1、1.6 余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析1.上兩節(jié)剛剛學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì),對(duì)于本節(jié)的學(xué)習(xí),有兩個(gè)內(nèi)容:一是余弦函數(shù)的圖像,二是余弦函數(shù)的性質(zhì).我們可以完全類比正弦函數(shù),只是作余弦函數(shù)圖像時(shí)可通過平移的方法得到,這也是類比思想、數(shù)形結(jié)合思想、圖像變換思想方法的應(yīng)用.2.由于三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型,這也是三角函數(shù)不同于其他類型函數(shù)的最重要的地方,而且對(duì)于周期函數(shù),只要認(rèn)識(shí)清楚它在一個(gè)周期的區(qū)間上的性質(zhì),那么我們就會(huì)完全清楚它在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì).教材要求我們研究三角函數(shù)性質(zhì)“就是要研究這類函數(shù)性質(zhì)具有的共同特點(diǎn)”,這是對(duì)數(shù)學(xué)思考方向的一種引導(dǎo).3.余弦函數(shù)性質(zhì)的難點(diǎn),

2、在于函數(shù)周期性的正確理解與運(yùn)用,以下的奇偶性,無論是由圖像觀察,還是由誘導(dǎo)公式進(jìn)行證明,都很容易;單調(diào)性只要求由圖像觀察,不要求證明.而余弦函數(shù)的最大值和最小值可以作為單調(diào)性的一個(gè)推論,只要注意引導(dǎo)學(xué)生利用周期進(jìn)行正確歸納即可.三維目標(biāo)1.通過類比正弦函數(shù)圖像的作圖方法,會(huì)用幾何法畫出余弦函數(shù)的圖像;通過誘導(dǎo)公式能用圖像平移的方法得到余弦函數(shù)的圖像. 2.觀察函數(shù)y=cosx,x0,2的圖像上,哪些點(diǎn)起著關(guān)鍵作用,并會(huì)用關(guān)鍵點(diǎn)畫出函數(shù)y=cosx在x0,2上的簡圖.3.通過類比、知識(shí)遷移的學(xué)習(xí)方法,提高探究新知的能力,并通過正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的對(duì)比,理解兩種函數(shù)的區(qū)別及內(nèi)在聯(lián)系.重

3、點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):會(huì)通過平移得到余弦函數(shù)的圖像,并會(huì)用五點(diǎn)法畫出余弦函數(shù)的圖像;余弦函數(shù)的性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn):結(jié)合圖像,余弦函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn).課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.(直接導(dǎo)入)我們?cè)谘芯苛苏液瘮?shù)的圖像,你能類比正弦函數(shù)圖像的作法作出余弦函數(shù)的圖像嗎？從學(xué)生畫圖像、觀察圖像入手,由此展開余弦函數(shù)性質(zhì)的探究.思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)研究函數(shù)就是要討論一些性質(zhì),ycosx是函數(shù),我們當(dāng)然也要探討它的一些屬性.本節(jié)課,我們就來研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最基本的幾條性質(zhì).請(qǐng)同學(xué)們回想一下,一般來說,我們是從哪些方面去研究一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)的呢(定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值

4、)?然后逐一進(jìn)行探究.推進(jìn)新課新知探究提出問題你能類比作正弦函數(shù)圖像的方法,用幾何方法畫出余弦函數(shù)的圖像嗎？你能類比正弦函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)得到函數(shù)y=cosx,x0,2的性質(zhì)嗎？ 比較正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì),你能發(fā)現(xiàn)它們都有哪些不同？活動(dòng):先讓學(xué)生充分思考、交流后再回答.對(duì)回答正確的學(xué)生,教師可鼓勵(lì)他按自己的思路繼續(xù)探究;對(duì)找不到思考方向的學(xué)生,教師可參與到他們中去,并適時(shí)地給予點(diǎn)撥、指導(dǎo).在上一節(jié)中,要求學(xué)生不僅會(huì)畫圖,還要識(shí)圖,這也是學(xué)生必須掌握的基本功.因此在研究余弦函數(shù)圖像與性質(zhì)時(shí),教師要引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘余弦函數(shù)曲線或單位圓中的三角函數(shù)線,當(dāng)然用多媒體課件來研究三角函數(shù)性質(zhì)是最理想

5、的.因?yàn)閱挝粓A中的三角函數(shù)線更直觀地表現(xiàn)了三角函數(shù)中的自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系,是研究三角函數(shù)性質(zhì)的好工具.用三角函數(shù)線研究三角函數(shù)的性質(zhì),體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法,有利于我們從整體上把握有關(guān)性質(zhì).對(duì)問題學(xué)生不一定畫準(zhǔn)確,教師要求學(xué)生盡量畫準(zhǔn)確,能畫出它們的變化趨勢(shì). 由誘導(dǎo)公式y(tǒng)=cosx=cos(-x)=sin-(-x)=sin(+x)可知,y=cosx的圖像就是函數(shù)y=sin(+x)的圖像.從而,余弦函數(shù)y=cosx的圖像可以通過將正弦曲線y=sinx向左平移個(gè)單位長度得到(如圖1所示).圖1 也可以利用描點(diǎn)法作出余弦函數(shù)的圖像(如圖2所示).余弦函數(shù)y=cosx(xR)的圖像叫作余弦曲

6、線. 圖2 教師引導(dǎo)學(xué)生類比正弦函數(shù)的性質(zhì)學(xué)習(xí),讓學(xué)生觀察余弦函數(shù)的圖像,從定義域、值域、周期性、最大值與最小值、單調(diào)性、奇偶性這幾個(gè)方面探究.可完全放給學(xué)生自己探究,教師僅是適時(shí)地給予引導(dǎo).學(xué)生很容易得出余弦函數(shù)ycosx,xR具有以下主要性質(zhì):(1)定義域余弦函數(shù)的定義域是R.(2)值域余弦函數(shù)的值域是-1,1.(3)周期性余弦函數(shù)是周期函數(shù),它的最小正周期是2. 由于余弦函數(shù)具有周期性,為了研究問題方便,我們可以選取任意一個(gè)x值,討論余弦函數(shù)在區(qū)間x,x+2上的性質(zhì),然后拓展到整個(gè)定義域(-,+)上.(4)最大值與最小值當(dāng)x=2k(kZ)時(shí),余弦函數(shù)取得最大值1;當(dāng)x=(2k+1)(kZ

7、)時(shí),余弦函數(shù)取得最小值-1.(5)單調(diào)性我們選取長度為2的區(qū)間-,.可以看出,當(dāng)x由-增大到0時(shí),cosx的值由-1增大到1,當(dāng)x由0增大到時(shí),cosx的值由1減小到-1.因此,余弦函數(shù)在區(qū)間-,0上遞增,在區(qū)間0,上遞減. 由余弦函數(shù)的周期性可知,余弦函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間(2k-1),2k(kZ)上都是遞增的,在每一個(gè)區(qū)間2k,(2k+1)(kZ)上都是遞減的.所以這兩類閉區(qū)間的每一個(gè)都是余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(6)奇偶性余弦函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,即cos(-x)=cosx.余弦函數(shù)是偶函數(shù).這個(gè)變化情況可從下表及圖像中直觀地顯示出來,教師可引導(dǎo)學(xué)生畫圖并列出下表:圖3x-0cosx-1010

8、-1 類比正弦函數(shù)性質(zhì)的探究,學(xué)生可能通過圖像已經(jīng)看出來了,在余弦曲線上也有其他的對(duì)稱點(diǎn)和對(duì)稱軸,如余弦曲線還關(guān)于直線x0,x等多條直線對(duì)稱,余弦曲線還關(guān)于點(diǎn)(,0)等多個(gè)點(diǎn)對(duì)稱,這是由它的周期性而來的.教師可就此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探討,以開闊學(xué)生的視野. 探究余弦函數(shù)的性質(zhì)后,學(xué)生自然會(huì)拿它與正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較一番,這種習(xí)慣很好.比較最能澄清問題的本質(zhì)屬性,比較是最好的學(xué)習(xí)方法. 當(dāng)我們仔細(xì)對(duì)比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)后,會(huì)發(fā)現(xiàn)它們有很多共同之處.我們不妨把兩個(gè)圖像中的直角坐標(biāo)系都去掉,會(huì)發(fā)現(xiàn)它們其實(shí)都是同樣形狀的曲線.所以它們的定義域相同,都為R.值域也相同,都是-1,1.最大值都是1,最小

9、值都是-1,只不過由于y軸放置的位置不同,使取得最大(或最小)值的時(shí)刻不同.它們的周期相同,最小正周期都是2.它們的圖像都是軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形,且都是以圖像上函數(shù)值為零所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為對(duì)稱中心,以過最值點(diǎn)且垂直于x軸的直線為對(duì)稱軸.但是由于y軸的位置不同,對(duì)稱中心及對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)也不同.它們都不具備單調(diào)性,但都有單調(diào)區(qū)間,且都是增、減區(qū)間間隔出現(xiàn).也是由于y軸的位置改變,使增、減區(qū)間的位置有所不同.也使奇偶性發(fā)生了改變.由此可以看出,圖像的平移變換對(duì)函數(shù)的性質(zhì)會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響.討論結(jié)果:略.應(yīng)用示例例1 畫出函數(shù)y=cosx-1,xR的簡圖,并根據(jù)圖像討論函數(shù)的性質(zhì).活動(dòng):這是課本

10、上緊接著余弦性質(zhì)后的一道例題,目的是通過這道例題直接鞏固所學(xué)的余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì).課堂上可放手讓學(xué)生自己去求,教師適時(shí)地指導(dǎo)、點(diǎn)撥、糾錯(cuò).并提示-1對(duì)余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的影響.讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉“五點(diǎn)法”作圖,領(lǐng)悟圖像作法的要領(lǐng),最終達(dá)到熟練掌握.從實(shí)際教學(xué)來看,“五點(diǎn)法”作圖易學(xué)卻難掌握,學(xué)生需練扎實(shí)的基本功.可先讓學(xué)生按“列表、描點(diǎn)、連線”三步來完成.對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的種種失誤,教師不要著急,在學(xué)生操作中一一糾正,這對(duì)以后學(xué)習(xí)大有好處.解:按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表,描點(diǎn)畫出圖像(如圖4所示).x02cosx10-101cosx-10-1-2-10圖4不難看出,函數(shù)y=cosx-1的主要性質(zhì)有(如下表所

11、示).函數(shù)y=cosx-1定義域R值域-2,0奇偶性偶函數(shù)周期2單調(diào)性當(dāng)x(2k-1),2k(kZ)時(shí),函數(shù)是遞增的;當(dāng)x2k,(2k+1)(kZ)時(shí),函數(shù)是遞減的最大值與最小值當(dāng)x=2k(kZ)時(shí),最大值為0;當(dāng)x=(2k+1)(kZ)時(shí),最小值為-2點(diǎn)評(píng):“五點(diǎn)法”是畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)簡圖的基本方法,本例是最簡單的變化.本例的目的是讓學(xué)生熟悉“五點(diǎn)法”.如果是多媒體教學(xué),要突破課件教學(xué)的互動(dòng)性,多留給學(xué)生一些動(dòng)手操作的時(shí)間,或者增加圖像糾錯(cuò)的環(huán)節(jié),效果將會(huì)更加令人滿意,切不可教師畫圖學(xué)生看.完成本例余弦后,學(xué)生從圖像上就可以一目了然地說出函數(shù)的性質(zhì)了.這也讓學(xué)生從中體會(huì)到了數(shù)形結(jié)合的好處

12、.例2 利用三角函數(shù)的單調(diào)性,比較cos(-)與cos(-)的大小.活動(dòng):學(xué)生很容易回憶起利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的大小比較,這很好,充分利用學(xué)生的知識(shí)遷移有利于學(xué)生能力的快速提高.本例是余弦,只需將角化為同一個(gè)單調(diào)區(qū)間,然后根據(jù)單調(diào)性比較大小即可.課堂上仍是讓學(xué)生自己獨(dú)立地去操作,教師點(diǎn)撥、糾錯(cuò),對(duì)思考方法不對(duì)的學(xué)生給予幫助指導(dǎo).解:cos(-)=cos=cos,cos(-)=cos()=cos.因?yàn)?,且函數(shù)y=cosx,x0,是減函數(shù),所以coscos,即cos(-)cos(-).點(diǎn)評(píng):推進(jìn)本例時(shí)應(yīng)提醒學(xué)生注意,在今后遇到的三角函數(shù)值大小比較時(shí),必須將已知角化為同一個(gè)單調(diào)區(qū)間.其次要注意首

13、先大致的判斷一下有沒有符號(hào)不同的情況,以便快速解題,如本例中,cos0,cos0,顯然大小立判.例3 求函數(shù)y=cos(x-),x-2,2的單調(diào)遞增區(qū)間.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生探究,可以利用余弦函數(shù)的單調(diào)性來求所給函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.教師引導(dǎo)學(xué)生的思考方向:把x-看成z,問題就轉(zhuǎn)化為求ycosz的單調(diào)區(qū)間問題,而這就簡單多了,教師應(yīng)點(diǎn)出,這里用的是換元的思想方法.解:令z=x-.函數(shù)y=cosz的單調(diào)遞增區(qū)間是-+2k,2k.由-+2kx-2k,得-+4kx+4k,kZ.取k=0,得-x,而-,-2,2,因此,函數(shù)y=cos(x-),x-2,2的單調(diào)遞增區(qū)間是-,.點(diǎn)評(píng):本例的求解是轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)

14、用,即利用余弦函數(shù)的單調(diào)性,將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于x的不等式問題.然后通過解不等式得到所求的單調(diào)區(qū)間,要讓學(xué)生熟悉并靈活運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想方法,善于將復(fù)雜的問題簡單化.4.求函數(shù)y的定義域.活動(dòng):學(xué)生探究操作,尋找解題方向,教師提醒學(xué)生充分利用函數(shù)圖像.并根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)點(diǎn)撥,糾正出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤或書寫不規(guī)范等.解:由cosx0得-2kx2k(kZ).原函數(shù)的定義域?yàn)?2k,2k(kZ).點(diǎn)評(píng):本例雖然短小,學(xué)生卻易出錯(cuò),本例實(shí)際上是解三角不等式,應(yīng)根據(jù)余弦曲線探究適合題目要求的條件,然后解之.本例可分作兩步,第一步轉(zhuǎn)化,第二步利用余弦函數(shù)曲線寫出解集.變式訓(xùn)練 函數(shù)y1+cosx的圖像(

15、 )A.關(guān)于x軸對(duì)稱 B.關(guān)于y軸對(duì)稱C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D.關(guān)于直線x對(duì)稱答案:B例5 (2007山東臨沂一模,17(1)在給定的直角坐標(biāo)系(如圖5)中,作出函數(shù)f(x)=cos(2x+)在區(qū)間0,上的圖像.圖5解:列表取點(diǎn)如下:x02f(x)10-01描點(diǎn)連線作出函數(shù)f(x)cos(2x+)在區(qū)間0,上的圖像如圖6.圖6點(diǎn)評(píng):本題按說難度不大,但學(xué)生得分率卻不高,畫圖是學(xué)生較薄弱的環(huán)節(jié).知能訓(xùn)練課本練習(xí)1-4.課堂小結(jié)1.由學(xué)生回顧歸納并說出本節(jié)學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？這節(jié)課我們研究了余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì).通過對(duì)兩個(gè)函數(shù)從定義域、值域、最值、奇偶性、周期性、增減性、對(duì)稱性

16、等幾方面的的比較,加深了我們對(duì)這兩個(gè)函數(shù)的理解.同時(shí)也鞏固了本節(jié)課所學(xué)的余弦函數(shù)的圖像的畫法及性質(zhì)的理解,將我們所學(xué)內(nèi)容很快地就納入了已有的知識(shí)系統(tǒng).2.進(jìn)一步熟悉了數(shù)形結(jié)合的思想方法,轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法,類比思想的方法及觀察、歸納、特殊到一般的辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn).作業(yè)課本習(xí)題15 3、4、5、6.設(shè)計(jì)感想1.本節(jié)教案設(shè)計(jì)的容量較大,指導(dǎo)思想是讓學(xué)生在課堂上充分探究、大量活動(dòng).作為函數(shù)的性質(zhì),從初中就開始學(xué)習(xí),到高中學(xué)習(xí)冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)后,對(duì)函數(shù)性質(zhì)有了較深的認(rèn)識(shí).這是高中所學(xué)的最后一個(gè)基本初等函數(shù).但由于以前所學(xué)的函數(shù)不是周期函數(shù),所以理解較為容易,而正弦函數(shù)、余弦函數(shù)除具有以前所學(xué)函數(shù)的共

17、性外,又有其特殊性,共性中包含特性,特性又離不開共性,這種普通性與特殊性的關(guān)系通過教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生有所領(lǐng)悟.2.在學(xué)完余弦函數(shù)性質(zhì)后,應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生比較正、余弦函數(shù)的性質(zhì)的異同,以加深他們對(duì)兩個(gè)函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系的認(rèn)識(shí);讓學(xué)生在同一坐標(biāo)系中畫出正弦、余弦函數(shù)的圖像,在解題中突出數(shù)形結(jié)合思想,在訓(xùn)練中降低變化技巧的難度,提高應(yīng)用圖像與性質(zhì)解題的力度.較好地利用圖像解決問題,這也是是本節(jié)課主要強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)思想.3.學(xué)習(xí)正、余弦函數(shù)性質(zhì)后,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)過去所學(xué)的知識(shí)重新認(rèn)識(shí),例如cos(+2)cos這個(gè)公式,以前我們只簡單地把它看成一個(gè)誘導(dǎo)公式,現(xiàn)在我們認(rèn)識(shí)到了它表明余弦函數(shù)的周期性,以提升學(xué)生的思維層次.備

18、課資料備用習(xí)題1.函數(shù)y=cosx,x-,的值域是 ( )A.0,1 B.-1,1 C.0, D.-,12.(2007山東臨沂)對(duì)于函數(shù)y=f(x)=下列命題中正確的是( )A.該函數(shù)的值域是-1,1B.當(dāng)且僅當(dāng)x=2k+(kZ)時(shí),函數(shù)取得最大值1C.該函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)D.當(dāng)且僅當(dāng)2k+x2k+(kZ)時(shí),f(x)03.(2005山東濰坊)已知-x,cosx=,則m的取值范圍是( )A.m-1 B.3m7+4 C.m3 D.3m7+4或m-14.(2004天津,12)定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù),若f(x)的最小正周期是,且當(dāng)x0,時(shí),f(x)=sinx,則f()的值為( )A.- B. C.- D.5.(2006廣東珠海)已知函數(shù)y=2cosx(0x1 000)的圖像與直線y=2圍成一個(gè)封閉的平面圖形,則這個(gè)封閉圖形的面積是_.6.(2005上海,10)函數(shù)f(x)=sinx+2|sinx|,x0,2的圖像與直線y=k有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則k的取值范圍是_.7.根據(jù)余弦函數(shù)的圖像,求滿足cos2x的x的集合.參考答案:1.A 畫出y=cosx,x-,的圖像,從而得出y0,1,故選A.2.D 畫圖像可知,值域?yàn)?,1,x=2k或x=2k+時(shí)取最大值,T=2,