1、三 相似三角形的判定及性質(zhì)互動(dòng)課堂重難突破一、三角形相似的預(yù)備定理在初中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)相似三角形的知識(shí)，其定義是如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么稱這兩個(gè)三角形相似.對(duì)于三角形相似，其中對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù)).利用上一節(jié)所學(xué)的平行線分線段成比例定理，可得預(yù)備定理:平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形和原三角形相似.二、相似三角形的判定方法判定兩個(gè)三角形相似的方法有:(1)定義法，即對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等的三角形是相似三角形.當(dāng)然有了判定定理后，就不用定義判定了，這是因?yàn)槎x中的條件太多，實(shí)際上并不需要.(2)平行法，即平行于三角形一邊的直線和

2、其他兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.這就是預(yù)備定理.最常用的是判定定理，即判定定理1:兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；判定定理2:兩邊對(duì)應(yīng)成比例,夾角相等,兩三角形相似；判定定理3:三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似.在這些判定方法中，應(yīng)用最多的是判定定理1，即兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似.因?yàn)樗臈l件最容易尋求，實(shí)際證明當(dāng)中，要特別注意兩個(gè)三角形的公共角.判定定理2則常見(jiàn)于連續(xù)兩次證明相似時(shí)，在第二次使用此定理的情況較多.對(duì)于直角三角形相似的判定，除以上方法外，還有其特殊的方法:(1)如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似；(2)如果一個(gè)直角三角形的一條直角邊和斜

3、邊與另外一個(gè)直角三角形的直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似；(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似.在證明直角三角形相似時(shí)，要特別注意直角這一隱含條件的利用.三、相似三角形的性質(zhì)如果兩個(gè)三角形相似，那么它們的形狀相同，只在大小上有所區(qū)別，這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)元素之間有很重要的關(guān)系，分別是:(1)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；(3)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比；(4)相似三角形的面積比等于相似比的平方；(5)相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方，

4、利用這些關(guān)系，可以進(jìn)行各種各樣的求值和證明.四、刨根問(wèn)底問(wèn)題在初中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)全等三角形，兩個(gè)全等三角形的大小、形狀是完全一樣的，相似三角形是形狀相同但大小不一樣的三角形，顯然，當(dāng)兩個(gè)相似三角形的相似比為1的時(shí)候，相似三角形就成了全等三角形，那么，這兩者之間有哪些聯(lián)系和差別呢？探究:鑒于相似三角形和全等三角形的類似點(diǎn)，在學(xué)習(xí)相似三角形的性質(zhì)時(shí)，可以類比全等三角形的性質(zhì)來(lái)研究，下面采用表格的形式對(duì)兩者作比較:全等三角形相似三角形1對(duì)應(yīng)邊相等對(duì)應(yīng)邊成比例2對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)角相等3對(duì)應(yīng)中線相等對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比4對(duì)應(yīng)角平分線相等對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比5對(duì)應(yīng)高相等對(duì)應(yīng)高的比等于相似比6周長(zhǎng)相等

5、周長(zhǎng)比等于相似比7面積相等面積比等于相似比的平方你可以從兩者的對(duì)比中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)相似三角形的相似比為1時(shí)，二者完全相同，所以我們研究相似三角形的性質(zhì)的時(shí)候，切記從相似比入手即可，涉及線段的比均等于相似比，只有面積的比是相似比的平方.活學(xué)巧用【例1】如圖1-3-1,ABC中,ACB=90,CDAB于D,DEAC于E,那么和ABC相似但不全等的三角形共有()圖-3-1A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)思路解析:圖中所有三角形都是直角三角形,根據(jù)判定兩個(gè)直角三角形相似的方法,與ABC相似的三角形共有5個(gè),它們分別是:ADE、DCE、ACD、CBD和ABC,但是ABC不合題意.答案:D【例2】如圖1-3

6、-2,已知在ABC中,AB =AC,A =36,BD是ABC的平分線,試?yán)萌切蜗嗨频年P(guān)系說(shuō)明AD2=DCAC.圖1-3-2思路解析:有一個(gè)角是36的等腰三角形,它的底角是72,而B(niǎo)D是底角的平分線,CBD=36,則可推出ABCBCD,進(jìn)而由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例推出線段之間的比例關(guān)系.證明:A=36,AB=AC,ABC=C=72.又BD平分ABC，ABD=CBD=36.AD =BD =BC，且ABCBCD.BCAB =CDBC.BC2=ABCD.AD2=ACCD.【例3】如圖1-3-3，已知ACB =ADE，ABC =AED.求證:ABE =ACD.圖1-3-3思路解析:ABE和ACD分別

7、位于ABE和ACD中，顯然不可以利用全等來(lái)證明這兩個(gè)角相等，但這兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形能相似嗎？從已知條件中給的四個(gè)角分別在ABC和AED中，由它們相等不難證明ABCAED，這一對(duì)三角形的相似，溝通了我們想要證明的兩個(gè)三角形的關(guān)系，溝通了兩個(gè)角的關(guān)系.這里使用了“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似”的判定方法.證明:ABC=AED，ACB=ADE,ABCAED.=,BAC =EAD.=,BAC-EAC =EAD -EAC,即BAE=CAD.ABEACD（兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似）.ABE=ACD.【例4】如圖1-3-4，已知ABC中，AB =AC，AD是BC邊上的中線，CFBA，BF交AD于P點(diǎn)，交AC于E點(diǎn).求證:BP2=PEPF.圖1-3-4思路解析:因?yàn)锽P、PE、PF三條線段共線，找不到兩個(gè)三角形，所以必須考慮等線段代換等其他方法，因?yàn)锳B =AC，D是BC中點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)知AD是BC的垂直平分線，如果我們連結(jié)PC，由線段垂直平分線的性質(zhì)知PB =PC，只需證明PECPCF，問(wèn)題就能解決了.圖1-3-5證明:連結(jié)PC，在ABC中，AB =