1、函數(shù)的單調(diào)性,設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)?I :,一、函數(shù)的單調(diào)性,注: 函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的. 有的函數(shù)在一些區(qū)間上是增函數(shù), 而在另一些區(qū)間上可能是減函數(shù).,如果對(duì)于屬于定義域 I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值 x1, x2, 那么就說(shuō) f(x) 在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù);,如果對(duì)于屬于定義域 I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值 x1, x2, 那么就說(shuō) f(x) 在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).,如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù), 那么就說(shuō)函數(shù) y=f(x) 在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性, 這一區(qū)間叫做函數(shù) y=f(x) 的單調(diào)區(qū)間.,二、單調(diào)區(qū)間

2、,三、用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟,在單調(diào)區(qū)間上, 增函數(shù)的圖象自左向右看是上升的, 減函數(shù)的圖象自左向右看是下降的.,3.判定差的正負(fù);,4.根據(jù)判定的結(jié)果作出相應(yīng)的結(jié)論.,注: 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間;,函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是連續(xù)區(qū)間, 若區(qū)間不連續(xù), 應(yīng)分段考查.,作商: f(x1)/f(x2)時(shí)，要注意分母。,1.取值: 對(duì)任意 x1, x2M,2作差: ;,復(fù)合函數(shù) fg(x) 的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù) u=g(x), y=f(u) 的單調(diào)性密切相關(guān), 其規(guī)律如下：,四、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,6.奇偶性:,7.反函數(shù):,奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;,偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上具有相反

3、的單調(diào)性.,互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在各自的定義域上具有相同的單調(diào)性.,五、函數(shù)單調(diào)性的判定方法,1.定義法:,主要適用于抽象函數(shù)或已知函數(shù).,2.導(dǎo)數(shù)法:,適用于具體函數(shù).,3.圖像法:,4.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定:,5.和函數(shù)單調(diào)性的判定:,六、兩類(lèi)問(wèn)題的區(qū)別,1.函數(shù) f(x) 的單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間是 D:,2.函數(shù) f(x) 在區(qū)間 D 上單調(diào)遞增(或遞減):,不等式 f (x)0(0) 的解集是區(qū)間 D;,不等式 f (x)0(0) 對(duì)于 xD 恒成立.,若函數(shù) f(x) 可導(dǎo),解題分析:因函數(shù)定義域是(-,0)(0,+)且f(x)是奇函數(shù),所以所以可以先討論函數(shù)在(0,+)上的單調(diào)性

4、.,解法2: 函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)?-, 0)(0, +),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是單調(diào)性學(xué)習(xí)中的最基本的問(wèn)題, 但必須注意, 如果函數(shù)的解析式含有參數(shù), 而且參數(shù)的取值影響函數(shù)的單調(diào)區(qū)間, 這時(shí)必須對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論.,注: 這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性十分重要, 應(yīng)用非常廣泛, 它的圖象如圖所示:,【解題回顧】含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判定，往往對(duì)參數(shù)要分類(lèi)討論.本題的結(jié)論十分重要，在一些問(wèn)題的求解中十分有用，應(yīng)予重視.,變式題:,解: g(x)=8+2(2-x2)-(2-x2)2 .,對(duì) g(x) 求導(dǎo)得: g(x)=-4x(x2-1),由g(x)0 得: x-1 或 0x1;,由g(x)1.,故 g

5、(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 (-, -1) 與 (0, 1);,單調(diào)遞減區(qū)間是 (-1, 0) 與 (1, +).,練習(xí).已知 f(x)=8+2x-x2, 若 g(x)=f(2-x2), 試確定 g(x) 的單調(diào)區(qū)間.,分析: 這是抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題, 應(yīng)該用單調(diào)性定義解決.,解: 在 R 上任取 x1, x2, 設(shè) x1f(x1) 且:,f(x) 是 R 上的增函數(shù), 且 f(5)=1,當(dāng) x5 時(shí) 0f(x)1, 而當(dāng) x5 時(shí) f(x)1.,若 x1x25, 則 0f(x1)f(x2)1, 0f(x1)f(x2)1;,f(x2)-f(x1)0, F(x2)F(x1);,若 x2x15,

6、則 f(x2)f(x1)1, f(x1)f(x2)1,綜上, F(x) 在 (-, 5 上為減函數(shù), 在 5, +) 上為增函數(shù).,f(x2)-f(x1)0, F(x2)F(x1).,例4.設(shè)函數(shù) f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1. (1)當(dāng) k 為何值時(shí), 函數(shù) f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 (0, 4); (2)當(dāng) k 為何值時(shí), 函數(shù) f(x) 在(0, 4)內(nèi)單調(diào)遞減.,不等式 f (x)0 的解集為(0, 4),0 與 4 是方程 kx2+2(k-1)x=0 的兩根,即 kx2+2(k-1)x0 的解集為(0, 4),(2)命題等價(jià)于 kx2+2(k-1)x0 對(duì) x(0,

7、 4) 恒成立,設(shè)g(x)=kx+2(k-1),等價(jià)于 kx+2(k-1)0 對(duì) x(0, 4) 恒成立,由于 g(x) 的圖象為一條直線,解: 對(duì) f(x) 求導(dǎo)得 f (x)=3kx2+6(k-1)x,(1)函數(shù) f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是(0, 4),例5.是否存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)f(x)=loga(ax2-x)在區(qū)間2，4上是增函數(shù)?,解題分析:假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,分a1, 0a1兩種情況,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性解.,解:設(shè)g(x)=ax2-x,假設(shè)符合條件的 a 值存在.,當(dāng)a 1時(shí),為使函數(shù)y=f(x)=loga(ax2-x)在閉區(qū)間2,4上是增函數(shù),只需g(x)=ax2-x在2,4上是增函數(shù)

8、,故應(yīng)滿足,當(dāng)0a 1時(shí),為使函數(shù)y=f(x)=loga(ax2-x)在閉區(qū)間2,4上是增函數(shù),只需g(x)=ax2-x在2,4上是減函數(shù),故應(yīng)滿足,綜上可知, 當(dāng) a(1,+)時(shí), f(x)=loga(ax2-x)在閉區(qū)間 2,4 上是增函數(shù).,例6.已知函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)?(-, 0)(0, +), 且滿足條件: f(xy)=f(x)+f(y), f(2)=1, 當(dāng) x1 時(shí), f(x)0. (1)求證: f(x)為偶函數(shù)；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)求不等式 f(x)+f(x-3)2的解集.,(1)證: 在中令 x=y=1, 得 f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0.,令

9、 x=y=-1, 得 f(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=0.,再令 y=-1, 得 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x).,f(x) 為偶函數(shù).,先討論 f(x) 在 (0, +) 上的單調(diào)性, 任取x1, x2, 設(shè)x2x10,f(x2)f(x1).,f(x) 在 (0, +) 上是增函數(shù),由 (1) 知, f(x) 在(-, 0) 上是減函數(shù).,偶函數(shù)圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng),(3)解: fx(x-3)=f(x)+f(x-3)2,由 、 得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4),1)若 x(x-3)0, f(x) 在 (0, +) 上為增函數(shù),由 fx(x-3)

10、f(4) 得:,2)若 x(x-3)0, f(x) 在 (-, 0) 上為減函數(shù),由 fx(x-3)f(-4) 得:,原不等式的解集為-1, 0)(0, 3)(3, 4.,注 抽象函數(shù)問(wèn)題是函數(shù)學(xué)習(xí)中一類(lèi)比較特殊的問(wèn)題, 其基本方法是變量代換、換元等, 應(yīng)熟練掌握它們的這些特點(diǎn).,法二 原不等式等價(jià)于 f|x(x-3)|f(4)(x0, x-30), 由 f(x) 在 (0, +) 上為增函數(shù)得: |x(x-3)|4. 再進(jìn)一步求得解集.,【解題回顧】抽象函數(shù)是高考考查函數(shù)的目標(biāo)之一,幾種常見(jiàn)的抽象函數(shù)在做小題時(shí)，可與具體函數(shù)相對(duì)應(yīng)如,(1)證: 由已知, 對(duì)任意的 x1, x2(-, +)

11、且 x1x2 有:,f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2- x1)-1.,x2-x10, f(x2- x1)1.,f(x2- x1)-10.,f(x2)-f(x1)0 即 f(x2)f(x1).,f(x) 是 R 上 的增函數(shù).,練習(xí)：函數(shù) f(x) 對(duì)任意 a, b R 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且當(dāng)x0 時(shí), 有 f(x)1. (1)求證: f(x) 是 R 上 的增函數(shù); (2)若 f(4)=5, 解不等式 f(3m2-m-2)3.,(2)解: f(4)=5, 令 a=b=2 得: f(4)=f(2)+f(2)-1, 從而 f(2)=

12、3.,原不等式等價(jià)于 f(3m2-m-2)f(2).,f(x) 是 R 上 的增函數(shù),3m2-m-22, 即 3m2-m-40.,練習(xí)：函數(shù) f(x) 對(duì)任意 a, b R 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且當(dāng)x0 時(shí), 有 f(x)1. (1)求證: f(x) 是 R 上 的增函數(shù); (2)若 f(4)=5, 解不等式 f(3m2-m-2)3.,f(x) 在區(qū)間-1, 1上是增函數(shù),f (x)0 對(duì) x-1, 1恒成立.,即 x2 -ax -20 對(duì) x-1, 1恒成立. ,設(shè) (x)=x2-ax-2.,方法一:,對(duì) x-1, 1, f(x) 是連續(xù)函數(shù), 且只有當(dāng) a=1

13、時(shí), f (-1)=0 以及當(dāng) a=-1 時(shí), f (1)=0, A=a | -1a1 .,方法二:, 對(duì)x-1, 1, f(x) 是連續(xù)函數(shù), 且只有當(dāng) a=1 時(shí), f (-1)=0 以及當(dāng) a=-1 時(shí), f (1)=0, A=a | -1a1 ., 0a1 或 -1a0, -1a1., =a2+80, x1, x2 是方程 x2-ax-2=0 的兩實(shí)根., -1a1,要使 m2+tm+1|x1- x2| 對(duì)任意 aA 及 t-1, 1恒成立,當(dāng)且僅當(dāng) m2+tm+13 對(duì)任意 t-1, 1恒成立,即 m2+tm-20 對(duì)任意 t-1, 1恒成立.,設(shè) g(t)=m2+tm-2=mt+(

14、m2-2),方法一:, m2 或 m-2.,方法二: 當(dāng) m=0 時(shí), 顯然不成立; 當(dāng) m0 時(shí), m2 或 m-2., 存在實(shí)數(shù) m, 使不等式 m2+tm+1|x1-x2| 對(duì)任意 aA 及 t-1, 1恒成立,其取值范圍是 (-, -2)(2, +)., 存在實(shí)數(shù) m, 使不等式 m2+tm+1|x1-x2| 對(duì)任意 aA 及 t-1, 1恒成立,其取值范圍是 (-, -2)(2, +).,例7.定義在(-1，1)上的函數(shù)f(x)滿足以下兩個(gè)條件： 對(duì)任意x,y(-1，1)，都有 當(dāng)x(-1，0)時(shí)，有 f(x)0. (1)判定f(x)在(-1，1)上的奇偶性，并說(shuō)明理由. (2)判定

15、f(x)在(-1，0)上的單調(diào)性，并給出證明. (3)求證： (4)求證：,解題分析:利用定義判定函數(shù)的奇偶性,注意賦值法在解決抽象問(wèn)題中的作用,不等式的證明可采用裂項(xiàng)法.,解: (1)當(dāng)x=y=0時(shí),f(0)+f(0)=f(0), f(0)=0,f(x)+f(-x)=f(0)=0,即 f(-x)=-f(x),f(x)在(-1,1)上是奇函數(shù).,例7.定義在(-1，1)上的函數(shù)f(x)滿足以下兩個(gè)條件： 對(duì)任意x,y(-1，1)，都有 當(dāng)x(-1，0)時(shí)，有 f(x)0. (1)判定f(x)在(-1，1)上的奇偶性，并說(shuō)明理由. (2)判定f(x)在(-1，0)上的單調(diào)性，并給出證明.,例7.定義在(-1，1)上的函數(shù)f(x)滿足以下兩個(gè)條件： 對(duì)任意x,y(-1，1)，都有 當(dāng)x(-1，0)時(shí)，有 f(x)0. (3)求證：,例7、定義在(-1，1)上的函數(shù)f(x)滿足以下兩個(gè)條件： 對(duì)任意x,y(-1，1)，都有 當(dāng)x(-1，0)時(shí)，有 f(x)0. (4)求證：,解題分析:用定義證明函數(shù)的單調(diào)性. 利用反證法,結(jié)合互為反函數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,證明方程有唯一解.,解: 函數(shù)的定義域是(-1,1),由增減函數(shù)的定義可以證明f(x)在(-1,1)上是減函數(shù) .,例8.設(shè) 試判斷函數(shù)f