1、誤差與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),教師：李芬,基本概念,誤差公理： 一切測(cè)量都存在誤差。 真 值： 被測(cè)量的真實(shí)量值。 在排除系統(tǒng)誤差和粗大誤差的前提下，當(dāng)測(cè)量次數(shù)無限大時(shí)測(cè)量結(jié)果的算術(shù)平均值接近于真值，視它為被測(cè)量的真值。 約定真值： 國(guó)際公認(rèn)的,最高水平所復(fù)現(xiàn)的單位基準(zhǔn)。 如:米原器和千克原器等。 相對(duì)真值： 也稱實(shí)際值，在滿足規(guī)定準(zhǔn)確度的情況下，用來代替真值的值。 1、有限次測(cè)量的算術(shù)平均值； 2、具有更高一級(jí)準(zhǔn)確度等級(jí)的測(cè)量器具所測(cè)得的值作為較低一級(jí)準(zhǔn)確度等級(jí)測(cè)量器具所測(cè)得值的相對(duì)真值。,等精度測(cè)量：在同一條件下進(jìn)行的重復(fù)多次測(cè)量。 標(biāo)稱值：測(cè)量器具上標(biāo)注的量值。 如：砝碼上標(biāo)出1kg

2、，儀表上的刻度0、2 mA等。 示 值: 測(cè)量器具所指示出來的被測(cè)量的數(shù)值，也稱測(cè)量值。 不確定度：表示測(cè)量結(jié)果不確定的程度。 用U表示。,置 信 度：由置信區(qū)間和置信概率表示。表征測(cè)量結(jié)果可信賴程度的一個(gè)參數(shù)?？山忉尀椋簻y(cè)量結(jié)果附近一個(gè)置信區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)數(shù)學(xué)希望的置信概率有多大。 置信區(qū)間即不確定度，用標(biāo)準(zhǔn)差的K倍來表示 U=K。K稱為置信因子，表示對(duì)應(yīng)的置信概率。 直接測(cè)量：用測(cè)量器具直接測(cè)出被測(cè)量量值的測(cè)量。 間接測(cè)量：先直接測(cè)出與被測(cè)量有關(guān)的直接測(cè)量量，再根據(jù)該被測(cè)量與直接測(cè)量量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系算出被測(cè)量量值的測(cè)量。,測(cè)量誤差,1、絕對(duì)誤差：被測(cè)量的測(cè)量值與其真值之差為絕對(duì)誤差：,式中： 為

3、絕對(duì)誤差； 為測(cè)量值；R為被測(cè)量的真值,真值包括：,(1)理論真值 例如：三角形的三個(gè)內(nèi)角之和180o；,(2)約定真值 米原器等；,(3)相對(duì)真值 有限多次測(cè)量值的算術(shù)平均值；,高一級(jí)準(zhǔn)確度等級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量器具所測(cè)得的值；,2、相對(duì)誤差: 絕對(duì)誤差與真值之比，為相對(duì)誤差。用百分?jǐn)?shù)表示：,式中： E為相對(duì)誤差；,測(cè)量誤差的分類,1、系統(tǒng)誤差：在相同條件下，多次重復(fù)測(cè)量同一量值時(shí)，誤差的大小和符號(hào)保持不變或按一定規(guī)律變化。,2、隨機(jī)誤差：在同一條件下，多次重復(fù)測(cè)量同一量時(shí)，誤差的大小、符號(hào)均無規(guī)律地變化。,3、粗大誤差：在相同條件下，多次測(cè)量同一量時(shí)，明顯歪曲測(cè)量結(jié)果的誤差。,測(cè)量結(jié)果的表達(dá),如果

4、系統(tǒng)誤差為零，或采用修正方法消除了系統(tǒng)誤差，且去除了粗大誤差，則測(cè)量結(jié)果表示為：,1、多次重復(fù)等精度測(cè)量：,用上述形式給出測(cè)量結(jié)果時(shí)，應(yīng)該指明相應(yīng)的置信概率p。,于是，測(cè)量結(jié)果應(yīng)表示為:,同時(shí)給出：,測(cè)取的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n由置信概率P決定。如，P=0.95，測(cè)取數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n為22 25個(gè)；P=0.997，測(cè)取數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為n=370或大于370個(gè)；P=0.68,測(cè)取數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n為小于22個(gè)。,對(duì)于沒有標(biāo)出準(zhǔn)確度等級(jí)又可以連續(xù)讀數(shù)（可估讀）的儀器，取儀器最小分度值的一半作為儀器的最大誤差,對(duì)于沒有標(biāo)出準(zhǔn)確度等級(jí)的而又不可連續(xù)讀數(shù)（不可估讀）的儀器，取最小分度值作為儀器的最大誤差,對(duì)于已標(biāo)出準(zhǔn)確度等級(jí)的儀器，儀

5、器的最大誤差 由誤差公式計(jì)算。,2、單次直接測(cè)量 ：,式中： 為測(cè)量?jī)x器的最大誤差；,設(shè)儀器準(zhǔn)確度等級(jí)為a ：,有效數(shù)字,有效數(shù)字：把儀器上讀出的數(shù)字包括最后一位存疑數(shù)字，記錄下來，為有效數(shù)字。,例1 ：用米尺測(cè)一物體長(zhǎng)度為4.26cm、4.27cm或4.28cm，前二位 4.2cm可從米尺上直接讀出，是確切數(shù)字，而第三位數(shù)是測(cè)量者估讀出來的（是有疑問的，叫存疑數(shù)字）那么這物體長(zhǎng)度測(cè)量值包含三位有效數(shù)字。,例2 ：物體重量為0.802000千克，第一個(gè)0不表示有效數(shù)字，而 802.000 克后面的 0 都是有效數(shù)字。,數(shù)字表達(dá)標(biāo)準(zhǔn)形式為：8.02000101 kg 或 8.02000102 g

6、,數(shù)據(jù)舍入規(guī)則,1、 若舍去部分的數(shù)值小于保留部分末位的半個(gè)單位，則末位不變。 例如：將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)點(diǎn)第二位：,1.23481.23（因?yàn)?.00480.005） 5.624995.62（因?yàn)?.004990.005）,2、若舍去部分的數(shù)值大于保留部分末位的半個(gè)單位，則末位加1。,1.235211.24（因?yàn)?.005210.005） 5.625015.63（因?yàn)?.005010.005）,3、若舍去部分的數(shù)值等于保留部分末位的半個(gè)單位，則末位湊成偶數(shù)，即末位為偶數(shù)時(shí)不變，末位為奇數(shù)時(shí)加1。,1.23501.24（因?yàn)?.0050=0.005，且3為奇數(shù)） 5.625005.62（因?yàn)?

7、.00500=0.005，且2為偶數(shù)） 5.605005.60（0認(rèn)為是偶數(shù)）,測(cè)量結(jié)果中， 或 保留數(shù)字位數(shù)應(yīng)與不確定度一致。,最終結(jié)果，標(biāo)準(zhǔn)偏差 取一位有效數(shù)字，相對(duì)誤差 取兩位有效數(shù)字。在計(jì)算過程中多取一位，在誤差處理中， 和 都采用進(jìn)位的方法。,標(biāo)準(zhǔn)偏差 和 都應(yīng)取成 。,例如 ：,則應(yīng)取成,則應(yīng)取成,如：,系統(tǒng)誤差,系統(tǒng)誤差：是恒定不變的或按一定規(guī)律變化的誤差。在多次重復(fù)測(cè)量同一量值時(shí)，不具有抵償性。,具有3個(gè)特點(diǎn)：,(1)確定性 ； (2)重現(xiàn)性 ； (3)可修正性 ；,系統(tǒng)誤差分為以下四種：,不變的系統(tǒng)誤差； 線性變化的系統(tǒng)誤差； 周期性變化的系統(tǒng)誤差； 復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差；

8、,系統(tǒng)誤差的判別,1、實(shí)驗(yàn)對(duì)比法；,2、殘余誤差觀察法：,3、馬利科夫判據(jù): n 較多時(shí),4、阿卑赫梅特判據(jù),則可以認(rèn)為存在周期性系統(tǒng)誤差。利用該判據(jù)能有效發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差。,系統(tǒng)誤差的消除舉例,（1）代替法（置換法）,（2）交換法,例如利用等臂天平稱量時(shí)，如果天平兩臂 L1 和 L2 存在長(zhǎng)度誤差，測(cè)量時(shí)先將被稱物 放于左邊，而砝碼 P 放在天平右邊，兩邊平衡后則有：,將 ，P交換位置后，則有：,得到：,取等距的時(shí)間間隔tt2t1t3t2，而相應(yīng)的電流變化量為e。在t1，t2，t3時(shí)刻，按Ux，UN，Ux的順序進(jìn)行測(cè)量： 在t1時(shí)刻測(cè)得Rx上的壓降為：U1Ux = iRx 在t2時(shí)刻測(cè)得R

9、N上的壓降為：U2UN = i2RN =(i-e)RN 在t3時(shí)刻測(cè)得Rx上的壓降為：U3Ux = i3Rx =(i-2e)Rx 解此方程組可得：,（3）線性系統(tǒng)誤差消除法,標(biāo)準(zhǔn)電阻R，附加電阻RN均為已知，待測(cè)量電阻為Rx。 若工作電流i恒定，只要測(cè)出Rx和RN上的電壓降就可得Rx值：,隨機(jī)誤差,設(shè)測(cè)量列為m1，m2，mi，則用絕對(duì)誤差表示的隨機(jī)誤差列i為： imiR （i1，2，3，n）,將上式兩邊求和得：,由正態(tài)分布的抵償特性有：,有,當(dāng)n為有限值時(shí)，測(cè)量值序列的算術(shù)平均值為:,隨機(jī)誤差的方差和標(biāo)準(zhǔn)差,1、測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差,對(duì)于等精度無限測(cè)量列 m1，m2，mi，i=n , 測(cè)量值的方差和

10、標(biāo)準(zhǔn)差分別為：,按上式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差需要已知真值，測(cè)量次數(shù)n需足夠大，只能是理論計(jì)算公式。,1、求測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差（貝塞爾公式）,實(shí)際測(cè)量中，測(cè)量次數(shù) n 是有限的，根據(jù)貝塞爾(Bessel)法則，用算術(shù)平均值作為被測(cè)量的真值的最佳值，采用剩余誤差代替絕對(duì)誤差，則測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：,測(cè)量結(jié)果：,同時(shí)給出：,2、測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差,在相同條件下，對(duì)被測(cè)量重復(fù)做 n 次測(cè)量， m1，m2，mn ，由于隨機(jī)誤差的存在,且 n 不是足夠大，圍繞測(cè)量值的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，由下式求出：,測(cè)量結(jié)果：,同時(shí)給出:,粗大誤差的剔除,拉依達(dá)準(zhǔn)則：,格拉布斯準(zhǔn)測(cè)：凡剩余誤差大于格拉布斯鑒別值的誤

11、差被認(rèn)為是粗大誤差，應(yīng)予以舍棄。,式中g(shù)（a，n）為格拉布斯準(zhǔn)則判別系數(shù)，它與測(cè)量次數(shù)n及顯著性水平(一般取0.05或0.01)有關(guān)，判別系數(shù)見下表,（ n 10 ）,等精度直接測(cè)量列測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)例,例：對(duì)某一軸的直徑進(jìn)行等精度測(cè)量9次，得到下表數(shù)據(jù)，求測(cè)量結(jié)果。,1、求算數(shù)平均值,2、求殘余誤差,3、判斷系統(tǒng)誤差 根據(jù)殘余誤差觀察法，由表可以看出誤差符號(hào)大體上正負(fù)相同，且無顯著變化規(guī)律，可判斷該測(cè)量列無系統(tǒng)誤差。,4、求測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差,5、判別粗大誤差 本實(shí)例測(cè)量軸徑的次數(shù)較少，因而不采用萊以特 準(zhǔn)則判別粗大誤差，采用格拉布斯準(zhǔn)則，,故可判別測(cè)量列中存在粗大誤差。將r4去掉后，重新計(jì)

12、算。,6、再一次求算數(shù)平均值、殘余誤差、標(biāo)準(zhǔn)差、判別粗大誤差 等,7、最后的測(cè)量結(jié)果,間接測(cè)量,設(shè)N為間接測(cè)得量，x、y、z為各獨(dú)立的直接測(cè)得量，,N = f(x、y、z),N的誤差是由x、y、z各量在直接測(cè)量中誤差引起的，間接測(cè)量N的標(biāo)準(zhǔn)誤差為:,N的相對(duì)誤差為,分壓比間接測(cè)量誤差的分析為例,b.坐標(biāo)的分度值不一定從零開始，坐標(biāo)軸焦點(diǎn)用低于最低值且與最低值相近的某一整數(shù)。,測(cè)量數(shù)據(jù)的表示方法,c.數(shù)據(jù)過大或過小，分度應(yīng)以 或 表示。坐標(biāo)軸不標(biāo)數(shù)據(jù)點(diǎn)。,d.描點(diǎn)采用 、 、 、之一。測(cè)量點(diǎn)數(shù)少時(shí)用 直線直接連接；點(diǎn)數(shù)足 夠多時(shí)用曲線板對(duì)四連二的辦法順次連接作出一條光滑的曲線。若畫 的是一條直線

13、，該直線必須通過 點(diǎn)。,f.圖線大約在 或 位值。,1、列表法：表名、已知條件列在表的右上方,行、列標(biāo)清標(biāo)題（名稱、符號(hào)、 單位）單位寫在符號(hào)后并括起來.也可注在表格的右上方。,2、作圖法:（鉛筆繪制）,a.水平軸為自變量（符號(hào)和單位），縱軸為因 變量；,e.圖的下方須注明圖號(hào)、圖名。,3、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的直線擬合（一元線性回歸）:給測(cè)量值配上一個(gè)最佳的直線方程的過程。,對(duì)于每一個(gè) xi 值，它所對(duì)應(yīng)的測(cè)量值為yi，由經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出的xi值對(duì)應(yīng)的y值存在差值vi,r的絕對(duì)值越近于1，說明用線性函數(shù)擬合是合理的。r等于零或趨近于零，說明 x 、y 兩物理量根本不存在線性關(guān)系。,一、測(cè)該物質(zhì)的旋光率 a,二、測(cè)未知濃度 Cx,（給出置信概率 p 、相對(duì)誤差 E）,如何寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告,實(shí)驗(yàn)名稱,實(shí)驗(yàn)?zāi)康?實(shí)驗(yàn)原理,實(shí)驗(yàn)內(nèi)容,實(shí)驗(yàn)