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過程后，將實(shí)際問題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，建立起數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模所涉及的問題都是現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，范圍廣、學(xué)科多，包括工業(yè)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)、政治、經(jīng)濟(jì)、軍事、社會、管理、信息技術(shù)等方面。,觀點(diǎn)：“所謂高科技就是一種數(shù)學(xué)技術(shù)”,數(shù)學(xué)建模所涉及的學(xué)科知識也是非常廣泛的. 如微分方程、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、圖與網(wǎng)絡(luò)、 回歸分析、層次分析、量綱分析、機(jī)理分析、 規(guī)劃論、排隊(duì)論、對策論、決策論、插值方法、 差分方法、樣條方法、變分方法等優(yōu)化方法， 以及計(jì)算機(jī)的操作和編程。數(shù)學(xué)建

3、模所需要知識 首先是“廣”，其次才是“精”。, 數(shù)學(xué)建模其實(shí)并不是什么新東西，可以說有了數(shù)學(xué)并需要用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問題，就一定要用數(shù)學(xué)的語言、方法去近似地刻劃該實(shí)際問題，這種刻劃的數(shù)學(xué)表述的就是一個數(shù)學(xué)模型，其過程就是數(shù)學(xué)建模的過程。數(shù)學(xué)模型一經(jīng)提出，就要用一定的技術(shù)手段（計(jì)算、證明等）來求解并驗(yàn)證，其中大量的計(jì)算往往是必不可少的，高性能的計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使數(shù)學(xué)建模這一方法如虎添翼似的得到了飛速的發(fā)展，掀起一個高潮。 數(shù)學(xué)建模將各種知識綜合應(yīng)用于解決實(shí)際問題中，是培養(yǎng)和提高同學(xué)們應(yīng)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力的必備手段之一。,二、數(shù)學(xué)建模的一般方法和步驟 建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟并沒有一定的

4、模式，但一個理想的模型應(yīng)能反映系統(tǒng)的全部重要特征： 模型的可靠性和模型的使用性 建模的一般方法： 機(jī)理分析 測試分析方法 機(jī)理分析：根據(jù)對現(xiàn)實(shí)對象特性的認(rèn)識，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律，所建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義。 測試分析方法：將研究對象視為一個“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機(jī)理無法直接尋求，通過測量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，并以此為基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法，按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類模型中選出一個數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。 測試分析方法也叫做系統(tǒng)辯識。 將這兩種方法結(jié)合起來使用，即用機(jī)理分析方法建立模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)測試方法來確定模型的參數(shù)，也是常用的建模方法。,在實(shí)際過程中用那一種方法建模主

5、要是根據(jù)我們對研究對象的了解程度和建模目的來決定。機(jī)理分析法建模的具體步驟大致可見右圖。,建模過程示意圖,模型 數(shù)學(xué)模型的分類： 按研究方法和對象的數(shù)學(xué)特征分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型、擴(kuò)散模型等。 按研究對象的實(shí)際領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分：人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會模型等。,三、數(shù)學(xué)模型及其分類,四、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)軟件引入教學(xué)后 出現(xiàn)的新生事物，是數(shù)學(xué)教學(xué)體系、內(nèi)容和方 法改革的一項(xiàng)創(chuàng)造性的嘗試。在國家教育部關(guān) 于“高等教育面向21世紀(jì)教學(xué)內(nèi)容和課程體

6、系 改革”計(jì)劃中，已把“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”列為高校非 數(shù)學(xué)類專業(yè)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課之一。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)概括 地講包含兩部分內(nèi)容，即“數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)”和 “數(shù)學(xué)應(yīng)用的實(shí)驗(yàn)”?！皵?shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)”是用計(jì)算 機(jī)及有關(guān)的工具軟件解決數(shù)學(xué)問題；“數(shù)學(xué)應(yīng)用 的實(shí)驗(yàn)”是用計(jì)算機(jī)、工具軟件及數(shù)學(xué)知識和方 法求解其它學(xué)科領(lǐng)域的實(shí)際問題。,數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的區(qū)別與聯(lián)系,數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)都要用到計(jì)算機(jī)，但數(shù)學(xué) 建模課是讓學(xué)生學(xué)會利用數(shù)學(xué)知識和計(jì)算機(jī)來 解決實(shí)際問題，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課側(cè)重于在計(jì)算機(jī) 的幫助下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。一個是用數(shù)學(xué)，一個 是學(xué)數(shù)學(xué)，兩者的目標(biāo)不同。從內(nèi)容選材上兩 者都是從實(shí)際問題出發(fā)，而不是從概念出發(fā)， 但數(shù)學(xué)建模強(qiáng)調(diào)問題的實(shí)用

7、，而不強(qiáng)調(diào)普遍性， 解決問題本身就是目的；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以從理論 問題出發(fā)，也可以由實(shí)際問題引入，但這個問 題一般是比較經(jīng)典、有較普遍意義,五、近幾年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題,數(shù)學(xué)建模競賽（MCM）最早始于美國，1985年由美國政 府部門資助，由美國數(shù)學(xué)及其應(yīng)用聯(lián)合會（COMAP）主 辦，由美國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會（SIAM）、運(yùn)籌及工業(yè) 和應(yīng)用數(shù)學(xué)協(xié)會（INFORMS）及數(shù)學(xué)學(xué)會（MAA）協(xié)辦。 第一屆MCM只有70所高校90個參賽隊(duì)，后來它的影響力逐 步擴(kuò)大，現(xiàn)已成為有十幾個國家和地區(qū)參加的國際型的 競賽活動。,中國最早從1989年有北京地區(qū)的清華、北大、北京理工等學(xué)校派隊(duì)參賽，近幾年來僅中國的

8、參賽學(xué)校及隊(duì)數(shù)幾乎都占了參賽總數(shù)的三分之一以上，而且每年都能取得最高獎。,中國的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（CUMCM）始于1992年， 首先由中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會（CSIAM）舉辦了 民間的“全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽”，到1994年是 由原國家教委高教司直接領(lǐng)導(dǎo)組織，由工業(yè)與應(yīng)用 數(shù)學(xué)學(xué)會具體承辦的一項(xiàng)大規(guī)模的競賽活動。,返回,1、如何預(yù)報(bào)人口？,要預(yù)報(bào)未來若干年（如2005）的人口數(shù)，最重要的影響因素是今年的人口數(shù)和今后這些年的增長率（即人口出身率減死亡率），根據(jù)這兩個數(shù)據(jù)進(jìn)行人口預(yù)報(bào)是很容易的。 記今年人口為 ，k年后人口為 ，年增長率為r，則預(yù)報(bào)公式為： 預(yù)報(bào)正確的條件： 年增長率r保持不變。,數(shù)學(xué)建模實(shí)例,1、指數(shù)增長模型（馬爾薩斯人口模型）： 英國人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus17661834）于1798年提出。,2、阻滯增長模型（Logistic模型）,3、更復(fù)雜的人口模型 隨機(jī)性模型、考慮人口年齡分布的模型等, 可見