1、第九章平面解析幾何,9.5橢圓,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,高頻小考點(diǎn),思想方法 感悟提高,練出高分,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),1.橢圓的概念 平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做 ，兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的 ，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的 . 集合PM|MF1MF22a，F(xiàn)1F22c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)： (1)若 ，則集合P為橢圓； (2)若 ，則集合P為線段； (3)若 ，則集合P為空集.,橢圓,焦點(diǎn),ac,ac,ac,焦距,知識(shí)梳理,1,答案,2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),2a,2b,2c,a2b2c2,答案,點(diǎn)P(x0，

2、y0)和橢圓的關(guān)系,知識(shí)拓展,判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.( ) (2)橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成PF1F2的周長(zhǎng)為2a2c(其中a為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，c為橢圓的半焦距).( ) (3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.( ) (4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲線是橢圓.( ),思考辨析,答案,答案,解析當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，10mm20， 10m(m2)4，m4. 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，m210m0， m2(10m)4， m8.,4或8,考點(diǎn)自測(cè),2,解析答案,1,2,3,4,5,解析由題意

3、知25m216， 解得m29， 又m0， 所以m3.,3,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,4.如果方程x2ky22表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.,又k0，所以0k1.,(0,1),解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,返回,解析設(shè)P(x，y)， 由題意知c2a2b2541， 所以c1，則F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)， 由題意可得點(diǎn)P到x軸的距離為1，,1,2,3,4,5,返回,題型分類深度剖析,例1如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與O

4、M交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是_. 解析由條件知PMPF. POPFPOPMOMROF. P點(diǎn)的軌跡是以O(shè)，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓.,命題點(diǎn)1橢圓定義的應(yīng)用,橢圓,題型一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程,解析答案,例2(1)已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸是短軸的3倍，并且過(guò)點(diǎn)P(3,0)，則橢圓的方程為_(kāi).,命題點(diǎn)2利用待定系數(shù)法求橢圓方程,解析答案,解析答案,解析設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m0，n0且mn). 橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，P2，點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)適合橢圓方程.,解析答案,思維升華,思維升華,(1)求橢圓的方程多采用定義法和待定系數(shù)法，利用橢圓的定義定形狀時(shí)，一定要注意常數(shù)2aF1F2這一條件. (2)求橢圓

5、標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過(guò)程是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組.如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2ny21 (m0，n0，mn)的形式.,(1)已知圓(x2)2y236的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，且點(diǎn)N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是_.,解析點(diǎn)P在線段AN的垂直平分線上， 故PAPN，又AM是圓的半徑， PMPNPMPAAM6MN， 由橢圓定義知，P的軌跡是橢圓.,橢圓,跟蹤訓(xùn)練1,解析答案,解析答案,由c2a2b2可得b24.,解析答案,c216，且c2a2

6、b2，故a2b216.,其焦點(diǎn)在y軸上，且c225916.,解析答案,由得b24，a220，,解析答案,解析設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0，y0).,解析答案,題型二橢圓的幾何性質(zhì),2,解析答案,解析答案,思維升華,由題意知M為線段QF的中點(diǎn)，且OMFQ. 又O為線段F1F的中點(diǎn)， F1QOM， F1QQF，F(xiàn)1Q2OM.,解析答案,思維升華,解析答案,思維升華,思維升華,思維升華,(1)利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點(diǎn)及技巧 注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系： 在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者最大值、最小值時(shí)，經(jīng)常用到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x，y的范圍，離心率的范圍等不等關(guān)系. 利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧： 求解與橢圓幾何

7、性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. (2)求橢圓的離心率問(wèn)題的一般思路 求橢圓的離心率或其范圍時(shí)，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于a，b，c的等式或不等式，利用a2b2c2消去b，即可求得離心率或離心率的范圍.,解析在雙曲線中m2n2c2，,跟蹤訓(xùn)練2,解析答案,解析答案,命題點(diǎn)1由直線與橢圓的位置關(guān)系研究橢圓的性質(zhì),解析答案,題型三直線與橢圓的綜合問(wèn)題,設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF1PF2，,解由橢圓的定義，,解析答案,解如圖，連結(jié)F1Q，由PF1PQ，,PQPF1，得,解析答案,由橢圓的定義，PF1PF22a，QF1Q

8、F22a，,進(jìn)而PF1PQQF14a，,解析答案,命題點(diǎn)2由直線與橢圓的位置關(guān)系研究直線的性質(zhì),解析答案,(2)過(guò)F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若PC2AB，求直線AB的方程.,解析答案,思維升華,當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將AB的方程代入橢圓方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，,解析答案,若k0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意.,思維升華,解得k1.,此時(shí)直線AB的方程為yx1或yx1.,思維升華,思維升華,解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題，

9、其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問(wèn)題.涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)題時(shí)用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單.,(2015北京)已知橢圓C：x23y23，過(guò)點(diǎn)D(1,0)且不過(guò)點(diǎn)E(2,1)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，直線AE與直線x3交于點(diǎn)M. (1)求橢圓C的離心率；,跟蹤訓(xùn)練3,解析答案,(2)若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；,解因?yàn)锳B過(guò)點(diǎn)D(1,0)且垂直于x軸， 所以可設(shè)A(1，y1)，B(1，y1)， 直線AE的方程為y1(1y1)(x2)， 令x3，得M(3,2y1)，,解析答案,(3)試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

10、,解析答案,解直線BM與直線DE平行，證明如下： 當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由(2)可知kBM1.,解析答案,解析答案,所以kBM1kDE，所以BMDE. 綜上可知，直線BM與直線DE平行.,返回,高頻小考點(diǎn),8.高考中求橢圓的離心率問(wèn)題,高頻小考點(diǎn),解析答案,AFBF4，,AFAF04， a2.,解析如圖，設(shè)左焦點(diǎn)為F0，連結(jié)F0A，F(xiàn)0B， 則四邊形AFBF0為平行四邊形.,解析答案,溫馨提醒,返回,解析答案,溫馨提醒,3b44a2c2，,解析答案,溫馨提醒,溫馨提醒,溫馨提醒,離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì)，是高考重點(diǎn)考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn).這類問(wèn)題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率；

11、另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍.無(wú)論是哪類問(wèn)題，其難點(diǎn)都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表達(dá)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓的離心率問(wèn)題難點(diǎn)的根本方法.,返回,思想方法感悟提高,1.橢圓的定義揭示了橢圓的本質(zhì)屬性，正確理解、掌握定義是關(guān)鍵，應(yīng)注意定義中的常數(shù)大于F1F2，避免了動(dòng)點(diǎn)軌跡是線段或不存在的情況.,方法與技巧,3.討論橢圓的幾何性質(zhì)時(shí)，離心率問(wèn)題是重點(diǎn)，求離心率的常用方法有以下兩種：,(2)列出關(guān)于a，b，c的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)b2a2c2，消去b，轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.,失誤與防范,返回,練

12、出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,4,PF26，PF12aPF21064.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,因?yàn)檫^(guò)F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且AB3，,3.已知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x的直線與 橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且AB3，則C的方程為_(kāi).,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析當(dāng)PF1F2為直角時(shí)，根據(jù)橢圓的

13、對(duì)稱性知，這樣的點(diǎn)P有2個(gè)； 同理當(dāng)PF2F1為直角時(shí)，這樣的點(diǎn)P有2個(gè)； 當(dāng)P點(diǎn)為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)1PF2最大，且為直角， 此時(shí)這樣的點(diǎn)P有2個(gè). 故符合要求的點(diǎn)P有6個(gè).,6,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析圓M的方程可化為(xm)2y23m2， 則由題意得m234，即m21(m0)， m1，則圓心M的坐標(biāo)為(1,0). 由題意知直線l的方程為xc， 又直線l與圓M相切，c1，a231，a2. 答案2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1

14、2,13,14,15,解析由題意知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是兩圓的圓心，且PF1PF210，從而PMPN的最小值為PF1PF2127.,7,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以由橢圓定義知CACB2a，而AB2c，,3,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,又x20，a2，2c2a23c2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7

15、,8,9,10,11,12,13,14,15,所以ac1. 又因?yàn)闄E圓C的右準(zhǔn)線為x4，,代入上式解得a2，c1，所以b23，,解由題意知，直線l的方程為y2(xa)，即2xy2a0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)將直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，它與橢圓C相交于另一點(diǎn)P，當(dāng)B，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線時(shí)，試確定直線l的斜率.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案

16、,(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，b)，N為線段AC的中點(diǎn)，證明：MNAB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由(1)的計(jì)算結(jié)果可知a25b2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析由題意可設(shè)P(c，y0)(c為半焦距)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由OPOFOF知，PFFFPO，OFPOPF，,解析答案,所以PF

17、FOFPFPOOPF180， 知FPOOPF90，即FPPF.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由橢圓定義，得PFPF2a4812，從而a6，得a236，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析設(shè)橢圓上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，,即x23y20，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1

18、0,11,12,13,14,15,解設(shè)橢圓的焦距為2c，則F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0).,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)若F1CAB，求橢圓離心率e的值.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解因?yàn)锽(0，b)，F(xiàn)2(c,0)在直線AB上，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,又AC垂直于x軸，由橢圓的對(duì)稱性，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,又b2a2c2，整理得a25c2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解得a24，b21.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,