1、24.1.2 垂直于弦的直徑（1）,人教版九年級上冊,問題:你知道趙州橋嗎? 它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m, 拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？,趙州橋主橋拱的半徑是多少？,創(chuàng)設(shè)情境：,由此你能得到圓的什么特性？,可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形。任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸,不借助任何工具，你能找到圓形紙片的圓心嗎?,探究：,探究：,如圖,AB是O的一條弦, 直徑CDAB, 垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和弧? 為什么?,O,A,B,C,D,E,線段: AE=BE,垂徑定理,垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧,CD

2、AB, CD是直徑，, AE=BE,O,A,B,C,D,E,歸納：,老師提示: 垂徑定理是圓中一個(gè)重要的定理,三種語言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運(yùn)用自如.,下列圖形是否具備垂徑定理的條件？,是,不是,是,不是,深化：,垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：,CD過圓心,CDAB于E,AE=BE,1如圖，在O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求O的半徑,O,A,B,E,練習(xí),解：,答：O的半徑為5cm.,鞏固：,1、如圖，AB是O的直徑，CD為弦，CDAB于E，則下列結(jié)論中不成立的是（ ）,A、COE=DOE,B、CE=DE,C、OE=AE,2、如圖，OEAB于E，若O的半徑為10cm,OE

3、=6cm,則AB= cm。,O,A,B,E,解：連接OA， OEAB, AB=2AE=16cm,3、如圖，在O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求O的半徑。,O,A,B,E,解：過點(diǎn)O作OEAB于E，連接OA,即O的半徑為5cm.,4、如圖，CD是O的直徑，弦ABCD于E，CE=1，AB=10，求直徑CD的長。,解：連接OA，, CD是直徑，OEAB, AE=1/2 AB=5,設(shè)OA=x，則OE=x-1，由勾股定理得,x2=52+(x-1)2,解得：x=13, OA=13, CD=2OA=26,即直徑CD的長為26.,5. 如圖，O的直徑為10，弦AB=8,P為AB上的一個(gè)動(dòng)

4、點(diǎn)，那么OP長的取值范圍是 。,C,4,5,3,3cmOP5cm,2如圖，在O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB于D，OEAC于E，求證四邊形ADOE是正方形,證明：,四邊形ADOE為矩形，,又AC=AB, AE=AD, 四邊形ADOE為正方形.,你能利用垂徑定理解決求趙州橋拱半徑的問題嗎?,37.4m,7.2m,A,B,O,C,D,關(guān)于弦的問題，常常需要過圓心作弦的垂線段，這是一條非常重要的輔助線。 圓心到弦的距離、半徑、弦構(gòu)成直角三角形，便將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。,解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在的圓的圓心為O，半徑為r.,經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與AB交于點(diǎn)C，則D是AB的中點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，CD就是拱高., AB=37.4m，CD=7.2m, AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2,解得r=27.9（m）,即主橋拱半徑約為27.9m.,小 結(jié),運(yùn)用垂徑定理可以解決許多生產(chǎn)、生活實(shí)際問題，其中弓形是最常見的圖形（如圖），則弦a，弦心距d，弓形高h(yuǎn)，半徑r之間有以下關(guān)系：,O,d+h=r,垂徑定理的應(yīng)用,h,r,d,1