1、第七章 數(shù)學(xué)中的公理化方法,1 公理化方法概述,數(shù)學(xué)公理化方法，是數(shù)學(xué)發(fā)展到一定階段的產(chǎn)物它在近代數(shù)學(xué)發(fā)展中曾起過巨大的作用，而且對(duì)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展也有著極其深刻的影響即使在數(shù)學(xué)教學(xué)中，公理化方法也是一個(gè)十分重要的方法,一、公理化方法的含義,公理化方法是從盡可能少的基本概念和基本公理出發(fā)，應(yīng)用嚴(yán)格的邏輯推理，使一門數(shù)學(xué)建成為演繹系統(tǒng)的一種方法在理論形式上，這些基本概念和基本公理，是邏輯推理的前提，是數(shù)學(xué)需要作為自己出發(fā)點(diǎn)少數(shù)思想上的規(guī)定,由公理化方法把一個(gè)數(shù)學(xué)分支建成為演繹體系，關(guān)鍵是引進(jìn)基本概念，設(shè)置基本公理,基本概念是一些不需定義的或隱約地受到公理制約的原始概念，它們必須是真正基本的，無法

2、用更原始、更簡(jiǎn)單的概念去定義的概念，必須是對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)體的高度純化的抽象。 基本公理是無條件的、相互制約的規(guī)定，是作為對(duì)各個(gè)基本概念的相互關(guān)系和基本性質(zhì)的闡述和規(guī)定，是一些不證自明的命題。基本公理不是可以隨意選定的，一個(gè)良好的公理系統(tǒng)，所設(shè)置的公理應(yīng)當(dāng)滿足下列三項(xiàng)基本要求：,1相容性,公理的相容性也稱無矛盾性或和諧性，是指同一公理系統(tǒng)中的公理，不能自相矛盾；由這些公理推出的一切結(jié)果，也不能有絲毫矛盾。即不允許既能證明某定理成立，又能證明它的反面也成立的情況存在。,2獨(dú)立性,公理的獨(dú)立性，是指一個(gè)公理系統(tǒng)中的所有公理，不能互相推出。這就是要求該系統(tǒng)中公理的數(shù)目減少到最低限度，不允許公理集合中出現(xiàn)多余

3、的公理，這也是對(duì)數(shù)學(xué)的“簡(jiǎn)單美”的一種追求。,3完備性,公理的完備性，是要求對(duì)一個(gè)公理系統(tǒng)中所有基本概念的性質(zhì)，都作出明確的規(guī)定，使得這個(gè)系統(tǒng)中的全部命題都能毫無例外地在本系統(tǒng)中被證明，而在推理證明過程中，無需再用到直覺，因此，必要的公理不能省略。否則，將有某些真實(shí)命題得不到理論的證明或在證明過程中理由不充分。,上述三項(xiàng)基本要求中，最主要的是相容性。,因?yàn)橐粋€(gè)公理系統(tǒng)如果違反了相容性的要求，那么以這個(gè)系統(tǒng)中的公理作為邏輯推理的大前提，所推出的結(jié)果必然矛盾百出，造成邏輯上的混亂，因而這樣的公理系統(tǒng)難以幫助人們認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，是毫無實(shí)際價(jià)值的。獨(dú)立性和完備性是第二位的要求，對(duì)于一

4、個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓硐到y(tǒng)，這兩個(gè)要求也應(yīng)得到滿足，但是許多比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)分支，要它的公理系統(tǒng)都能滿足上述三項(xiàng)基本要求，則往往比較困難。 公理化方法的意義和作用，與其自身的不斷發(fā)展密切相關(guān)。,二、公理化方法的產(chǎn)生和發(fā)展,綜觀公理化方法發(fā)展的歷史，大致可以分為三個(gè)階段：,1產(chǎn)生階段由亞里士多德的完全三段論到歐幾里得幾何原本的問世。,公元前三世紀(jì)，希臘哲學(xué)家亞里士多德在其邏輯著作工具論一書中，總結(jié)了古代積累起來的邏輯知識(shí)，以數(shù)學(xué)及其他演繹的學(xué)科為例，把完全三段論作為公理，由此推出其他的三段論。因此，亞里士多德是歷史上第一個(gè)正式給出公理系統(tǒng)的作者。,希臘著名數(shù)學(xué)家歐幾里得在泰勒斯、畢達(dá)哥拉斯、柏拉圖等學(xué)派工作

5、的基礎(chǔ)上，運(yùn)用亞里士多德提供的邏輯方法，寫出了數(shù)學(xué)史上的重要著作幾何原本。這是古代數(shù)學(xué)公理化方法的一個(gè)光輝成就。 幾何原本的問世，標(biāo)志著公理化方法的誕生，幾何原本的貢獻(xiàn)倒不在于發(fā)現(xiàn)了幾條新定理，而主要在于它把原先零亂的、互不相關(guān)的幾何知識(shí)，按公理系統(tǒng)的方式進(jìn)行妥切安排，使得反映幾何事實(shí)的公理和定理都能與論證聯(lián)系起來，組成一個(gè)有條不紊的有機(jī)整體。,2完整階段由羅巴切夫斯基的非歐幾何到希爾伯特幾何基礎(chǔ)的問世。,歐幾里得幾何公理系統(tǒng)的意義十分巨大，影響極為深遠(yuǎn)，但它是不完善的，特別是第五公設(shè)問題，當(dāng)時(shí)大多數(shù)人認(rèn)為它很像一條定理，企圖用幾何原本中其余的公設(shè)和公理加以證明，但在證明中所用的論據(jù)，要么是不

6、知不覺地利用一直觀明顯性，要么是利用了一個(gè)與第五公設(shè)等價(jià)的命題。因此，所有這些證明實(shí)質(zhì)是無效的。,直到19世紀(jì)，俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基吸取了前人兩千多年來在證明第五公設(shè)中的失敗教訓(xùn)，認(rèn)識(shí)到第五公設(shè)與其他幾何公理是互相獨(dú)立的，除掉第五公設(shè)成立的歐氏幾何外，還可以有第五公設(shè)不成立的新幾何系統(tǒng)存在。于是他在剔除第五公設(shè)而保留歐氏幾何其余公理的前提下，引進(jìn)了一個(gè)與第五公設(shè)相反的公理：“過平面上一已知直線外的一點(diǎn)至少可引兩條直線與該已知直線平行”，由此構(gòu)成了一個(gè)新的幾何系統(tǒng)與歐氏幾何系統(tǒng)相并列。,非歐幾何的創(chuàng)立，大大提高了公理化方法的信譽(yù)，接著便有許多數(shù)學(xué)家致力于公理化方法的研究。如德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾與戴

7、德金不約而同地?cái)M成了連續(xù)性公理、德國(guó)數(shù)學(xué)家巴許擬成了順序公理。在這個(gè)基礎(chǔ)上，希爾伯特于1899年發(fā)表了幾何學(xué)基礎(chǔ)一書，改造了歐氏幾何系統(tǒng)，完善了幾何學(xué)的公理化方法。,3形式化階段集合悖論出現(xiàn)后，希爾伯特在其形式化研究方法，特別是元數(shù)學(xué)（證明論）中，將公理化方法推向的一個(gè)新階段。,在歐氏幾何原本的公理系統(tǒng)中，概念直接反映著數(shù)學(xué)實(shí)體的性質(zhì)，而且那些概念、定義、公理的表述以及定理的論證往往受到直覺觀的束縛。因而，歐氏公理系統(tǒng)的公理化可稱為“實(shí)體公理化”。,然而在希氏幾何學(xué)基礎(chǔ)中，,不僅在公理的表述或定理的論證上已擺脫了空間觀念的直覺成分，而且還為幾何對(duì)象及其關(guān)系進(jìn)行更高一級(jí)的抽象提供了基礎(chǔ)。,于是，

8、,只要滿足公理系統(tǒng)中各個(gè)公理的要求，那么所涉及的對(duì)象就可以是任何事物，并且在公理中表述事物或?qū)ο箝g的關(guān)系時(shí)，其具體意義也可以是任意的。所以，在幾何學(xué)基礎(chǔ)問世以后，公理化方法不僅進(jìn)入了數(shù)學(xué)的其他各個(gè)分支，而且它本身也被推向了形式化的階段。,后來希爾伯特將將某種數(shù)學(xué)理論（如自然數(shù)理論、幾何理論等）作為一個(gè)整體加以研究，提出了希爾伯特規(guī)則，即：證明古典數(shù)學(xué)的每個(gè)分支都可以公理化；證明每個(gè)這樣的系統(tǒng)都是完備的； 證明每個(gè)這樣的系統(tǒng)都是相容的；證明每個(gè)這樣的系統(tǒng)所相應(yīng)的模型都是同構(gòu)的；尋找一種可以在有限步驟內(nèi)判定任一命題的可證明性的方法。希爾伯特為具體實(shí)施這個(gè)規(guī)劃而創(chuàng)立了證明論即元數(shù)學(xué)理論。,希爾伯特對(duì)

9、元數(shù)學(xué)的研究，使公理化方法進(jìn)一步精確化：,把數(shù)學(xué)理論中的定理及數(shù)學(xué)中使用的邏輯規(guī)則排成演繹的體系，并使用數(shù)學(xué)符號(hào)和邏輯符號(hào)把數(shù)學(xué)命題變成公式，這樣，全部數(shù)學(xué)命題便變成了公式的集合，公理化的數(shù)學(xué)理論便變成了演繹的形式系統(tǒng)。元數(shù)學(xué)思想的提出，標(biāo)志著數(shù)學(xué)的研究達(dá)到了新的、更高的水平，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象已不是具體的、特殊的對(duì)象，而是抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從而，公理化被推向一個(gè)新階段即純形式化階段。,三、公理化方法的作用,數(shù)學(xué)公理化方法在整理數(shù)學(xué)知識(shí)，促使新理論的創(chuàng)立，以及對(duì)整個(gè)科學(xué)理論的表述都有著重要的作用。,1公理化方法是整理分析、加工總結(jié)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)資料，建立科學(xué)理論體系的基本工具。,利用公理化方法，可以把零散

10、的數(shù)學(xué)知識(shí)，用邏輯的鏈條串連起來，使之形成完整的有機(jī)整體。這樣，不但能使人們?nèi)菀渍莆?，而且也便于?yīng)用。,2公理化方法有利于比較數(shù)學(xué)各個(gè)分支的實(shí)質(zhì)性異同，促進(jìn)數(shù)學(xué)探索與基礎(chǔ)研究，推動(dòng)數(shù)學(xué)新理論的產(chǎn)生。,從前面所述，可以看出，非歐幾何就是在研究和使用公理化方法的過程中產(chǎn)生的。,3數(shù)學(xué)公理化方法在科學(xué)方法論上，對(duì)各門自然科學(xué)起著示范作用。,由于數(shù)學(xué)公理化方法表述數(shù)學(xué)理論的簡(jiǎn)潔性、條理性和結(jié)構(gòu)的和諧性，為其他科學(xué)理論的表述起到了示范作用。于是其他科學(xué)紛紛效仿數(shù)學(xué)公理化的模式，出現(xiàn)了各種理論的公理化系統(tǒng)，如理論力學(xué)公理化、相對(duì)論公理化及倫理學(xué)公理化等等。,誠(chéng)然，公理化方法具有重大作用，但也不能將它絕對(duì)化

11、，必須辯證地看到它的不足之處。,公理化方法如果不與實(shí)驗(yàn)方法相結(jié)合，則可能陷入錯(cuò)誤；如果不與認(rèn)識(shí)論的科學(xué)方法相結(jié)合，則也不會(huì)更好地發(fā)現(xiàn)問題；公理系統(tǒng)的相容性、獨(dú)立性和完備性的要求，不僅在理論上難以全部滿足，而且對(duì)于一些新興的數(shù)學(xué)分支或與生產(chǎn)實(shí)際關(guān)系密切的科學(xué)的發(fā)展，反而是一種障礙。而且，用公理化方法建立起來的理論體系，最終還需受實(shí)踐的檢驗(yàn)，以判定其真?zhèn)巍?2 歐幾里得幾何公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介,歐幾里得的幾何原本是公理化方法的雛形。它的主要內(nèi)容包括以下幾個(gè)方面。,一、23條定義,（1）點(diǎn)是沒有部分的。 （2）線是有長(zhǎng)度而沒有寬度的。 （3）線的界是點(diǎn)。 （4）直線是這樣的線，它對(duì)于它的任何點(diǎn) 來說，都是同

12、樣的放置著的。 （5）面是只有長(zhǎng)度和寬度的。,（6）面的界是線。 （7）平面是這樣的面，它對(duì)于它的任何直線來說，都是同樣的放置著的。 接著15條是關(guān)于角、平角、直角和垂線、鈍角、銳角；圓、圓周和中心、直徑、半圓、直線形、三角形、四邊形、多邊形、等邊三角形、等腰三角形、不等邊三角形、直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形、正方形、菱形、梯形的定義。 （23）平行線是在同一平面上而且向兩側(cè)延長(zhǎng)總不相交的直線。,二、5條公設(shè),（1）從一點(diǎn)到另一點(diǎn)必可引直線。 （2）任一直線均可無限地延長(zhǎng)。 （3）以任一點(diǎn)為中心，均可以任意長(zhǎng)的半徑畫圓周。 （4）所有的直角都是相等的。 （5）若兩直線與第三條直線相交，其一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于兩直角時(shí)，則把這兩條直線向該側(cè)充分地延長(zhǎng)后一定相交。,三、9條公理,（1）各與同一個(gè)第三個(gè)量相等的量必相等。 （2）相等的量加上相等的量仍為相等的量。 （3）相等的量減去相等的量仍為相等的量。 （4）不等的量加上相等的量獲不相等的量。 （5）相等的量的兩倍仍為相等的量。 （6）相等的量的一半仍為相等的量。 （7）能互相重合的是一定是相等的量。 （8）整體大于部分。 （9）過任意兩點(diǎn)只能引一條直線。,四、467條定理,歐幾里得從上述公設(shè)和定理出發(fā)，運(yùn)