1、第二十四章時(shí)間序列模型 時(shí)間序列是按時(shí)間順序排列的、隨時(shí)間變化且相互關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)序列。分析時(shí)間序列的方法構(gòu)成數(shù)據(jù)分析的一個(gè)重要領(lǐng)域，即時(shí)間序列分析。 時(shí)間序列根據(jù)所研究的依據(jù)不同，可有不同的分類(lèi)。 1. 按所研究的對(duì)象的多少分，有一元時(shí)間序列和多元時(shí)間序列。 2. 按時(shí)間的連續(xù)性可將時(shí)間序列分為離散時(shí)間序列和連續(xù)時(shí)間序列兩種。 3. 按序列的統(tǒng)計(jì)特性分，有平穩(wěn)時(shí)間序列和非平穩(wěn)時(shí)間序列。如果一個(gè)時(shí)間序列的概率分布與時(shí)間t 無(wú)關(guān)，則稱該序列為嚴(yán)格的（狹義的）平穩(wěn)時(shí)間序列。如果序列的一、二階矩存在，而且對(duì)任意時(shí)刻t 滿足： （1） 均值為常數(shù) （2） 協(xié)方差為時(shí)間間隔 的函數(shù)。 則稱該序列為寬平穩(wěn)時(shí)間

2、序列，也叫廣義平穩(wěn)時(shí)間序列。我們以后所研究的時(shí)間序列主要是寬平穩(wěn)時(shí)間序列。 4. 按時(shí)間序列的分布規(guī)律來(lái)分，有高斯型時(shí)間序列和非高斯型時(shí)間序列。 1確定性時(shí)間序列分析方法概述 時(shí)間序列預(yù)測(cè)技術(shù)就是通過(guò)對(duì)預(yù)測(cè)目標(biāo)自身時(shí)間序列的處理，來(lái)研究其變化趨勢(shì)的。一個(gè)時(shí)間序列往往是以下幾類(lèi)變化形式的疊加或耦合。 （1） 長(zhǎng)期趨勢(shì)變動(dòng)。它是指時(shí)間序列朝著一定的方向持續(xù)上升或下降，或停留在某一水平上的傾向，它反映了客觀事物的主要變化趨勢(shì)。 （2） 季節(jié)變動(dòng)。 （3） 循環(huán)變動(dòng)。通常是指周期為一年以上，由非季節(jié)因素引起的漲落起伏波形相似的波動(dòng)。 （4） 不規(guī)則變動(dòng)。通常它分為突然變動(dòng)和隨動(dòng)。 通常用Tt 表示長(zhǎng)期

3、趨勢(shì)項(xiàng)，St 表示季節(jié)變動(dòng)趨勢(shì)項(xiàng)，Ct 表示循環(huán)變動(dòng)趨勢(shì)項(xiàng)，Rt 表示隨機(jī)干擾項(xiàng)。常見(jiàn)的確定性時(shí)間序列模型有以下幾種類(lèi)型： （1） 加法模型 -309- yt（2） 乘法模型 yt（3） 混合模型 ytyt= Tt + St + Ct + Rt= Tt St Ct Rt= Tt St + Rt= St + Tt Ct Rt其中 y 是觀測(cè)目標(biāo)的觀測(cè)記錄， E(R ) = 0 ， E(R 2 ) = s 2 。 ttt如果在預(yù)測(cè)時(shí)間范圍以內(nèi)，無(wú)突然變動(dòng)且隨動(dòng)的方差s 2 較小，并且有理由認(rèn)為過(guò)去和現(xiàn)在的演變趨勢(shì)將繼續(xù)發(fā)展到未來(lái)時(shí)，可用一些經(jīng)驗(yàn)方法進(jìn)行預(yù)測(cè)。 2移動(dòng)平均法 移動(dòng)平均法是根據(jù)時(shí)間序列

4、資料逐漸推移，依次計(jì)算包含一定項(xiàng)數(shù)的時(shí)序平均數(shù)， 以反映長(zhǎng)期趨勢(shì)的方法。當(dāng)時(shí)間序列的數(shù)值由于受周期變動(dòng)和不規(guī)則變動(dòng)的影響，起伏較大，不易顯示出發(fā)展趨勢(shì)時(shí)，可用移動(dòng)平均法，消除這些因素的影響，分析、預(yù)測(cè)序 列的長(zhǎng)期趨勢(shì)。 移動(dòng)平均法有簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法，加權(quán)移動(dòng)平均法，趨勢(shì)移動(dòng)平均法等。 2.1 簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法 設(shè)觀測(cè)序列為 y1 ,L, yT ，取移動(dòng)平均的項(xiàng)數(shù) N T 。一次簡(jiǎn)單移動(dòng)平均值計(jì)算公式為： tM (1) =1( yt + yNt -1+L + yt - N +1 )= 1 ( y+L+ y) + 1 ( y - y) = M (1) + 1 ( y -1Nt -1t - NNtt -

5、 Nt -1Ntyt -N )（ ） 當(dāng)預(yù)測(cè)目標(biāo)的基本趨勢(shì)是在某一水平上下波動(dòng)時(shí)，可用一次簡(jiǎn)單移動(dòng)平均方法建立預(yù)測(cè)模型： y= M (1) =1 ( y+ L+ y) ，t = N , N + 1,L，（2） t +1tNtt - N +1T( y - y )2ttt = N +1T - N其預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)誤差為： S =，（3） 最近 N 期序列值的平均值作為未來(lái)各期的預(yù)測(cè)結(jié)果。一般 N 取值范圍： 5 N 200 。當(dāng)歷史序列的基本趨勢(shì)變化不大且序列中隨動(dòng)成分較多時(shí)， N 的取值應(yīng)較大一些。否則 N 的取值應(yīng)小一些。在有確定的季節(jié)變動(dòng)周期的資料中，移動(dòng)平均的項(xiàng)數(shù)應(yīng)取周期長(zhǎng)度。選擇最佳 N 值的一

6、個(gè)有效方法是，比較若干模型的預(yù)測(cè)誤差。預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)誤差最小者為好。 例 1 某企業(yè) 1 月11 月份的銷(xiāo)售收入時(shí)間序列如表 1 示。試用一次簡(jiǎn)單滑動(dòng)平均法預(yù)測(cè)第 12 月份的銷(xiāo)售收入。 表 1 企業(yè)銷(xiāo)售收入 月份t123456銷(xiāo)售收入 yt533.8574.6606.9649.8705.1772.0月份t7891011銷(xiāo)售收入 yt816.4892.7963.91015.11102.7解： 分別取 N = 4, N = 5 的預(yù)測(cè)公式 y + y+ y+ yy(1) = tt -1t -2t-3 ， t = 4,5,L,11t+1y=(2)t+14yt + yt -1 + yt -2 + yt-3

7、 + yt -4 ， t = 5, L,11512當(dāng) N = 4 時(shí)，預(yù)測(cè)值 y(1) = 993.6 ，預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為 S1 =11( y- y )(1)2tt t =5= 150.5 11 - 412當(dāng) N = 5 時(shí)，預(yù)測(cè)值 y( 2) = 182.4 ，預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為 11( y- y )( 2)2tt t=611 - 5S2 = 958.2計(jì)算結(jié)果表明， N = 4 時(shí)，預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)誤差較小，所以選取 N = 4 。預(yù)測(cè)第 12 月份的銷(xiāo)售收入為 993.6。 計(jì)算的 Matlab 程序如下： clc,cleary=533.8574.6606.9649.8705.1772.0816

8、.4892.7963.91015.11102.7;m=length(y);n=4,5;%n 為移動(dòng)平均的項(xiàng)數(shù) for i=1:length(n)%由于 n 的取值不同，yhat 的長(zhǎng)度不一致，下面使用了細(xì)胞數(shù)組 for j=1:m-n(i)+1yhati(j)=sum(y(j:j+n(i)-1)/n(i);end y12(i)=yhati(end);s(i)=sqrt(mean(y(n(i)+1:m)-yhati(1:end-1).2);endy12,s簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法只適合做近期預(yù)測(cè)，而且是預(yù)測(cè)目標(biāo)的發(fā)展趨勢(shì)變化不大的情況。如果目標(biāo)的發(fā)展趨勢(shì)存在其它的變化，采用簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法就會(huì)產(chǎn)生較大的預(yù)測(cè)

9、偏差和滯后。 2.2 加權(quán)移動(dòng)平均法 在簡(jiǎn)單移動(dòng)平均公式中，每期數(shù)據(jù)在求平均時(shí)的作用是等同的。但是，每期數(shù)據(jù)所包含的信息量不一樣，近期數(shù)據(jù)包含著更多關(guān)于未來(lái)情況的信心。因此，把各期數(shù)據(jù)等同看待是不盡合理的，應(yīng)考慮各期數(shù)據(jù)的重要性，對(duì)近期數(shù)據(jù)給予較大的權(quán)重，這就是加權(quán)移動(dòng)平均法的基本思想。 設(shè)時(shí)間序列為 y1 , y2 ,L, yt ,L；加權(quán)移動(dòng)平均公式為 M= w1yt + w2 y2 +L+ wN yt-N +1 ，t N（4） （ 4 ） tww + w+L+ w12N式中 Mtw 為t 期加權(quán)移動(dòng)平均數(shù)；wi 為 yt-i+1 的權(quán)數(shù)，它體現(xiàn)了相應(yīng)的 yt 在加權(quán)平均數(shù)中的重要性。 利

10、用加權(quán)移動(dòng)平均數(shù)來(lái)做預(yù)測(cè)，其預(yù)測(cè)公式為 yt+1 = Mtw即以第t 期加權(quán)移動(dòng)平均數(shù)作為第t + 1 期的預(yù)測(cè)值。 （5） 例 2我國(guó) 19791988 年原煤產(chǎn)量如表 2 所示，試用加權(quán)移動(dòng)平均法預(yù)測(cè) 1989 年的產(chǎn)量。 表 2 我國(guó)原煤產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)及加權(quán)移動(dòng)平均預(yù)測(cè)值表 年份 1979198019811982198319841985198619871988原煤產(chǎn)量 yt6.356.206.226.667.157.898.728.949.289.8三年加權(quán)移動(dòng)平均預(yù)測(cè)值 6.2356.43676.83177.43838.18178.69179.0733相對(duì)誤差（） 6.389.9813.

11、4114.78.486.347.41解 取 w1 = 3, w2 = 2, w3 = 1，按預(yù)測(cè)公式 yt+1= 3yt + 2 yt-1 + yt -23 + 2 + 1計(jì)算三年加權(quán)移動(dòng)平均預(yù)測(cè)值，其結(jié)果列于表 2 中。1989 年我國(guó)原煤產(chǎn)量的預(yù)測(cè)值為（億噸） y1989= 3 9.8 + 2 9.28 + 8.94 = 9.486這個(gè)預(yù)測(cè)值偏低，可以修正。其方法是：先計(jì)算各年預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的相對(duì)誤差，例如 1982 年為 6.66 - 6.235 = 6.38%6.66 yt將相對(duì)誤差列于表 2 中，再計(jì)算總的平均相對(duì)誤差。 1-100% = (1-52.89) 100% = 9.5%

12、y 58.44 t由于總預(yù)測(cè)值的平均值比實(shí)際值低9.5% ，所以可將 1989 年的預(yù)測(cè)值修正為 9.481 - 9.5%= 10.4788計(jì)算的 MATLAB 程序如下： y=6.35 6.206.226.667.157.898.728.949.289.8; w=1/6;2/6;3/6;m=length(y);n=3; for i=1:m-n+1yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;end yhaterr=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1)./y(n+1:m) T_err=1-sum(yhat(1:end-1)/sum(y(n+1:m) y1989=yhat(end)/

13、(1-T_err)在加權(quán)移動(dòng)平均法中， wt 的選擇，同樣具有一定的經(jīng)驗(yàn)性。一般的原則是：近期數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)大，遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)小。至于大到什么程度和小到什么程度，則需要按照預(yù)測(cè)者對(duì)序列的了解和分析來(lái)確定。 2.3 趨勢(shì)移動(dòng)平均法 簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法和加權(quán)移動(dòng)平均法，在時(shí)間序列沒(méi)有明顯的趨勢(shì)變動(dòng)時(shí)，能夠準(zhǔn)確反映實(shí)際情況。但當(dāng)時(shí)間序列出現(xiàn)直線增加或減少的變動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，用簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法和加權(quán)移動(dòng)平均法來(lái)預(yù)測(cè)就會(huì)出現(xiàn)滯后偏差。因此，需要進(jìn)行修正，修正的方法是作二次移動(dòng)平均，利用移動(dòng)平均滯后偏差的規(guī)律來(lái)建立直線趨勢(shì)的預(yù)測(cè)模型。這就是趨勢(shì)移動(dòng)平均法。 一次移動(dòng)的平均數(shù)為 tM (1) =1( yt + yNt -1

14、+L + yt - N +1 )在一次移動(dòng)平均的基礎(chǔ)上再進(jìn)行一次移動(dòng)平均就是二次移動(dòng)平均，其計(jì)算公式為 M ( 2) = 1 (M (1) +L+ M (1) = M (2) + 1 (M (1) - M (1) )（6） tNtt - N +1t -1Ntt - N下面討論如何利用移動(dòng)平均的滯后偏差建立直線趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型。 設(shè)時(shí)間序列yt 從某時(shí)期開(kāi)始具有直線趨勢(shì)，且認(rèn)為未來(lái)時(shí)期也按此直線趨勢(shì)變化，則可設(shè)此直線趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型為 yt +T = at + btT ，T = 1,2,L（7） 其中t 為當(dāng)前時(shí)期數(shù)； T 為由t 至預(yù)測(cè)期的時(shí)期數(shù)； at 為截距； bt 為斜率。兩者又稱為平滑系數(shù)。

15、現(xiàn)在，我們根據(jù)移動(dòng)平均值來(lái)確定平滑系數(shù)。由模型（7）可知 at = ytyt -1 = yt - bt yt-2 = yt - 2bt yt- N +1 = yt - (N -1)bt所以 M (1) = yt + yt-1 +L + yt -N +1 = yt + ( yt - bt ) +L+ yt - (N -1)bt 因此 tN= Nyt -1 + 2 +L+ (N -1)bt = y Ny - M (1) = N -1 btt2tN- N -1 bt2t（8） （ 8 ） - 由式（7），類(lèi)似式（8）的推導(dǎo)，可得 y- M (1) = N1 b（9） 所以 t-1t -12t= M-

16、 M= by - y(1)(1)（10） tt -1tt -1t類(lèi)似式（8）的推導(dǎo)，可得 M (1) - M ( 2) = N -1 b（11） （11） tt2t于是，由式（8）和式（11）可得平滑系數(shù)的計(jì)算公式為 a = 2M (1) - M (2) t2 tt(1)( 2)（12） bt = N -1 (Mt- Mt )例 3我國(guó) 19651985 年的發(fā)電總量如表 3 所示，試預(yù)測(cè) 1986 年和 1987 年的發(fā)電總量。 表 3 我國(guó)發(fā)電量及一、二次移動(dòng)平均值計(jì)算表 年份 t發(fā)電總量 yt一次移動(dòng)平均，N6二次移動(dòng)平均，N6196516761966282519673774196847

17、1619695940197061159848.3197171384966.31972815241082.81973916681231.819741016881393.819751119581563.51181.119761220311708.81324.519771322341850.51471.919781425662024.21628.819791528202216.21792.819801630062435.81966.5198117309326252143.419821832772832.72330.719831935143046253019842037703246.72733.719

18、852141073461.22941.2解 由散點(diǎn)圖 1 可以看出，發(fā)電總量基本呈直線上升趨勢(shì)，可用趨勢(shì)移動(dòng)平均法來(lái)預(yù)測(cè)。 450040003500300025002000150010005000510152025圖 1 原始數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖 取 N = 6 ，分別計(jì)算一次和二次移動(dòng)平均值并列于表 3 中。 M (1) = 3461.2 ， M ( 2) = 2941.22121再由公式（12），得 a= 2M (1) - M ( 2) = 3981.1212 2121b = (M (1) - M (2) ) = 20821 6 -1 2121于是，得t = 21 時(shí)直線趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型為 y21+T

19、= 3981.1+ 208T預(yù)測(cè) 1986 年和 1987 年的發(fā)電總量為y1986 = y22 = y21+1 = 4192.1 y1987 = y23 = y21+2 = 4397.1計(jì)算的 MATLAB 程序如下： clc,clearload y.txt%把原始數(shù)據(jù)保存在純文本文件 y.txt 中 m1=length(y);n=6;%n 為移動(dòng)平均的項(xiàng)數(shù) for i=1:m1-n+1yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1)/n;end yhat1m2=length(yhat1); for i=1:m2-n+1yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1)/n;end yha

20、t2plot(1:21,y,*) a21=2*yhat1(end)-yhat2(end)b21=2*(yhat1(end)-yhat2(end)/(n-1) y1986=a21+b21y1987=a21+2*b21趨勢(shì)移動(dòng)平均法對(duì)于同時(shí)存在直線趨勢(shì)與周期波動(dòng)的序列，是一種既能反映趨勢(shì)變化，又可以有效地分離出來(lái)周期變動(dòng)的方法。 3指數(shù)平滑法 1一次移動(dòng)平均實(shí)際上認(rèn)為最近 N 期數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)值影響相同，都加權(quán)；而 N 期 N以前的數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)值沒(méi)有影響，加權(quán)為 0。但是，二次及更高次移動(dòng)平均數(shù)的權(quán)數(shù)卻不 1是 ，且次數(shù)越高，權(quán)數(shù)的結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，但永遠(yuǎn)保持對(duì)稱的權(quán)數(shù)，即兩端項(xiàng)權(quán)數(shù)小， N中間項(xiàng)權(quán)數(shù)大，不符

21、合一般系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性。一般說(shuō)來(lái)歷史數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)值的影響是隨時(shí)間間隔的增長(zhǎng)而遞減的。所以，更切合實(shí)際的方法應(yīng)是對(duì)各期觀測(cè)值依時(shí)間順序進(jìn)行加權(quán)平均作為預(yù)測(cè)值。指數(shù)平滑法可滿足這一要求，而且具有簡(jiǎn)單的遞推形式。 指數(shù)平滑法根據(jù)平滑次數(shù)的不同，又分為一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法等，分別介紹如下。 3.1 一次指數(shù)平滑法 1. 預(yù)測(cè)模型 設(shè)時(shí)間序列為 y1, y2 ,L, yt ,L ， 為加權(quán)系數(shù)，0 a 1，一次指數(shù)平滑公式為： - S)S (1) = ay + (1- a )S (1) = S (1) + a ( y(1)（13） ttt -1t -1tt -1式（13）是由移動(dòng)平均

22、公式改進(jìn)而來(lái)的。由式（1）知，移動(dòng)平均數(shù)的遞推公式為 M (1) = M (1) + yt - yt -N tt -1N以 M (1) 作為 y的最佳估計(jì)，則有 t -1t -N(1)1 (1)(1)y - My(1)Mt= Mt -1 + tt-1 = t + 1- Mt-1NNN 令a = 1 ，以 S 代替 M (1) ，即得式（13） N ttS (1) = ay + (1- a )S (1)ttt-1為進(jìn)一步理解指數(shù)平滑的實(shí)質(zhì)，把式（13）依次展開(kāi)，有 ttt -1t -2t - jS (1) = ay + (1- a )ay+ (1- a )S (1) = L = a(1 - a

23、) j yj =0（14） t（ 14 ） 式 表明 S (1) 是全 部歷史數(shù) 據(jù)的加權(quán) 平均，加 權(quán)系數(shù)分 別為 a ,a (1 - a ),a (1 - a )2 ,L；顯然有 a (1- a ) j= a= 1 1 - (1j =0- a )由于加權(quán)系數(shù)符合指數(shù)規(guī)律，又具有平滑數(shù)據(jù)的功能，故稱為指數(shù)平滑。以這種平滑值進(jìn)行預(yù)測(cè)，就是一次指數(shù)平滑法。預(yù)測(cè)模型為 t+1y= St (1)即 yt+1 = ayt + (1 - a ) yt（15） 也就是以第t 期指數(shù)平滑值作為t + 1 期預(yù)測(cè)值。 2. 加權(quán)系數(shù)的選擇 在進(jìn)行指數(shù)平滑時(shí)，加權(quán)系數(shù)的選擇是很重要的。由式（15）可以看出， 的

24、大小規(guī)定了在新預(yù)測(cè)值中新數(shù)據(jù)和原預(yù)測(cè)值所占的比重。 值越大，新數(shù)據(jù)所占的比重就愈大，原預(yù)測(cè)值所占的比重就愈小，反之亦然。若把式（15）改寫(xiě)為 yt+1 = yt + a ( yt - yt )（16） 則從上式可看出，新預(yù)測(cè)值是根據(jù)預(yù)測(cè)誤差對(duì)原預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正而得到的。的大小則體現(xiàn)了修正的幅度， 值愈大，修正幅度愈大； 值愈小，修正幅度也愈小。 若選取a = 0 ，則 yt+1 = yt ，即下期預(yù)測(cè)值就等于本期預(yù)測(cè)值，在預(yù)測(cè)過(guò)程中不考慮任何新信息；若選取a = 1 ，則 yt+1 = yt ，即下期預(yù)測(cè)值就等于本期觀測(cè)值，完全不相信過(guò)去的信息。這兩種 情況很難做出正確的預(yù)測(cè)。因此， 值應(yīng)根據(jù)時(shí)

25、間序列的具體性質(zhì)在 01 之間選擇。具體如何選擇一般可遵循下列原則：如果時(shí)間序列波動(dòng)不大，比較平穩(wěn)，則 應(yīng)取小一點(diǎn)，如（0.10.5）。以減幅度，使預(yù)測(cè)模型能包含較長(zhǎng)時(shí)間序列的信息；如果時(shí)間序列具有迅速且明顯的變動(dòng)傾向，則 應(yīng)取大一點(diǎn)，如（0.60.8）。使預(yù)測(cè)模型靈敏度高一些，以便迅速跟上數(shù)據(jù)的變化。 在實(shí)用上，類(lèi)似移動(dòng)平均法，多取幾個(gè) 值進(jìn)行試算，看哪個(gè)預(yù)測(cè)誤差小，就采用哪個(gè)。 3. 初始值的確定 0用一次指數(shù)平滑法進(jìn)行預(yù)測(cè)，除了選擇合適的 外，還要確定初始值 s(1) 。初始值是由預(yù)測(cè)者估計(jì)或指定的。當(dāng)時(shí)間序列的數(shù)據(jù)較多，比如在 20 個(gè)以上時(shí)，初始值對(duì)以后的預(yù)測(cè)值影響很少，可選用第一期

26、數(shù)據(jù)為初始值。如果時(shí)間序列的數(shù)據(jù)較少，在 20個(gè)以下時(shí)，初始值對(duì)以后的預(yù)測(cè)值影響很大，這時(shí)，就必須認(rèn)真研究如何正確確定初始值。一般以最初幾期實(shí)際值的平均值作為初始值。 例 4某市 19761987 年某種電器銷(xiāo)售額如表 4 所示。試預(yù)測(cè) 1988 年該電器銷(xiāo)售額。 解 采用指數(shù)平滑法，并分別取a = 0.2, 0.5 和0.8 進(jìn)行計(jì)算，初始值 S (1) = y1 + y2 = 5102即 y = S (1) = 5110按預(yù)測(cè)模型 yt +1 = a yt + (1-a ) yt計(jì)算各期預(yù)測(cè)值，列于表 4 中。 表 4 某種電器銷(xiāo)售額及指數(shù)平滑預(yù)測(cè)值計(jì)算表 （單位：萬(wàn)元） 年份 t 實(shí)際銷(xiāo)

27、售額 yt預(yù)測(cè)值 yta = 0.2預(yù)測(cè)值 yta = 0.5預(yù)測(cè)值 yta = 0.81976150515151197725250.850.550.2197834751.0451.2551.64197945150.2349.1347.93198054950.3950.0650.39198164850.1149.5349.28198275149.6948.7748.26198384049.9549.8850.45198494847.9644.9442.091985105247.9746.4746.821986115148.7749.2450.961987125949.2250.1250.99從

28、表 4 可以看出，a = 0.2, 0.5 和0.8 時(shí)，預(yù)測(cè)值是很不相同的。究竟 取何值為好， 可通過(guò)計(jì)算它們的預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)誤差 S ，選取使 S 較小的那個(gè) 值。預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)誤差見(jiàn)表 5。 表 5 預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)誤差 a0.20.50.8S4.50294.59084.8426計(jì)算結(jié)果表明：a = 0.2 時(shí)，S 較小，故選取a = 0.2 ，預(yù)測(cè) 1988 年該電器銷(xiāo)售額為 y1988 = 51.1754 。 計(jì)算的 MATLAB 程序如下： clc,clearload dianqi.txt%原始數(shù)據(jù)以列向量的方式存放在純文本文件中yt=dianqi; n=length(yt);alpha=0.2

29、0.5 0.8;m=length(alpha); yhat(1,1:m)=(yt(1)+yt(2)/2;for i=2:nyhat(i,:)=alpha*yt(i-1)+(1-alpha).*yhat(i-1,:);end yhaterr=sqrt(mean(repmat(yt,1,m)-yhat).2) xlswrite(dianqi.xls,yhat) yhat1988=alpha*yt(n)+(1-alpha).*yhat(n,:)3.2 二次指數(shù)平滑法 一次指數(shù)平滑法雖然克服了移動(dòng)平均法的缺點(diǎn)。但當(dāng)時(shí)間序列的變動(dòng)出現(xiàn)直線趨勢(shì)時(shí)，用一次指數(shù)平滑法進(jìn)行預(yù)測(cè)，仍存在明顯的滯后偏差。因此，也必

30、須加以修正。修正的方法與趨勢(shì)移動(dòng)平均法相同，即再作二次指數(shù)平滑，利用滯后偏差的規(guī)律建立直線趨勢(shì)模型。這就是二次指數(shù)平滑法。其計(jì)算公式為 S (1) = ay + (1 - a )S (1)ttt -1S (2) = aS (1) + (1- a )S ( 2)（17） ttt -1式中 S (1) 為一次指數(shù)的平滑值； S (2) 為二次指數(shù)的平滑值。當(dāng)時(shí)間序列y ，從某時(shí) ttt期開(kāi)始具有直線趨勢(shì)時(shí)，類(lèi)似趨勢(shì)移動(dòng)平均法，可用直線趨勢(shì)模型 yt+Ta= at + btT ，T = 1,2,L= 2S (1) - S (2)（18） tatt(1)(2)（19） bt = 1 - a (St進(jìn)行

31、預(yù)測(cè)。 - St )例 5仍以例 3 我國(guó) 19651985 年的發(fā)電總量資料為例，試用二次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè) 1986 年和 1987 年的發(fā)電總量。 表 6 我國(guó)發(fā)電總量及一、二次指數(shù)平滑值計(jì)算表（單位：億度） 年份 t發(fā)電總量 yt一次平滑值 二次平滑值 yt+1 的估計(jì)值 1965167667667619662825720.7689.467619673774736.7703.6765.419684716730.5711.7784.019695940793.3736.2757.4197061159903.0786.2875.01971713841047.3864.61069.91972815

32、241190.3962.31308.41973916681333.61073.71516.119741016881439.91183.61705.019751119581595.41307.11806.119761220311726.11432.82007.219771322341878.41566.52145.019781425662084.71722.02324.119791528202305.31897.02602.919801630062515.52082.52888.619811730932688.82264.43134.119821832772865.22444.63295.019

33、831935143059.92629.23466.119842037703272.92822.33675.119852141073523.13032.63916.6解 取a = 0.3 ，初始值 S (1) 和 S (2) 都取序列的首項(xiàng)數(shù)值，即 S (1) = S (0) = 676 。 0000計(jì)算 S (1) , S ( 2) ，列于表 6。得到 ttS (1) = 3523.1 ， S (2) = 3032.62121由公式（19），可得t = 21時(shí) a= 2S (1) - S ( 2) = 4013.7 ， a212121b=(S (1) - S (2) ) = 210.24211

34、 - a2121于是，得t = 21 時(shí)直線趨勢(shì)方程為 y21+T = 4013.7 + 210.24T預(yù)測(cè) 1986 年和 1987 年的發(fā)電總量為（單位：億度） y1986 = y22 = y21+1 = 4223.95y1987 = y23 = y21+2 = 4434.19為了求各期的模擬值。可將a式（19）代入直線趨勢(shì)模型（18），并令T = 1，則得 y= (2S (1) - S (2) ) +(S (1) - S (2) )t+1tt1- att即11yt+1= 1+ 1-aS (1) - S ( 2)（20） t1- at令t = 1,2,L,21 ，由公式（20）可求出各期的

35、模擬值。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表 6。計(jì)算的MATLAB 程序如下： clc,clearload fadian.txt%原始數(shù)據(jù)以列向量的方式存放在純文本文件中yt=fadian; n=length(yt);alpha=0.3; st1(1)=yt(1); st2(1)=yt(1); for i=2:nst1(i)=alpha*yt(i)+(1-alpha)*st1(i-1); st2(i)=alpha*st1(i)+(1-alpha)*st2(i-1);end xlswrite(fadian.xls,st1,st2) a=2*st1-st2b=alpha/(1-alpha)*(st1-st2) yhat

36、=a+b;xlswrite(fadian.xls,yhat,Sheet1,C2)str=char(C,int2str(n+2); xlswrite(fadian.xls,a(n)+2*b(n),Sheet1,str)3.3 三次指數(shù)平滑法 當(dāng)時(shí)間序列的變動(dòng)表現(xiàn)為二次曲線趨勢(shì)時(shí)，則需要用三次指數(shù)平滑法。三次指數(shù)平滑是在二次指數(shù)平滑的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行一次平滑，其計(jì)算公式為 S (1) = ay + (1 - a )S (1) ttt -1 t (3)t ( 2)t -1 (3) S (2) = aS (1) + (1- a )S (2)（21） S= aS+ (1 - a )S ttt -1t式中

37、S (3) 為三次指數(shù)平滑值。 三次指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)模型為 y= a + b T + C T 2 ，T= 1,2,L（22） t +Tttt其中 a = 3S (1) - 3S (2) + S (3) tttta(1)( 2)(3) bt = 2(1- a )2 (6 - 5a)St- 2(5 - 4a)St+ (4 - 3a )St （23） a 2(1)(2)(3)ct = 2(1- a )2 St- 2St+ St例 6某省 19781988 年全民所有制單位固定資產(chǎn)投資總額如表 7 所示，試預(yù)測(cè) 1989 年和 1990 年固定資產(chǎn)投資總額。 表 7 某省全民所有制單位固定資產(chǎn)投資總額

38、及一、二、三次指數(shù)平滑值計(jì)算表（單位：億元） 年份 t投資總額 yt一次平滑值 二次平滑值 三次平滑值 yt+1 的估計(jì)值 1978120.0421.3721.7721.8921.941979220.0620.9821.5321.7820.231980325.7222.4021.7921.7819.561981434.6126.0623.0722.1724.491982551.7733.7826.2823.4034.591983655.9240.4230.5225.5453.891984780.6552.4937.1129.0164.5819858131.1176.0748.8034.9589

39、.3019869148.5897.8363.5143.52142.42198710162.67117.2879.6454.35176.09198811232.26151.77101.2868.43196.26解 從圖 2 可以看出，投資總額呈二次曲線上升，可用三次指數(shù)平滑法進(jìn)行預(yù)測(cè)。 250實(shí)際值預(yù)測(cè)值 2001501005001234567891011圖 2 某省固定資產(chǎn)投資總額趨勢(shì)圖 取a = 0.3 ，初始值 S (0) = S (0) = S (0) = y1 + y2 + y3 = 21.94 。計(jì)算 S (1) , S (2) , S (3) 1233ttt列于表 7 中。得到 S

40、 (1) = 151.77 ， S (2) = 101.28 ， S (3) = 68.43111111由公式（23），可得到當(dāng)t = 11 時(shí) a11 = 219.91， b11 = 38.38 ， c11 = 1.62于是，得t = 11 時(shí)預(yù)測(cè)模型為 y11+T = 219.91 + 38.38T + 1.62T 2預(yù)測(cè) 1989 年和 1990 年的固定資產(chǎn)投資總額為（單位：億元） y1989 = y12 = y11+1 = a11 + b11 + c11 = 259.91y1990= y13= y11+2= a11+ 2b11+ 22 c= 303.1611因?yàn)閲?guó)家從 1989 年開(kāi)

41、始對(duì)固定資產(chǎn)投資采取壓縮政策，這些預(yù)測(cè)值顯然偏高，應(yīng)作適當(dāng)?shù)男拚?，以消除政策因素的影響?與二次指數(shù)平滑法一樣，為了計(jì)算各期的模擬值，可將式（23）代入預(yù)測(cè)模型（22），并令T = 1，則得 3 - 3a + a 2(1)3 - a( 2)1(3)yt+1 = St-(1- a )2(1- a )2 St+(1- a )2 St（24） 令t = 0,1,2,L,11，公式（24）可求出各期的模擬值，見(jiàn)表 7。 計(jì)算的 MATLAB 程序如下： clc,clearload touzi.txt%原始數(shù)據(jù)以列向量的方式存放在純文本文件中yt=touzi; n=length(yt);alpha=0.

42、3; st1_0=mean(yt(1:3); st2_0=st1_0;st3_0=st1_0; st1(1)=alpha*yt(1)+(1-alpha)*st1_0; st2(1)=alpha*st1(1)+(1-alpha)*st2_0; st3(1)=alpha*st2(1)+(1-alpha)*st3_0;for i=2:nst1(i)=alpha*yt(i)+(1-alpha)*st1(i-1); st2(i)=alpha*st1(i)+(1-alpha)*st2(i-1); st3(i)=alpha*st2(i)+(1-alpha)*st3(i-1);end xlswrite(tou

43、zi.xls,st1,st2,st3)st1=st1_0,st1;st2=st2_0,st2;st3=st3_0,st3; a=3*st1-3*st2+st3;b=0.5*alpha/(1-alpha)2*(6-5*alpha)*st1-2*(5-4*alpha)*st2+(4-3*alpha)*st3); c=0.5*alpha2/(1-alpha)2*(st1-2*st2+st3);yhat=a+b+c; xlswrite(touzi.xls,yhat,Sheet1,D1)plot(1:n,yt,*,1:n,yhat(1:n),O) legend(實(shí)際值,預(yù)測(cè)值,2)xishu=c(n+1

44、),b(n+1),a(n+1); yhat1990=polyval(xishu,2)指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型是以時(shí)刻t 為起點(diǎn)，綜合歷史序列的信息，對(duì)未來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)的。選擇合適的加權(quán)系數(shù) 是提高預(yù)測(cè)精度的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)， 的取值范圍一般以 0.10.3 為宜。 值愈大，加權(quán)系數(shù)序列衰減速度，所以實(shí)際上 取值大小起著控制參加平均的歷史數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的作用。 值愈大意味著采用的數(shù)據(jù)愈少。因此， 可以得到選擇 值的一些基本準(zhǔn)則。 （1） 如果序列的基本趨勢(shì)比較穩(wěn)，預(yù)測(cè)偏差由隨機(jī)因素造成，則 值應(yīng)取小一些， 以減幅度，使預(yù)測(cè)模型能包含更多歷史數(shù)據(jù)的信息。 （2） 如果預(yù)測(cè)目標(biāo)的基本趨勢(shì)已發(fā)生系統(tǒng)地變化，則

45、值應(yīng)取得大一些。這樣， 可以偏重新數(shù)據(jù)的信息對(duì)原模型進(jìn)行大幅度修正，以使預(yù)測(cè)模型適應(yīng)預(yù)測(cè)目標(biāo)的新變化。 另外，由于指數(shù)平滑公式是遞推計(jì)算公式，所以必須確定初始值 S (1) , S (2) , S (3) 。 000可以取前 35 個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值作為初始值。 4差分指數(shù)平滑法 在上節(jié)我們已經(jīng)講過(guò)，當(dāng)時(shí)間序列的變動(dòng)具有直線趨勢(shì)時(shí)，用一次指數(shù)平滑出現(xiàn)滯后偏差，其原因在于數(shù)據(jù)不滿足模型要求。因此，我們也可以從數(shù)據(jù)變換的角度來(lái)考慮改進(jìn)措施，即在運(yùn)用指數(shù)平滑法以前先對(duì)數(shù)據(jù)作一些技術(shù)上的處理，使之能適合于一次指數(shù)平滑模型，以后再對(duì)輸出結(jié)果作技術(shù)上的返回處理，使之恢復(fù)為原變量的形態(tài)。差分方法是改變數(shù)據(jù)變

46、動(dòng)趨勢(shì)的簡(jiǎn)易方法。下面我們討論如何用差分方法來(lái)改進(jìn)指數(shù)平滑法。 4.1 一階差分指數(shù)平滑法 當(dāng)時(shí)間序列呈直線增加時(shí)，可運(yùn)用一階差分指數(shù)平滑模型來(lái)預(yù)測(cè)。其公式如下： yt = yt - yt-1yt +1 = ayt + (1 - a )ytyt+1 = yt +1 + yt（25） （26） （27） 其中的 為差分記號(hào)。式（25）表示對(duì)呈現(xiàn)直線增加的序列作一階差分，構(gòu)成一個(gè)平穩(wěn)的新序列；式（26）表示把經(jīng)過(guò)一階差分后的新序列的指數(shù)平滑預(yù)測(cè)值與變量當(dāng)前的實(shí)際值迭加，作為變量下一期的預(yù)測(cè)值。對(duì)于這個(gè)公式的數(shù)學(xué)意義可作如下的解釋。 因?yàn)?yt+1 = yt +1 - yt + yt = yt +1

47、 + yt（28） 當(dāng)我們采用按式（26）計(jì)算的預(yù)測(cè)值去估計(jì)式（28）中的 yt +1 ，從而式（28）等號(hào)左邊的 yt +1 也要改為預(yù)測(cè)值，亦即成為式（27）。 在前面我們已分析過(guò)，指數(shù)平滑值實(shí)際上是一種加權(quán)平均數(shù)。因此把序列中逐期增量的加權(quán)平均數(shù)（指數(shù)平滑值）加上當(dāng)前值的實(shí)際數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，比一次指數(shù)平滑法只用變量以往取值的加權(quán)平均數(shù)作為下一期的預(yù)測(cè)更合理。從而使預(yù)測(cè)值始終圍繞實(shí)際值上下波動(dòng)，從根本上解決了在有直線增長(zhǎng)趨勢(shì)的情況下，用一次指數(shù)平滑法所得出的結(jié)果始終落后于實(shí)際值的問(wèn)題。 例 7 某工業(yè)企業(yè) 19771986 年鍋爐燃料消耗量資料如表 8 所示，試預(yù)測(cè) 1987 年的燃料消耗量。

48、 表 8 某企業(yè)鍋爐燃料消耗量的差分指數(shù)平滑法計(jì)算表（ a = 0.4 ）（單位：百噸） 年份 t燃料消耗量 yt差分 差分指數(shù)平滑值 預(yù)測(cè)值 19771241978226219793271228198043031.628.6198153222.1632.16198263312.1034.10198373631.6634.66198484042.1938.19198594112.9242.921986104432.1543.151987112.4946.49解 由資料可以看出，燃料消耗量，除個(gè)別年份外，逐期增長(zhǎng)量大體在 200 噸左 右，即呈直線增長(zhǎng)，因此可用一階差分指數(shù)平滑模型來(lái)預(yù)測(cè)。我們?nèi) = 0.4 ，初始值為新序列首項(xiàng)值，計(jì)算結(jié)果列于表 8 中。預(yù)測(cè) 1987 年燃料消耗量為 y1987 = 2.49 + 44 = 46.49 （百噸）。 4.2 二階差分指數(shù)平滑模型 當(dāng)時(shí)間序列呈現(xiàn)二次曲線增長(zhǎng)時(shí)，可用二階差分指數(shù)平滑模型來(lái)預(yù)測(cè)，計(jì)算公式如下： yt = yt - yt-1ttt-12 y = y - yt +1tt2 y= a2 y + (1- a )2 yt+1t+1tty= 2 y+ y + y其中2 表示二階差分。因?yàn)?（29） （30） （31） （32） t+1t +1ttt +1tt+1tttt+1tty= y- y + y = y+ y = (y-