1、7.3球1.了解球的體積和表面積公式.(重點(diǎn))2.會(huì)用球的體積和表面積公式解決實(shí)際問題. (難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理球閱讀教材P48“7.3球”一節(jié)至P49“例6”以上部分，完成下列問題.1.球的體積：球的半徑為R，那么它的體積V球R3.2.球的表面積：球的半徑為R，那么它的表面積S球面4R2.判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)直徑為d的球的表面積S4d2.()(2)若球的表面積擴(kuò)大為原來的16倍，則球的半徑擴(kuò)大為原來的4倍.()(3)若球的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則球的體積變?yōu)樵瓉淼?倍.()【答案】(1)(2)(3)小組合作型球的表面積與體積的計(jì)算 已知過球面上三點(diǎn)A，B，C的截面到球心的

2、距離等于，且ACBC，AB2，求球面面積與球的體積.【精彩點(diǎn)撥】利用已知條件，結(jié)合球心與截面圓心連線垂直于截面而構(gòu)成的直角三角形，求出半徑，從而求出球的體積與表面積.【自主解答】如圖所示，設(shè)球心為O，球半徑為R，作OO1平面ABC于O1，由于OAOBOCR，則O1是ABC的外心.由ACBC，AB2，知ABC是AB為斜邊的直角三角形，O1是AB的中點(diǎn)，在RtAOO1中，OO1，O1AAB1，OA2，即R2，S球面4R216，V球R3.1.球的表面積和體積只與球的半徑有關(guān)，因此解決該類問題的關(guān)鍵是如何根據(jù)已知條件求出球的半徑.2.在求球的半徑時(shí)，常用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面，球的截面有下面的

3、性質(zhì)：(1)球心和截面圓心的連線垂直于截面；(2)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r有下面的關(guān)系d.再練一題1.過球的半徑的中點(diǎn)，作一垂直于這條半徑的截面，已知此截面的面積為48 cm2，試求此球的表面積和體積.【解】如圖，設(shè)截面圓的圓心為O1，則OO1O1A，O1A為截面圓的半徑，OA為球的半徑.48O1A2，O1A248.在RtAO1O中，OA2O1O2O1A2，即R248，R8(cm)，S球面4R2464256(cm2)，V球R3(cm3).球的表面積及體積的應(yīng)用一個(gè)倒立的圓錐形容器，它的軸截面是正三角形.在此容器內(nèi)注入水并且放入一個(gè)半徑為r的鐵球，這時(shí)水面恰好和球面相切，問將

4、球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水面的高是多少？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【精彩點(diǎn)撥】設(shè)出球未取出時(shí)的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后減少的體積來建立一個(gè)關(guān)系式來解決.【自主解答】設(shè)PAB所在平面為軸截面，AB為水平面，設(shè)球未取出時(shí)，水面高PCh，球取出后水面高PHx，如圖所示.ACr，PC3r，以AB為底面直徑的圓錐的容積為V圓錐AC2PC(r)23r3r3，V球r3.球取出后水面下降到EF，水的體積為V水EH2PH(PHtan 30)2PHx3.而V水V圓錐V球，即x33r3r3，xr.故球取出后水面的高為r.1.畫出截面圖是解答本題的關(guān)鍵.2.球的體積和表面積有著非常重要的應(yīng)用.在具體問題中，要分清

5、涉及的是體積問題還是表面積問題，然后再利用等量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.再練一題2.圓柱形容器的內(nèi)壁底面半徑為5 cm，兩個(gè)直徑為5 cm的玻璃小球都浸沒于容器的水中，若取出這兩個(gè)小球，則容器的水面將下降多少？【解】設(shè)取出小球后，容器中水面下降h cm，兩個(gè)小球的體積為V球2，此體積即等于它們?cè)谌萜髦信懦鏊捏w積V52h，所以52h，所以h(cm)，即若取出這兩個(gè)小球，則容器的水面將下降 cm.探究共研型與球有關(guān)的切、接問題探究1一個(gè)正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比是多少？【提示】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則它的內(nèi)切球的半徑為a，它的外接球的半徑為a，故所求的比為13.探究2長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為3

6、,4,5，若它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積是多少？【提示】設(shè)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為l，球半徑為R，則所以R，所以S球4R250.在半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，試求這個(gè)半球的體積與正方體的體積之比.【精彩點(diǎn)撥】解答本題關(guān)鍵是找到球的半徑與正方體的棱長(zhǎng)間的關(guān)系，可通過正方體的對(duì)角面，也可將半球補(bǔ)成球，將其轉(zhuǎn)化為球的內(nèi)接長(zhǎng)方體問題，找到球的半徑與正方體棱長(zhǎng)的關(guān)系后，再利用體積公式計(jì)算，進(jìn)而作比即可.【自主解答】法一：作正方體對(duì)角面的截面，如圖所示，設(shè)半球的半徑為R，正方體的棱長(zhǎng)為a，那么CCa，OC，在RtCCO中，由勾股定理，得CC2OC2OC2，即a2R2，所以Ra.從而V半球R3a3

7、，V正方體a3.因此V半球V正方體a3a32.法二：將半球補(bǔ)成整個(gè)的球，同時(shí)把原半球的內(nèi)接正方體再補(bǔ)接一個(gè)同樣的正方體，構(gòu)成的長(zhǎng)方體剛好是這個(gè)球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線便是它的外接球的直徑.設(shè)原正方體棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，則根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)角線性質(zhì)，得(2R)2a2a2(2a)2，即4R26a2，所以Ra.從而V半球R3a3，V正方體a3.因此V半球V正方體a3a32.解決與球有關(guān)的接、切問題時(shí)，一般作一個(gè)適當(dāng)?shù)慕孛妫瑢栴}轉(zhuǎn)化為平面問題解決，這類截面通常是指圓錐的軸截面、球的大圓、多面體的對(duì)角面等，在這個(gè)截面中應(yīng)包括每個(gè)幾何體的主要元素，且這個(gè)截面包含體和體之間的主要位置關(guān)系和數(shù)

8、量關(guān)系.再練一題3.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A.a2B.a2C.a2D.5a2【解析】正三棱柱內(nèi)接于球，則球心在正三棱柱兩底面中心連線的中點(diǎn)處，在直角三角形中可得Ra，S4R24a2.【答案】B1.若球的體積與其表面積數(shù)值相等，則球的半徑等于()A. B.1C.2 D.3【解析】由題設(shè)球半徑為r，則4r2r3，可得r3，故選D.【答案】D2.表面積為Q的多面體的每一個(gè)面都與表面積為64的球相切，則這個(gè)多面體的體積為()A.Q B.Q C.Q D.2Q【解析】4R264R4，VQRQ，故選C.【答案】C3.已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AHHB12，AB平面，H為垂足，截球O所得截面的面積為，則球O的表面積為_.【解析】設(shè)截面小圓的半徑為r，球的半徑為R，因?yàn)锳HHB12，所以O(shè)HR.由勾股定理，有R2r2OH2，又由題意得r2，則r1，故R21，即R2.由球的表面積公式，得S4R2.【答案】4.已知正四棱錐O ABCD的體積為，底面邊長(zhǎng)為，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】過O作底面ABCD的垂線段OE，則E為正方形ABCD的中心.由題意可知()2OE，所以O(shè)E，故球的半徑ROA，則球的表面積S4R224.【答案】245.某幾何體的三視圖如圖1731所示(單位：m)：圖1731(