1、矩陣論在電路分析中的應(yīng)用隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，古典的線性代數(shù)知識(shí)已不能滿足現(xiàn)代科技的需要，矩陣的理論和方法業(yè)已成為現(xiàn)代科技領(lǐng)域必不可少的工具。諸如數(shù)值分析、優(yōu)化理論、微分方程、概率統(tǒng)計(jì)、控制論、力學(xué)、電子學(xué)、網(wǎng)絡(luò)等學(xué)科領(lǐng)域都與矩陣?yán)碚撚兄芮械穆?lián)系，甚至在經(jīng)濟(jì)管理、金融、保險(xiǎn)、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域，矩陣?yán)碚摵头椒ㄒ灿兄种匾膽?yīng)用。當(dāng)今電子計(jì)算機(jī)及計(jì)算技術(shù)的迅速發(fā)展為矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用開(kāi)辟了更廣闊的前景。因此，學(xué)習(xí)和掌握矩陣的基本理論和方法，對(duì)于工科研究生來(lái)說(shuō)是必不可少的。全國(guó)的工科院校已普遍把“矩陣論”作為研究生的必修課 。對(duì)于電路與系統(tǒng)專業(yè)的研究生，矩陣論也顯得尤為重要。本文以電路與系統(tǒng)專業(yè)研究

2、生的必修課電網(wǎng)絡(luò)分析與綜合為例，講解矩陣論的重要作用。在電路分析中，對(duì)于一個(gè)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，b條支路的電路圖，每條支路的電壓和電流均為未知，共有2b個(gè)未知量。根據(jù)KCL我們可以列出（b-1）個(gè)獨(dú)立的方程，根據(jù)KVL我們也可以列出（b-n+1）個(gè)獨(dú)立的方程，根據(jù)每條支路所滿足的歐姆定律，我們還可以可以列出b個(gè)方程；總共2b個(gè)方程要解出b個(gè)支路電流變量和b個(gè)支路電壓變量。當(dāng)b的數(shù)值比較大時(shí)，傳統(tǒng)的解數(shù)學(xué)方程組的方法已經(jīng)不再適用了，因此我們需要引入矩陣來(lái)幫助我們求解電路。一. 電網(wǎng)絡(luò)中最基本的三個(gè)矩陣 圖 11. 關(guān)聯(lián)矩陣 在電路圖中，節(jié)點(diǎn)和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用關(guān)聯(lián)矩陣來(lái)表示。 選取一個(gè)節(jié)點(diǎn)為參考節(jié)點(diǎn)后

3、，矩陣的元素為：圖1中電路圖的關(guān)聯(lián)矩陣為 2. 基本回路矩陣 在電路圖中，基本回路和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用基本回路矩陣來(lái)表示。當(dāng)選定電路圖中的一個(gè)樹(shù)，額外再增加一個(gè)連枝的時(shí)候，就會(huì)形成一個(gè)基本回路。選取基本回路的方向與它所關(guān)聯(lián)的連枝方向一致，矩陣的元素為：圖1中電路圖的基本回路矩陣為 3. 基本割集矩陣在電路圖中，基本割集和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用基本割集矩陣來(lái)表示。當(dāng)選定一組連枝，在額外增加一個(gè)樹(shù)枝的時(shí)候，就會(huì)形成一個(gè)基本割集。選取基本割集的方向與它所關(guān)聯(lián)的樹(shù)枝方向一致，矩陣的元素為圖1中電路圖的基本割集矩陣為 2. 利用三種矩陣求解電路問(wèn)題1. 關(guān)聯(lián)矩陣、基本回路矩陣和基本割集矩陣之間的一般關(guān)系

4、根據(jù)KVL和KCL定律，有 （1）由于基本割集矩陣和基本回路矩陣具有特殊的形式，可以將他們寫(xiě)成如下形式 （2）聯(lián)系式子（1）中的關(guān)系可以得到故 同理可以得到 2. 電路的一般支路中變量的關(guān)系 圖 2電路中的一般支路可表示如圖2，其中分別表示第k 條支路的電壓和電流，分別表示該支路中的電壓源和電流源。經(jīng)過(guò)拉普拉斯變換后電路圖如圖3，分別表示支路電壓、電流的象函數(shù)，則為電壓源和電流源的象函數(shù)。根據(jù)KCL和KVL定律， 圖3 （3） 得到，在復(fù)頻域中 （4）將上式改寫(xiě)成歐姆定律方程，并寫(xiě)成矩陣形式，可得 （5）式子中為無(wú)源元件的阻抗矩陣，其具有以下形式 （6）3. 利用矩陣求解實(shí)際電路對(duì)于一個(gè)不含受控源的網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)（3）式可知，在復(fù)頻域中有，聯(lián)系式子（5）得到 （7）式子（7）結(jié)合，寫(xiě)成一個(gè)向量方程為 （8）如果的系數(shù)矩陣為非奇異的，則 （9）在將（9）式帶入（5）式中就可以解出的值，此時(shí)電路的所有未知量均已解出。3. 結(jié)束通過(guò)對(duì)電路的分析，使用矩陣來(lái)求解復(fù)雜的電路問(wèn)題，充分體現(xiàn)了