1、.,第三章 邏輯代數(shù)與 邏輯函數(shù),重點(diǎn)： 邏輯函數(shù)的變換和化簡,3.1 基本邏輯運(yùn)算,3.4 邏輯函數(shù)門電路的實(shí)現(xiàn),3.2 邏輯函數(shù)的變換和化簡,3.3 卡諾圖化簡及變換,.,3.1 基本邏輯運(yùn)算,數(shù)字電路研究的是數(shù)字電路的輸入與輸出之間的因果關(guān)系，即邏輯關(guān)系。邏輯關(guān)系一般由邏輯函數(shù)來描述。邏輯函數(shù)是由邏輯變量A，B，C和基本邏輯運(yùn)算符號(hào) (與)、+（或）、（非）及括號(hào)、等號(hào)等構(gòu)成的表達(dá)式來表示，如： F=BC+A =F(A,B,C) 式中A、B、C稱為原變量， 稱為對(duì)應(yīng)的反變量，F(xiàn)稱為邏輯函數(shù)（ 稱為F的邏輯反函數(shù)）。,基本公式 1.變量與常數(shù)的計(jì)算公式： A0=0 A1=A A+1=1 A

2、+0=A A1= A0=A 2.變量與變量的計(jì)算： AA=A A+A=AA =0A+ =1A=A AA=0 A =1,.,二. 基本運(yùn)算定律,1.交換律：AB=BA A+B=B+A AB=BA 2.結(jié)合律：A(BC)=(AB)C (A+B)+C=A+(B+C) (AB) C=A (BC) 3.分配律：A(BC)=ABAC A(B C)=(AB)(AC) 3.吸收律： B+A=A+B AB+C+BC= AB+C 5.反演律(摩根定律)：AB=A+B A+B=A B 以上這些定律可以用基本公式或真值表進(jìn)行證明。 例1 利用基本公式證明AB+C+BC=AB+C。 證：左邊=AB+C+(A+)BC=A

3、B+C+ABC+BC =AB ( 1+C ) + C ( 1+B ) =AB+ C=右邊 如果AB+C+BCEFG=?,.,三. 基本運(yùn)算規(guī)則,1運(yùn)算順序 在邏輯代數(shù)中，運(yùn)算優(yōu)先順序?yàn)?先算括號(hào)，再是非運(yùn)算，然后是與運(yùn)算，最后是或運(yùn)算。 2代入規(guī)則 在邏輯等式中，如果將等式兩邊出現(xiàn)某一變量的位置都代之以一個(gè)邏輯函數(shù)，則等式仍然成立。這就是代入規(guī)則。,3. 反演規(guī)則 在邏輯求F函數(shù)的反函數(shù)，只要將F式中與+互換，0與1互換，原變量與反變量互換，其余符號(hào)和運(yùn)算順序不變。,例如，已知 。若用Z=AC代替等式中的A，根據(jù)代入規(guī)則，等式仍然成立，即,.,3.2 邏輯函數(shù)的變換和化簡,一. 邏輯函數(shù)的變換

4、 利用基本邏輯運(yùn)算可以將同一個(gè)邏輯函數(shù)變換為不同的表達(dá)式，一個(gè)邏輯函數(shù)通常有以下五種類型的表達(dá)式:,與或表達(dá)式易于從真值表直接寫出，而且只需運(yùn)用一次摩根 定律就可以從最簡與或表達(dá)式變換為與非-與非表達(dá)式，從而可以用與非門電路來實(shí)現(xiàn)。,.,二. 邏輯函數(shù)代數(shù)法化簡,1.消去多余項(xiàng)： 2.消去合并項(xiàng)： 3.消去因子: 4.添加項(xiàng)配項(xiàng)：,對(duì)較簡單邏輯函數(shù)用代數(shù)化簡很方便。對(duì)較復(fù)雜的邏輯函數(shù)化簡不但要求熟練掌握邏輯代數(shù)的基本公式，而且需要一些技巧，特別是較難掌握獲得代數(shù)化簡后的最簡邏輯表達(dá)式的方法。,例 F=AB+ABC(E+F) 例 F=ABC+ABC 例 F=AB+AC+BC 例 F=AB+BC+

5、BC+AB,最簡與或表達(dá)式有兩個(gè)特點(diǎn): 1與項(xiàng)(即乘積項(xiàng))的個(gè)數(shù)最少; 2每個(gè)與項(xiàng)中變量的個(gè)數(shù)最少。,.,例：根據(jù)真值表寫出函數(shù)T1和T2的與或表達(dá)式和與非表達(dá)式。,解：,.,3.3 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法與變換,一. 最小項(xiàng),特點(diǎn)： 1.每個(gè)乘積項(xiàng)都有三個(gè)變量，原、反變量均可； 2.每個(gè)乘積項(xiàng)中，同一原、反變量只能出現(xiàn)1次； 3. n個(gè)原變量的最小項(xiàng)最多有2n個(gè)。,性質(zhì)： 對(duì)變量的任一取值，只有一個(gè)最小項(xiàng)為1； 兩個(gè)最小項(xiàng)之積為0；全部最小項(xiàng)之和為1。,在含有三個(gè)輸入變量A、B、C的邏輯函數(shù)中， A、B、C的所有取值可以構(gòu)成8種不同狀態(tài)，用變量表示為8個(gè)乘積項(xiàng)：ABC ABC ABC ABC

6、 ABC ABC ABC ABC，它們統(tǒng)稱為邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)。,.,二. 最小項(xiàng)(標(biāo)準(zhǔn))表達(dá)式,對(duì)于某種邏輯關(guān)系，用真值表來表示是唯一的，用前面討論的邏輯表達(dá)式來表示可以有多個(gè)表達(dá)式。如果用最小項(xiàng)之和組成的表達(dá)式來表示，也是唯一的。用最小項(xiàng)表示的邏輯函數(shù)稱為最小項(xiàng)(標(biāo)準(zhǔn))表達(dá)式，其表達(dá)式是唯一的。 例：F=ABC+ABC+ABC,最小項(xiàng)表達(dá)式還可簡寫為F=mi，式中mi表示最小項(xiàng)，下標(biāo)i是最小項(xiàng)值為1時(shí)對(duì)應(yīng)變量的十進(jìn)制數(shù)值。 上例可寫為F（A,B,C）= m1+m6+m7 =m(1,6,7)= (1,6,7),.,(1)每方格代表一個(gè)最小項(xiàng)，方格內(nèi)的數(shù)字表示相應(yīng)最小項(xiàng)的下標(biāo)，最小項(xiàng)的邏輯取值填

7、入相應(yīng)方格； (2)卡諾圖方格外的字母和數(shù)字為輸入變量及其相應(yīng)變量取值，變量取值的排序不能改變； (3)相鄰的2個(gè)方格稱為邏輯相鄰項(xiàng)（簡稱相鄰項(xiàng)），相鄰項(xiàng)中只有1對(duì)變量互為反變量，而其余變量完全相同。 (4)卡諾圖一列中最上和最下2個(gè)方格是相鄰項(xiàng)；一行中最左和最右2個(gè)方格是相鄰項(xiàng)。,三. 卡諾圖,.,由邏輯函數(shù)真值表直接畫出的卡諾圖,四. 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示,真值表輸入變量每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)，即對(duì)應(yīng)卡諾圖中的一個(gè)方格，將最小項(xiàng)取值（即輸出變量取值）填入卡諾圖對(duì)應(yīng)方格中，即構(gòu)成相應(yīng)的卡諾圖。,0,0,1,0,1,1,1,0,.,由邏輯函數(shù)表達(dá)式畫出的卡諾圖,四. 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示,1,0

8、,0,1,1,0,1,1,例：畫出F=AB+C+ABC 的卡諾圖。,直接畫出卡諾圖,如果邏輯函數(shù)中含有與非項(xiàng)或或非項(xiàng)，應(yīng)先利用反演律去掉，再按上述方法畫出卡諾圖 。例,.,五.卡諾圖化簡,化簡依據(jù)： 圖中任何2=21個(gè)為1的相鄰項(xiàng)可以合并為1個(gè)與項(xiàng)，并消去一個(gè)變量； 任何4=22個(gè)為1的相鄰項(xiàng)可以合并為1個(gè)與項(xiàng)，消去2個(gè)變量； 任何2K個(gè)為1的相鄰項(xiàng)可以合并為1個(gè)與項(xiàng)，消去K個(gè)變量。 化簡步驟: 將為1的相鄰項(xiàng)（方格）盡可能多的圈出，每個(gè)圈內(nèi)1的個(gè)數(shù)滿足2k； 方格1可以重復(fù)使用,每個(gè)圈要有新1； 必須圈完所有的1，獨(dú)立1對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)； 將所有包圍圈內(nèi)的最小項(xiàng)合并成對(duì)應(yīng)與項(xiàng)，然后相加得到最簡

9、與或表達(dá)式。,.,例：,用卡諾圖化簡下列函數(shù)：,1,1,1,1,F1=B,1,.,練習(xí),化簡下列邏輯函數(shù)為最簡與或函數(shù)式： F1=XYZ+XY+XYZ F2=BCD+AC+AB+BCD F3=ABC+ABC+ABC+ABC 解：,F1=(7,5,4,6),=X,F3=(4,5,6,7),=A,.,3. 含有無關(guān)項(xiàng)的化簡,約束項(xiàng)(不允許或不會(huì)出現(xiàn)的最小項(xiàng))和任意項(xiàng)(最小項(xiàng)可任意取值)統(tǒng)稱為無關(guān)項(xiàng)。常用d表示。 無關(guān)項(xiàng)在卡諾圖中用表示，既可看作1，也可看作0，視具體情況而定。例如：,F(A,B,C,D) =m(4,6,8,9,10,12,13,14)+d(0,2,5),.,例：用8421BCD碼表

10、示的1位十進(jìn)制數(shù)，當(dāng)十進(jìn)制數(shù)為奇數(shù)時(shí)，電路輸出為1，當(dāng)十進(jìn)制數(shù)為偶數(shù)時(shí)，電路輸出為0。試寫出上述邏輯關(guān)系的最簡與或表達(dá)式 解：,1,1,1,1,1,0 0 0 0 0,F = D,F(A,B,C,D) =m(1,3,5,7,9) +d(11,12,13,14,15),.,六.卡諾圖變換,與或轉(zhuǎn)換為或與 轉(zhuǎn)換原理 F=AD+AC+BD+BC F=A B+C D F=A B+C D =（A+B)(C+D) 化簡步驟: 將為0的相鄰項(xiàng)（方格）盡可能多的圈出，每個(gè)圈內(nèi)0的個(gè)數(shù)滿足2k； 方格0可以重復(fù)使用,每個(gè)圈要有新0,必須圈完所有的0 ； 將所有包圍圈內(nèi)的最小項(xiàng)合并成對(duì)應(yīng)或項(xiàng)，注意：合并后變量取值

11、為0用原變量，取值為1用反原變量； 相與所有或項(xiàng)得到最簡或與表達(dá)式。,0000 0111 0111 0111,.,與或轉(zhuǎn)換為與或非 轉(zhuǎn)換原理 將F= A C+A D+B C+B D轉(zhuǎn)換為與或非表達(dá)式。 F=A B+C D F=A B+C D 化簡步驟: 將為0的相鄰項(xiàng)（方格）盡可能多的圈出，每個(gè)圈內(nèi)0的個(gè)數(shù)滿足2k； 按圈1化簡，得到反函數(shù)的與或形式； 將反函數(shù)兩邊求反得到最簡與或非表達(dá)式。,六.卡諾圖變換,1011 1011 0000 1011,.,六.卡諾圖變換,與或轉(zhuǎn)換為或非 化簡步驟: 先將與或轉(zhuǎn)換為或與形式； 再利用摩根定理將或與轉(zhuǎn)換為或非表達(dá)式。 舉例 將F= A BD+AD+BD

12、+ABC轉(zhuǎn)換為或非表達(dá)式: F=(A+B+ D)(B+D)(A+C+D) F=(A+B+ D)+(B+D)+(A+C+D),0110 1001 1001 1011,.,3.4 邏輯函數(shù)門電路的實(shí)現(xiàn),邏輯函數(shù)經(jīng)過化簡之后，得到了最簡邏輯表達(dá)式。根據(jù)邏輯表達(dá)式，就可采用適當(dāng)?shù)倪壿嬮T來實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)。 邏輯函數(shù)的實(shí)現(xiàn)是通過邏輯電路圖表現(xiàn)出來的。邏輯電路圖是由邏輯符號(hào)以及其它電路符號(hào)構(gòu)成的電路連接圖。邏輯電路圖是除真值表，邏輯表達(dá)式和卡諾圖之外，表達(dá)邏輯函數(shù)的另一種方法。邏輯電路圖更接近于邏輯電路設(shè)計(jì)的工程實(shí)際。 由于采用的邏輯門不同，實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)的電路形式也不同。,.,例：已知某電路的輸入A、B、C及

13、輸出F波形如圖所示，試分析該電路的邏輯功能，（1）用與非門畫出其等效的邏輯電路，（2）用或非門畫出其等效的邏輯電路。,解：1)在波形圖標(biāo)出對(duì)應(yīng)的邏輯值 2)寫出邏輯表達(dá)式并化簡,0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0,3)畫出邏輯電路,.,例:用邏輯門實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)F=AB+AC+BC。,解：可用3個(gè)與門和1個(gè)或門，連接成先“與”后“或”的邏輯電路。,若用4個(gè)與非門或4個(gè)或非門也可實(shí)現(xiàn)該邏輯運(yùn)算,.,F=AB+AC+BC=,若用4個(gè)與非門實(shí)現(xiàn)該邏輯函數(shù),在所有基本邏輯門中，與非門是工程實(shí)際中大量應(yīng)用的邏輯門，單獨(dú)使用與非門可以實(shí)現(xiàn)任何組合的邏輯函數(shù)。,.,練習(xí),1,1,1,1,1,1,1,1,求最簡與或函數(shù)式并用與非門實(shí)現(xiàn)，畫出邏輯圖。 F(A,B,C,D)=m(0,2,3,6,7,8,14,15) 解：,.,1,1,用四個(gè)與非門實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)，畫出邏輯圖。 F=WXZ+WYZ+XYZ+WXYZ ，d=WYZ 解：,.,1,用兩個(gè)或非門實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)，畫出邏輯圖，允許反變量輸