1、第三節(jié) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系,1. 平面的基本性質(zhì) 平面的基本性質(zhì)是研究空間圖形性質(zhì)的理論基礎(chǔ),即三個(gè)公理和公理3的三個(gè)推論. 公理1:如果一條直線上的 在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上 都在這個(gè)平面內(nèi). 公理2:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們還有其他公共點(diǎn),這些公共點(diǎn)的集合是 .,基礎(chǔ)梳理,兩點(diǎn),所有的點(diǎn),經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線,公理3:經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn), . 推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn), . 推論2:經(jīng)過兩條相交直線, . 推論3:經(jīng)過兩條平行直線, .,2. 空間兩條直線的位置關(guān)系,有且只有一個(gè)平面,有且只有一個(gè)平面,有且只有一個(gè)平面,有且只有一個(gè)平面

2、,異面直線,在同一平面內(nèi),有且只有一個(gè),3. 平行直線的公理及定理 (1)公理4:平行于同一條直線的兩條直線 . (2)定理:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別 并且方向 ,那么這兩個(gè)角相等.,4. 異面直線的判定及所成的角 (1)異面直線的判定 過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線, 和這個(gè)平面內(nèi) 的直線是異面直線.,互相平行,平行,相同,不經(jīng)過該點(diǎn),(3)異面直線垂直的定義 若兩條異面直線a,b所成的角是直角,則稱異面直線a,b ,記作 .,(2)異面直線所成的角 如果a,b是兩條異面直線,那么經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O,作直線aa,bb,直線a和b所成的 (或直角)叫做異面直線a,b所成的角.,銳角

3、,互相垂直,ab,【例1】下列命題: 空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面; 有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必重合; 空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面; 三角形是平面圖形; 平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形; 垂直于同一直線的兩直線平行; 一條直線和兩平行線中的一條相交,也必和另一條相交; 兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形. 其中正確的命題是 .,典例分析,題型一 點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,分析 根據(jù)公理及其推論作判斷.,解 由公理3知,不共線的三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面, 所以知命題、均錯(cuò),中有可能出現(xiàn)兩平面 只有一條公共線(當(dāng)這三個(gè)公共點(diǎn)共線時(shí)); 對(duì)于,空間兩兩相交的三條直線有三個(gè)交點(diǎn)或 一個(gè)交點(diǎn),若為三個(gè)交點(diǎn)

4、,則這三條直線共面,若只有一個(gè)交點(diǎn),則可能確定一個(gè)平面或三個(gè)平面;正確;中平行四邊形和梯形由公理3的推論及公理1可得必為平面圖形,而四邊形有可能是空間四邊形;對(duì)于,如圖,在正方體ABCDABCD中,直線 BBAB,BBBC,但AB與BC不平行,所以錯(cuò);ABCD, BBAB=B,但BB與CD不相交,所以錯(cuò);四邊形ADBC中,AD=DB=BC=CA,但它不是平行四邊形,所以也錯(cuò).故只有正確.,學(xué)后反思 平面性質(zhì)的三個(gè)公理及其推論,是論證線面關(guān)系的依據(jù),在判斷過程中要注意反例和圖形的應(yīng)用.,舉一反三 1. 給出下列命題: 如果平面與平面相交,那么它們只有有限個(gè)公共點(diǎn); 經(jīng)過空間任意三點(diǎn)的平面有且只有

5、一個(gè); 如果兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面重合為一個(gè)平面; 不平行的兩直線必相交. 其中正確命題的序號(hào)為 .,解析: 由公理2知,錯(cuò);由公理3知,錯(cuò);對(duì);不平行的兩直線可能異面.,答案： ,題型二 證明三點(diǎn)共線 【例2】如圖， 是正方體 的上底面 的中心，M是對(duì)角線 和截面 的交點(diǎn). 求證： 、M、A三點(diǎn)共線.,分析 要證明 、M、A三點(diǎn)共線，只需證明三點(diǎn)都在平面 和平面 的交線上.,學(xué)后反思 證明多點(diǎn)共線的方法：以公理2為依據(jù)，先找出兩個(gè)平面的交線，再證明各個(gè)點(diǎn)都是這兩個(gè)面的公共點(diǎn)，即在交線上，則多點(diǎn)共線.或者，先證明過其中兩點(diǎn)的直線是這兩個(gè)平面的交線，然后證明第三個(gè)點(diǎn)也在交線

6、上，同理其他的點(diǎn)都在交線上，即多點(diǎn)共線.,證明 = , 平面 ， 平面 平面 , 平面 平面 =M， 平面 M平面 ,M平面 又A平面 ,A平面 、M、A在兩個(gè)平面 和平面 的交線上，由公理2可知 、M、A三點(diǎn)共線.,舉一反三 2. 已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD(四條線段首尾相接,且連接點(diǎn)不在同一平面內(nèi),所組成的空間圖形叫空間四邊形)各邊AB、AD、CB、CD上的點(diǎn),且直線EF和GH的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P(如圖). 求證:點(diǎn)B、D、P在同一條直線上.,證明： 由于直線EF和GH交于點(diǎn)P, P直線EF. 又直線EF 平面ABD,P平面ABD. 同理,P平面CBD. P在平面ABD與平面C

7、BD的交線BD上, 即B、D、P三點(diǎn)在同一條直線上.,題型三 證明點(diǎn)線共面,【例3】求證:兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線在同一平面內(nèi).,分析 由題知，四條直線兩兩相交且不共點(diǎn)，故有兩種情況：一種是三條直線交于一點(diǎn)，另一種是任何三條直線都不共點(diǎn)，故分兩種情況證明.,證明 (1)如圖,設(shè)直線a,b,c相交于點(diǎn)O,直線d和a,b,c分別相交于A,B,C三點(diǎn),直線d和點(diǎn)O確定平面.由O平面,A平面,O直線a,A直線a,知直線a平面;同理b平面,c平面.故直線a,b,c,d共面于.,學(xué)后反思 證多線共面的方法： （1）以公理、推論為依據(jù)先證兩直線共面，然后再由公理1證第三條也在這個(gè)平面內(nèi).同理其他直線都在這

8、個(gè)平面內(nèi). （2）先由部分直線確定平面，再由其他直線確定平面,然后證明這些平面重合.,(2)如圖,設(shè)直線a,b,c,d兩兩相交,且任何三線不共點(diǎn),交點(diǎn)分別是M,N,P,Q,R,G.由直線ab=M,知直線a和b確定平面.由ac=N,bc=Q,知點(diǎn)N、Q都在平面內(nèi),故c;同理可證d.所以直線a,b,c,d共面于. 由(1)、(2)可知,兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).,舉一反三 3. 在正方體 中,E是AB的中點(diǎn),F是 的中點(diǎn). 求證:E、F、 、C四點(diǎn)共面.,證明： 如圖，連接 ,EF, . E是AB的中點(diǎn),F是 的中點(diǎn), EF EF 故E、F、 、C四點(diǎn)共面.,題型四證明三線共點(diǎn),【

9、例4】(14分)已知空間四邊形ABCD中,E、F分別 是AB、AD的中點(diǎn),G、H分別是BC、CD上的點(diǎn), 且 . 求證:直線EG、FH、AC相交于同一點(diǎn)P.,分析 先證E、F、G、H四點(diǎn)共面，再證EG、FH交于一點(diǎn)，然后證明這一點(diǎn)在AC上.,證明 E、F分別是AB、AD的中點(diǎn), EFBD且EF= BD.3 又 ,GHBD且GH= BD, EFGH且EFGH,.5 四邊形EFHG是梯形,其兩腰所在直線必相交,設(shè)兩腰EG、FH的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)P. .7 EG平面ABC,FH平面ACD, P平面ABC,P平面ACD. .9 又平面ABC平面ACD=AC,PAC. .12 故直線EG、FH、AC相交

10、于同一點(diǎn)P. .14,學(xué)后反思 證明三線共點(diǎn)的方法:首先證明其中的兩條直線交于一點(diǎn)，然后證明第三條直線是經(jīng)過這兩條直線的兩個(gè)平面的交線；由公理2可知，兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在這兩個(gè)平面的交線上，即三條直線交于一點(diǎn).,舉一反三 4. 已知正方體 中，E、F分別為棱AB、 的中點(diǎn). 求證：三條直線DA,CE, 交于一點(diǎn).,證明： 如圖，直線DA平面 ， 直線 平面 ， 顯然直線DA與直線 不平行， 設(shè)直線DA與直線 交于點(diǎn)M.同理，直線DA與直線CE都在平面AC內(nèi)且不平行，設(shè)直線AD與直線CE相交于點(diǎn)M. 又E，F(xiàn)為棱AB， 的中點(diǎn), 易知MA=AD，MA=AD, 所以M、M為直線AD上的同一點(diǎn), 因

11、此，三條直線DA，CE， 交于一點(diǎn).,易錯(cuò)警示,【例】如圖,過已知直線a外一點(diǎn)P,與直線a上的四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D分別畫四條直線.求證:這四條直線在同一平面內(nèi).,錯(cuò)解 P、A、B三點(diǎn)不共線, P、A、B共面,即PA、PB、AB共面. 同理,PB、PC、BC共面,PC、PD、CD共面. A、B、C、D均在直線a上, PA、PB、PC、PD四條直線在同一平面內(nèi).,錯(cuò)解分析 錯(cuò)解在證明了四條直線分別在三個(gè)平面(平面PAB、平面PBC、平面PCD)內(nèi)后,用A、B、C、D均在a上,而認(rèn)為三個(gè)平面重合在同一個(gè)平面上,這種方法是錯(cuò)誤的.錯(cuò)誤在于沒有根據(jù)地用一條直線來保證三個(gè)平面重合.,正解 過直線a及點(diǎn)P作

12、一平面, A、B、C、D均在a上,A、B、C、D均在內(nèi). 直線PA、PB、PC、PD上各有兩點(diǎn)在內(nèi), 由公理1可知,直線PA、PB、PC、PD均在平面內(nèi),即四條直線共面.,考點(diǎn)演練,10. 異面直線a、b所成的角為60，P為空間一點(diǎn)，求過P與a、b均成60角的直線的條數(shù).,解析： 先利用平移把異面直線轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面上的相交直線，且夾角為60，交點(diǎn)為P，然后利用圖形判斷把直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，可以得到這樣的直線僅有3條.,11. 如圖，在空間四邊形ABCD中，E、G分別是BC、AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有 試判定EF,GH,BD的位置關(guān)系，并證明.,解析： EF，GH，BD交于一點(diǎn).證明如下: ,FHAC，F(xiàn)H= AC. 又G，E分別為AB，BC的中點(diǎn)， GEAC，GE= AC，于是GEFH且GEFH， 四邊形EGHF是梯形. GH與EF的延長(zhǎng)線必相交于一點(diǎn)P. 則PGH,又GH 平面ABD，P平面ABD. 同理可證P平面BCD， 而平面ABD平面BCD=BD， PBD,直線EF、GH、BD交于一點(diǎn).,12. 在