1、1,概率論與數理統計第23講,本文件可從網址 上下載,2,假設檢驗,3,假設檢驗的概念,任何一個有關隨機變量未知分布的假設稱為統計假設或簡稱假設. 一個僅牽涉到隨機變量分布中幾個未知參數的假設稱為參數假設. 這里所說的假設只是一個設想, 至于它是否成立, 在建立假設時并不知道, 還需進行考察.,4,對一個樣本進行考察, 從而決定它能否合理地被認為與假設相符, 這一過程叫做假設檢驗. 判別參數假設的檢驗稱為參數檢驗. 檢驗是一種決定規(guī)則, 通過一定的程序作出是與否的判斷.,5,例1,拋擲一枚硬幣100次, 正面出現了40次, 問這枚硬幣是否勻稱? 若用X描述拋擲一枚硬幣的試驗, X=1及X=0分

2、別表示出現正面和出現反面, 上述問題就是要檢驗X是否服從p=1/2的0-1分布?,6,例2,從1975年的新生兒(女)中隨機地抽取20個, 測得其平均體重為3160克, 樣本標準差為300克. 而根據過去統計資料, 新生兒(女)平均本重為3140克. 問現在與過去的新生兒(女)體重有無顯著差異(假設新生兒體重服從正態(tài)分布)?,7,若把所有1975年新生兒(女)體重體現為一個總體X, 問題就是判斷E(X)=3140是否成立?,8,例3,在10個相同的地塊上對甲,乙兩種玉米進行對比試驗, 得如下資料(單位:公斤),從直觀上看, 二者差異顯著. 但是一方面由于抽樣的隨機性, 我們不能以個別值進行比較

3、就得出結論; 另一方面直觀的標準可能因人而異. 因此這實際上需要比較兩個正態(tài)總體的期望值是否相等.,9,這種作為檢驗對象的假設稱為待檢假設, 通常用H0表示,例如, 例1的假設是H0: Xb(1,0.5)例2的假設是H0: E(X)=3140例3的假設是H0: E(X)=E(Y) (X與Y是兩種玉米的產量期望值),10,如何根據樣本的信息來判斷關于總體分布的某個設想是否成立, 也就是檢驗假設H0成立與否的方法.,11,置信區(qū)間方法,用置信區(qū)間的方法進行檢驗, 基本思想是這樣的: 首先設想H0是真的成立; 然后考慮在H0條件下, 已經觀測到的樣本信息出現的概率. 如果這個概率很小, 這就表明一個

4、概率很小的事件在一次試驗中發(fā)生了.,12,而小概率原理認為, 概率很小的事件在一次試驗中是幾乎不可能發(fā)生的, 也就是說導出了一個違背小概率原理的不合理的現象. 這表明事先的設想H0是不正確的, 因此拒絕原假設H0. 否則, 不能拒絕H0.,13,至于什么算是概率很小, 在檢驗之前都事先指定. 比如概率為5%, 1%等, 一般記作a.a是一個事先指定的小的正數, 稱為顯著性水平或檢驗水平.,14,兩類錯誤,由于人們作出判斷的依據是樣本, 也就是由部分來推斷整體, 因而假設檢驗不可能絕對準確, 它也可能犯錯誤. 其可能性的大小, 也是以統計規(guī)律性為依據的, 所可能犯的錯誤有兩類.,15,第一類錯誤

5、是: 原假設H0符合實際情況, 而檢驗結果把它否定了, 這稱為棄真錯誤. 第二類錯誤是: 原假設H0不符合實際情況, 而檢驗結果把它肯定下來了, 這稱為取偽錯誤.,16,一個正態(tài)總體的假設檢驗,設總體為XN(m,s2). 關于總體參數m,s2的假設檢驗問題, 介紹下列四種: (1) 已知方差s2, 檢驗假設H0:m=m0; (2) 未知方差s2, 檢驗假設H0:m=m0; (3) 未知期望m, 檢驗假設H0:s2=s02; (4) 未知期望m, 檢驗假設H0:s2s02; 其中H0中的s02, m0都是已知數.,17,例1 根據長期經驗和資料的分析, 某磚瓦廠生產磚的抗斷強度X服從正態(tài)分布,

6、方差s2=1.21. 從該廠產品中隨機抽取6塊, 測得抗斷強度如下(單位: kg/cm2):32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03檢驗這批磚的平均抗斷強度為32.50kg/cm2是否成立(a=0.05)?,18,解 設H0:m=32.50. 如果H0正確, 則樣本(X1,., X6)來自正態(tài)總體N(32.50, 1.12), 令,19,20,最后可以下結論否定H0, 即不能認為這批產品的平均抗斷強度是32.50kg/cm2.,21,方差已知對期望值m的檢驗步驟:(1) 提出待檢假設H0:m=m0(m0已知);(2) 選取樣本(X1,.,Xn)的統計量,

7、 如H0成立,則,22,(3) 根據檢驗水平a, 查表確定臨界值ua/2, 使 P(|U|ua/2)=a, 即F(ua/2)=1-a/2. (4) 根據樣本觀察值計算統計量U的值u并與臨界值ua比較 (5) 若|u|ua則否定H0, 否則接收H0.,23,例2 假定某廠生產一種鋼索, 它的斷裂強度X(kg/m2)服從正態(tài)分布N(m,402). 從中選取一個容量為9的樣本, 得樣本均值為780kg/m2. 能否據此樣本認為這批鋼索的斷裂強度為800kg/cm2 (a=0.05),24,可以接受H0, 認為斷裂強度為800kg/cm2,25,例3,從1975年的新生兒(女)中隨機地抽取20個, 測

8、得其平均體重為3160克, 樣本標準差為300克. 而根據過去統計資料, 新生兒(女)平均本重為3140克. 問現在與過去的新生兒(女)體重有無顯著差異(假設新生兒體重服從正態(tài)分布)?(a=0.01),26,若把所有1975年新生兒(女)體重體現為一個正態(tài)總體N(m,s2), 問題就是判斷 m=E(X)=3140是否成立?,27,解 待檢假設H0:m=3140. 由于s2未知, 自然想到用S2代表s2. 則如果H0成立, 則,28,29,30,方差未知對期望值m的檢驗步驟:(1) 提出待檢假設H0:m=m0(m0已知);(2) 選取樣本(X1,.,Xn)的統計量, 如H0成立,則,31,(3)

9、 根據檢驗水平a, 查表確定臨界值ta/2, 使 P(|T|ta/2)=a; (4) 根據樣本觀察值計算統計量T的值t并與臨界值ta/2比較; (5) 若|t|ta/2則否定H0, 否則接收H0.,32,例4 某煉鐵廠的鐵水含碳量X在正常情況下服從正態(tài)分布. 現對操作工藝進行了某些改進, 從中抽取5爐鐵水測得含碳量數據如下:4.412, 4.052, 4.357, 4.287, 4.683據此是否可以認為新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為0.1082(a=0.05).,33,解 建立待檢假設H0:s2=0.1082; 在H0成立時, 樣本來自總體N(m,0.1082), 這時,34,對于給定的檢

10、驗水平a=0.05, 可查表確定臨界,35,因而應拒絕H0, 即方差不能認為是0.1082,36,未知期望對正態(tài)總體方差的假設檢驗步驟:(1) 建立待檢假設H0:s2=s02;(2) 如H0成立, 則,37,(3) 由給定的檢驗水平a查表求ca2,cb2滿足:,(4) 計算c2的值與ca2,cb2比較; (5) 若c2cb2或c2ca2拒絕H0否則接收H0;,38,例5 機器包裝食鹽, 假設每袋鹽的凈重服從正態(tài)分布, 規(guī)定每袋標準重量為500g, 標準差不超過10g. 某天開工后, 為檢查其機器工作是否正常, 從裝好的食鹽中隨機取9袋, 測其凈重(單位:g)為497,507,510,475,4

11、84,488,524,491,515問這天包裝機工作是否正常(a=0.05)?,39,解 設X為一袋食鹽的凈重, 則XN(m,s2). 今需假設H0:m=500以及H0:s2102是否成立? H0:m=500 :查表求臨界值t0.05(9-1)=2.306, 計算得,40,如H0成立, 則有,41,當s2=102時, 必有,42,43,44,順便指出, 在檢驗假設H0:s2=s02時, 有兩個臨界值ca2和cb2, 即當(n-1)S2/s02cb2時, 都應拒絕H0. 這是基于若H0成立, 即s2=s02, 則S2/s02的值不應太大或太小. 而在檢驗假設H0:s2s02時, 考慮到若H0成立, 即s2s02, 則S2/s02不應太大, 但較小是合理的, 因此拒絕域只取(n-1)S2/s02ca2.,45,對兩個正態(tài)總體的假設檢驗,在實際過程中還常常需要對兩個正態(tài)總體進行比較. 即假設XiN(mi,si2), i=1,2.,46,三種情況: (1) 未知m1,m2, 檢驗假設H0:s12=s22; (2) 未知m1,m2, 檢驗假設H0:s12s22; (3) 未知s12,s22, 但知道s12=s22, 檢驗假設H0:m1=m2;,47,在統計前都分別對兩個總體采樣并分別計算出相樣的樣本均值和樣本方差.,48,(1) 未知m1,m2, 檢驗假設H0:s12=