1、考點30： 異面直線所成的角【考綱要求】1.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題.2.了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用.【命題規(guī)律】異面直線的知識是高考的熱點問題，選擇、填空、解答題都有可能進行考查.預計2018年的高考對本知識的考查空間向量的應用，仍然是以簡單幾何體為載體解決線線問題【典型高考試題變式】（一）空間直線與直線夾角的問題例1.【2017全國3卷（理）】，為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與，都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當直線與成角時，與成角；當直線與成角時，與成角；直線與所稱角的最小值為；直線與所稱角的最

2、小值為；其中正確的是_.（填寫所有正確結(jié)論的編號）【答案】 【解析】由題意知，三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1，故，邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則點保持不變，點的運動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓以為坐標原點，以為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標系則，直線的方向單位向量，點起始坐標為，直線的方向單位向量，設(shè)點在運動過程中的坐標，其中為與的夾角，那么在運動過程中的向量，當與夾角為時，即，因為，所以所以因為所以，此時與夾角為所以正確，錯誤故填 .【方法技巧歸納】求空間兩條直線的夾角，可以先考察兩條直線是否異面垂直，若垂直，則化為線面垂直問題或用平移法轉(zhuǎn)化為共面

3、垂直，結(jié)合勾股定理加以證明.一般情形，可通過平移后通過解斜三角形求兩條異面直線所成的角.【變式1】【改編例題中條件，求兩直線的夾角】【2016浙江（文）】如圖，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，ADC=90.沿直線AC將ACD翻折成ACD，直線AC與BD 所成角的余弦的最大值是_.【答案】【解析】試題分析：如圖，連接BD，設(shè)直線與所成的角為是的中點.由已知得，以為軸，為軸，過與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，.作于，連接DH翻折過程中，始終與垂直， 則，則，因此（設(shè)DHD=），則，與平行的單位向量為，所以，所以時，取得最大值，為【變式二】【改編例題中結(jié)論，求

4、解動態(tài)問題】【2017浙江嵊州市二?！吭谒睦庵?，平面，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱的長為，為側(cè)棱上的動點（包括端點），則（ ）A對任意的，存在點，使得B當且僅當時，存在點，使得C當且僅當時，存在點，使得D當且僅當時，存在點，使得【答案】C（二）異面直線的夾角例2.【2017全國2卷（理）】已知直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）.A B C D【答案】C【解析】，分別為，中點，則，夾角為和夾角或其補角（異面線所成角為），可知，作中點，則可知為直角三角形，中，則，則中，則中，.又異面線所成角為，則余弦值為故選C.【方法技巧歸納】1.利用向量法求異面直線所成角的步驟2注意向量法求異面直線

5、所成角與向量夾角的區(qū)別，尤其是取值范圍【變式1】【改編題目條件和結(jié)論，利用向量法求解】【2017屆東北師大附中、哈爾濱師大附中、遼寧省實驗中學四?！恳阎睦忮F中， 分別是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】建立如圖所示空間直角坐標系，可知則，則故本題答案選C【變式2】【改編題目條件和結(jié)論，利用普通方法求解】【2018屆河北省邢臺市高三上學期第二次月考】如圖，在四棱錐中， 平面， 為線段的中點，底面為菱形，若， ，則異面直線與所成角的正弦值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如圖， 平面 從而 ，又 所以 故 ，故選B.【數(shù)學思想】

6、1.轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學中最基本的思想方法，數(shù)學中一切問題的解決(當然包括解題)都離不開轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化，以上三種思想方法都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn)。各種變換方法、分析法、反證法、待定系數(shù)法、構(gòu)造法等都是轉(zhuǎn)化的手段。所以說，轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學思想方法的靈魂.2. 轉(zhuǎn)化包括等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化，非等價轉(zhuǎn)化又分為強化轉(zhuǎn)化和弱化轉(zhuǎn)化等價轉(zhuǎn)化要求在轉(zhuǎn)化過程中的前因后果既是充分的又是必要的，這樣的轉(zhuǎn)化能保證轉(zhuǎn)化的結(jié)果仍為原問題所需要的結(jié)果，非等價轉(zhuǎn)化其過程則是充分的或必要的，這

7、樣的轉(zhuǎn)化能給人帶來思維的啟迪，找到解決問題的突破口，非等價變形要對所得結(jié)論進行必要的修改.非等價轉(zhuǎn)化（強化轉(zhuǎn)化和弱化轉(zhuǎn)化）在思維上帶有跳躍性，是難點，在壓軸題的解答中常常用到，一定要特別重視！3.轉(zhuǎn)化與化歸的原則（1）熟悉化原則：將不熟悉和難解的問題轉(zhuǎn)化為熟知的易解的或已經(jīng)解決的問題；（2）直觀化原則：將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問題；（3）簡單化原則：將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將一般性的問題轉(zhuǎn)化為直觀的特殊的問題；將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，使問題便與解決.（4）正難則反原則：若過正面問題難以解決，可考慮問題的反面，從問題的反面尋求突破的途徑；（5）低維度原則：將高維度問題轉(zhuǎn)化成低維度問

8、題.4.轉(zhuǎn)化與化歸的基本類型（1） 正與反、一般與特殊的轉(zhuǎn)化；（2） 常量與變量的轉(zhuǎn)化；（3） 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；（4） 數(shù)學各分支之間的轉(zhuǎn)化；（5） 相等與不相等之間的轉(zhuǎn)化；（6） 實際問題與數(shù)學模型的轉(zhuǎn)化.5常見的轉(zhuǎn)化方法（1）直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題；（2）換元法：運用“換元”把非標準形式的方程、不等式、函數(shù)轉(zhuǎn)化為容易解決的基本問題；（3）參數(shù)法：引進參數(shù)，使原問題的變換具有靈活性，易于轉(zhuǎn)化；（4）構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個合適的數(shù)學模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題；（5）坐標法：以坐標系為工具，用代數(shù)方法解決解析幾何問題，是轉(zhuǎn)化方法的一種重要途徑；（6）類比法

9、：運用類比推理，猜測問題的結(jié)論，易于確定轉(zhuǎn)化的途徑；（7）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問題；（8）一般化方法：若原問題是某個一般化形式問題的特殊形式且有較難解決，可將問題通過一般化的途徑進行轉(zhuǎn)化；（9）等價問題法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，達到轉(zhuǎn)化目的；（10）補集法：（正難則反）若過正面問題難以解決，可將問題的結(jié)果看作集合A，而把包含該問題的整體問題的結(jié)果類比為全集U，通過解決全集U及補集獲得原問題的解決.立體幾何中的轉(zhuǎn)化與化歸，主要利用直接轉(zhuǎn)化法或坐標法，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題、將幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題加以解決.【空間角的范圍處理錯誤

10、注意點】解決此類問題，要注意各種空間角的給定范圍，容易在范圍上出現(xiàn)問題.【典例試題演練】1【2017屆河北省武邑中學五?！空拿骟w中， 是棱的中點， 是點在底面內(nèi)的射影，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如圖，設(shè)正四面體的棱長是1，則，高，設(shè)點在底面內(nèi)的射影是，則，所以即為所求異面直線所成角，則，應選答案B。2【2017屆河南省六市高三下學期第二次聯(lián)考】如圖， ， ， ， 分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示， 是異面直線的圖形的序號為（ ）A. B. C. D. 【答案】D3【2017屆四川省廣元市高三第三次高考適應性統(tǒng)考】對于四面體,有以下命

11、題:若,則點在底面內(nèi)的射影是的外心；若,則點在底面內(nèi)的射影是的內(nèi)心；四面體的四個面中最多有四個直角三角形；若四面體的6條棱長都為1,則它的內(nèi)切球的表面積為.其中正確的命題是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題設(shè)，故頂點在底面內(nèi)的射影是底面中心，故命題是正確的；四面體中的四個面中最多有四個直角三角形，如圖，故命題是正確的；對于命題，如圖，盡管,點在底面內(nèi)的射影不是的內(nèi)心，即命題是錯誤的；若四面體的6條棱都為1，則它的體積為，又設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，則，即命題也是正確的。應選答案D。4【2017屆山西省臨汾市高三考前適應性訓練】已知平面，及直線下列說法正確的是（ ）A. 若直線與平

12、面 所成角都是，則這兩條直線平行B. 若直線與平面 所成角都是，則這兩條直線不可能垂直C. 若直線平行，則這兩條直線中至少有一條與平面平行D. 若直線垂直，則這兩條直線與平面 不可能都垂直【答案】D【解析】解：由題意逐一分析所給的選項：若直線與平面 所成角都是，則這兩條直線不一定平行； 若直線與平面 所成角都是，則這兩條直線可能垂直； 若直線平行，則這兩條直線中可能兩條都與平面不平行； 若直線垂直，則這兩條直線與平面 不可能都垂直；本題選擇D選項.5【2017屆河北省張家口市高三上學期期末考試】三棱柱中，為等邊三角形，平面，分別是，的中點，則與所成角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 【答

13、案】C【解析】三棱柱中，為等邊三角形，如圖： 的中點為，連結(jié) ，則有 ，所以四邊形為平行四邊形，所以或其補角即為所求，不妨設(shè) ，則有 ，在 中，由余弦定理可得： ，故選C.6【2018屆吉林省百校聯(lián)盟高三TOP20九月聯(lián)考】如圖，在長方體中， ， ，點是長方體外的一點，過點作直線，記直線與直線， 的夾角分別為， ，若 ，則滿足條件的直線（ ）A. 有1條 B. 有2條 C. 有3條 D. 有4條【答案】D【解析】由題意有： ，即： ，則，考慮與直線所成的角相同的直線，其在平面內(nèi)的射影應該平分，這樣的直線只有1條，同理其補角也存在1條滿足題意的直線，這樣找到2條滿足題意的直線，同理，在處也可以找

14、到2條滿足題意的直線；綜上可得：滿足條件的直線有4條。本題選擇D選項.7【2017屆陜西省西安市西北工業(yè)大學附屬中學高三下學期第六次模擬】在正三棱柱中， ，則與所成角的大小為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】以A為原點,在平面ABC中過A作AC的垂線為x軸,以AC為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標系如圖所示，設(shè)BB1=,則A(0,0,0), ，, ，,，AB1與C1B所成角的大小為.本題選擇D選項.8【2017屆陜西省西安市長安區(qū)第一中學高三4月模擬】如圖所示是一幾何體的三視圖，正視圖是一等腰直角三角形，且斜邊長為2，側(cè)視圖是一直角三角形，俯視圖為一直角梯形，且，則異面直線與

15、所成角的正切值是（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】C【解析】如圖，取的中點，連接，依題意得， ，所以為異面直線與所成角，因為，所以，故選C.9【2017年福建泉州新世紀中學模考】在四面體中，若， ， ，則直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如圖所示，該四面體為長方體的 四個頂點，設(shè) 長方體的長寬高分別為，則：，解得： ，問題等價于求解線段AB與線段夾角的余弦值，結(jié)合邊長和余弦定理可得：直線與所成角的余弦值為 。本題選擇D選項.10【2017屆四川省成都市高中畢業(yè)班第三次診斷檢測】在我國古代數(shù)學名著九章算術(shù)中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑如圖，在

16、鱉臑中，平面，且，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由題意，可補形成正方體如下圖：所以異面直線與所成角就是與所以角，而為直角三角形，所以所成角為，。選A.11【2017屆山西省孝義市高三下學期考前熱身訓練】【在長方體中, ,點在線段上運動,當異面直線與所成的角最大時,則三棱錐的體積為( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】如圖所示，連結(jié)，則為銳角， 即為異面直線與所成的角，很明顯，當點P位于點A處時異面直線與所成的角最大,此時.本題選擇B選項.12【2018屆廣西柳州市高三畢業(yè)班上學期摸底聯(lián)考】如圖所示，在四面體中，若截面是正方形，則下列命題中正確的是_(將所有正確答案序號填寫到橫線上)；截面；異面直線與所成的角為【答案】13【2017屆河北省衡水中學高三下學期第三次摸底考試】已知兩平行平面間的距離為，點，點，且，若異面直線與所成角為60