1、三 圓的切線的性質(zhì)及判定定理互動課堂重難突破一、圓的切線的性質(zhì)定理及推論1.圓的切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.此定理強(qiáng)調(diào)半徑必須經(jīng)過切點(diǎn),否則結(jié)論不成立.由于過已知點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直,所以經(jīng)過圓心垂直于切線的直線一定過切點(diǎn);反過來,過切點(diǎn)垂直于切線的直線一定經(jīng)過圓心,因此可以得到兩個推論:推論1:經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).推論2:經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.2.分析性質(zhì)定理及兩個推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系,可得出如下結(jié)論:如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個,就可推出第三個.(1)垂直于切線;(2)過切點(diǎn);(3)過圓心.于是在利用切線性質(zhì)時,

2、過切點(diǎn)的半徑是常作的輔助線.3.另外,圓的切線還有兩條性質(zhì)應(yīng)當(dāng)注意,一是切線和圓只有一個公共點(diǎn);二是切線和圓心的距離等于圓的半徑.在許多實(shí)際問題中,我們也利用它們來解決.二、切線的判定定理1.切線的判定定理是經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.在定理中要分清定理的題設(shè)和結(jié)論,強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過半徑外端”和“垂直于這條半徑”這兩個條件缺一不可,否則就不是圓的切線,如圖2-3-1的例子就不同時滿足兩個條件,所以都不是圓的切線.圖2-3-12.用判定定理證明一直線與圓相切時,必須滿足兩個條件:過半徑的外端;垂直于這條半徑.因此在解決相關(guān)問題時,若已知要證的切線經(jīng)過圓上一點(diǎn),則需把這點(diǎn)與圓心相連,

3、證這直線與這半徑垂直;否則需先向這直線作垂線,再證這垂線段是圓的半徑.三、刨根問底問題1 判斷一條直線是否是圓的切線,通常有哪些方法？一般如何選取合適的方法？探究:判定切線通常有三種方法:（1）和圓有唯一一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線;（2）和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線;（3）過半徑外端且和半徑垂直的直線是圓的切線.“過半徑外端,垂直于這條半徑的直線是圓的切線”只是把“到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線”的定理具體化,在使用時要根據(jù)題目的具體要求選取合適的方法,如果涉及到數(shù)值計(jì)算或距離問題,通常利用（2）,如果涉及到線段的位置關(guān)系等,通常選?。?）.問題2 已知下列5個命題:(1)過半徑外端

4、的直線是圓的切線;(2)垂直于半徑的直線是圓的切線;(3)經(jīng)過半徑外端和這條直線垂直的直線是圓的切線;(4)過直徑端點(diǎn)且和這條直徑垂直的直線是圓的切線;(5)和圓有一個交點(diǎn)的直線是圓的切線.其中正確的命題序號是 .探究:首先判斷這些命題的條件與切線判定定理或定義是否一致.(3)(4)正確.活學(xué)巧用【例1】 如圖2-3-2所示,梯形ABCD中,ADBC,C=90,且AD+BC=AB,AB為O的直徑,求證:O與CD相切.圖2-3-2思路解析:欲證O與CD相切只需證明圓心O到直線CD的距離等于O的半徑即可.證明:過O點(diǎn)作OECD,垂足為E,ADOEBC.O為AB的中點(diǎn),E為CD的中點(diǎn).OE = (A

5、D +BC).又AD +BC =AB,OE = AB =O的半徑.O與CD相切.【例2】如圖2-3-3所示,已知AB為半圓O的直徑,直線MN切半圓于點(diǎn)C,ADMN于點(diǎn)D,BEMN于點(diǎn)E,BE交半圓于點(diǎn)F,AD =3 cm,BE =7 cm.圖2-3-3（1）求O的半徑;（2）求線段DE的長.思路解析:（1）連結(jié)OC,證點(diǎn)C為DE的中點(diǎn).在解有關(guān)圓的切線問題時,常常需要作出過切點(diǎn)的半徑.對于（2）則連結(jié)AF,證四邊形ADEF為矩形,從而得到AD =EF,DE =AF,然后在RtABF中運(yùn)用勾股定理,求AF的長.解:（1）連結(jié)OC.MN切半圓于點(diǎn)C,OCMN.ADMN,BEMN,ADOCBE.OA

6、 =OB,CD=CE.OC =（ADBE）=5 cm.O的半徑為5 cm.（2）連結(jié)AF.AB為半圓O的直徑,AFB=90.AFE=90.又ADE=DEF =90,四邊形ADEF為矩形.DE =AF,AD =EF =3 cm.在RtABF中,BF =BEEF=4 cm,AB =2OC=10 cm.由勾股定理,得 =,.【例3】如圖2-3-4所示,AB為O的直徑,BC、CD為O的切線,B、D為切點(diǎn),圖2-3-4（1）求證:ADOC;（2）若O的半徑為1,求ADOC的值.思路解析:對于（1）,連結(jié)OD、BD,證ADBD,OCBD;對于（2）,連結(jié)BD,證ABDOCB即可.（1）證明:連結(jié)OD、BD

7、.BC、CD是O的切線,OBBC,ODCD.OBC=ODC90.又OB=OD,OC=OC,RtOBC RtODC.BC=CD.OB =OD,OCBD.又AB為O的直徑,ADB =90,即ADBD.ADOC.（2）解:ADOC,A =BOC.又ADB =OBC=90,ABD OCB.=.ADOC =ABOB =21=2.【例4】如圖2-3-5,已知兩個同心圓O,大圓的直徑AB交小圓于C、D,大圓的弦EF切小圓于C,ED交小圓于G,若小圓的半徑為2,試求EG的長.圖2-3-5思路解析:由EF和小圓切于點(diǎn)C,易知EFCD.因?yàn)镃D為小圓的直徑,聯(lián)想“直徑上的圓周角為90”,考慮連結(jié)GC,則GCED.由已知條件