1、2.2.3用平面向量坐標(biāo)表示向量共線條件1.會用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件.2.能運用向量共線的條件來解決有關(guān)向量共線、直線平行及點共線等問題.(重點、難點)基礎(chǔ)初探教材整理兩個向量平行的坐標(biāo)表示閱讀教材P103P104“例1”以上內(nèi)容，完成下列問題.選擇基底e1，e2.(1)設(shè)a(a1，a2)，b(b1，b2)，則aba1b2a2b10.(2)設(shè)a(a1，a2)，b(b1，b2)，如果向量b不平行于坐標(biāo)軸，即b10，b20，則ab.用語言可以表述為：兩個向量平行的條件是，相應(yīng)坐標(biāo)成比例.判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)向量(1,2)與向量(4,8)共線.()(2)向量(2,3)與向量

2、(4，6)反向.()【解析】(1)正確.因為(4,8)4(1,2)，所以向量(1,2)與向量(4,8)共線.(2)正確.因為(4，6)2(2,3)，所以向量(2,3)與向量(4，6)反向.【答案】(1)(2)質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型判定直線平行、三點共線(1)已知A(1，3)，B，且A，B，C三點共線，則C的坐標(biāo)可以是()A.(9,1) B.(9，1)C.(9,1) D.(9，1)(2)已知四點坐標(biāo)A(1,1)，B(1,5)，C(2，1)，D(4,11)，請判斷直線AB與CD是否平行？(3)

3、已知A(1，1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量與平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？【精彩點撥】(1)利用向量的平行條件x1y2x2y10，可證明有公共點的兩個平行向量共線，從而可證明三點共線.(2)判定兩直線平行，先判定兩向量平行，再說明兩向量上的相關(guān)點不共線.【自主解答】(1)設(shè)點C的坐標(biāo)是(x，y)，因為A，B，C三點共線，所以.因為(1，3)，(x，y)(1，3)(x1，y3)，所以7(y3)(x1)0，整理得x2y7，經(jīng)檢驗可知點(9,1)符合要求，故選C.【答案】C(2)因為(1,5)(1,1)(2,4)，(4,11)(1，1)(5,10)，(2，1)(1,1)(1

4、，2)，所以2，5.所以.由于與，有共同的起點A，所以A，B，C，D四點共線，因此直線AB與CD重合.(3)因為(1(1)，3(1)(2,4)，(21,75)(1,2).又因為22410，所以.又因為(1(1)，5(1)(2,6)，(2,4)，所以24260，所以A，B，C不共線，所以AB與CD不重合，所以ABCD.三點共線的條件以及判斷方法：若已知三點的坐標(biāo)，判斷其是否共線可采用以下兩種方法：(1)直接利用上述條件，計算(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)是否為0；(2)任取兩點構(gòu)成向量，計算出兩向量如，再通過兩向量共線的條件進(jìn)行判斷.再練一題1.設(shè)O是坐標(biāo)原點，(k,12)，(

5、4,5)，(10，k)，當(dāng)k為何值時，A，B，C三點共線？【解】(4k，7)，(10k，k12)，又A，B，C三點共線，由兩向量平行的充要條件，得(4k)(k12)7(10k)0，解得k2或k11.即當(dāng)k2或k11時，A，B，C三點共線.已知平面向量共線求參數(shù)(1)已知向量a(x,3)，b(3，x)，則存在實數(shù)x，使ab；存在實數(shù)x，使(ab)a；存在實數(shù)x，m，使(mab)a；存在實數(shù)x，m，使(mab)b.其中，所有敘述正確的序號為_.(2)已知a(1,2)，b(3,2)，當(dāng)k為何值時，kab與a3b平行？平行時它們是同向還是反向？【精彩點撥】(1)可利用向量共線定理列方程判斷方程解的情況

6、來解決.(2)可先利用坐標(biāo)形式的等價條件求k，再利用ba判定同向還是反向.【自主解答】(1)由abx29無實數(shù)解，故不對；又ab(x3,3x)，由(ab)a得3(x3)x(3x)0，即x29無實數(shù)解，故不對；因為mab(mx3,3mx)，由(mab)a得(3mx)x3(mx3)0，即x29無實數(shù)解，故不對；由(mab)b得3(3mx)x(mx3)0，即m(x29)0，所以m0，xR，故正確.【答案】(2)由題知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，因為kab與a3b平行，所以(k3)(4)10(2k2)0，解得k.這時kab(a3b).所以當(dāng)k時，kab與a3b平行，并且反向.利用向量平

7、行的條件處理求值問題的思路：(1)利用共線向量定理ab(b0)列方程組求解.(2)利用向量平行的坐標(biāo)表達(dá)式a1b2a2b10直接求解.再練一題2.(1)已知向量a(1,2)，b(2,3)，若向量ab與向量c(4，7)共線，則_.(2)已知向量a(1，2)，b(3,4)，若(3ab)(akb)，求實數(shù)k的值.【解析】(1)a(1,2)，b(2,3)，ab(，2)(2,3)(2,23).向量ab與向量c(4，7)共線，7(2)4(23)0，2.【答案】2(2)3ab(0，10)，akb(13k，24k)，因為(3ab)(akb)，所以0(1030k)0，所以k.向量共線的綜合應(yīng)用如圖2218所示，

8、已知點A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC與OB的交點P的坐標(biāo).圖2218【精彩點撥】要求點P的坐標(biāo)，只需求出向量的坐標(biāo)，由與共線得到，利用與共線的坐標(biāo)表示求出即可；也可設(shè)P(x，y)，由及，列出關(guān)于x，y的方程組求解.【自主解答】設(shè)P(x，y)，則(x，y)，因為(4,4)，且與共線，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且與共線，則得(x4)6y(2)0，解得xy3，所以P點的坐標(biāo)為(3,3).1.關(guān)于解決兩線段的交點問題可以用解析幾何的知識聯(lián)立兩直線方程求交點的坐標(biāo)；也可以使用對應(yīng)向量共線列等式，再解方程組求解.2.本例利用了向量共線定理，已知四邊形四個頂點坐標(biāo)求對角線交

9、點坐標(biāo)的向量解法，為我們展示了向量的坐標(biāo)運算在解決平面幾何、平面解析幾何問題中的應(yīng)用，在以后學(xué)習(xí)中應(yīng)加以體會運用.再練一題3.如圖2219，已知A(4,5)，B(1,2)，C(12,1)，D(11,6)，求AC與BD的交點P的坐標(biāo).【導(dǎo)學(xué)號：】圖2219【解】設(shè)(111,62)(10，4).由題意知(11,1)，(1011,41).又(8,4)，且與共線，4(1011)8(41)0，解得.設(shè)點P的坐標(biāo)為(xp，yp)，(5,2)(xp1，yp2)，即故點P的坐標(biāo)為(6,4).探究共研型共線向量與中點坐標(biāo)公式探究1設(shè)P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)、(x2，y2)，如何求線段P1P2的中點P

10、的坐標(biāo)？【提示】如圖所示，P為P1P2的中點，()，線段P1P2的中點坐標(biāo)是.探究2設(shè)P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)，點P是線段P1P2的一個三等分點，則P點坐標(biāo)是什么？【提示】點P是線段P1P2的一個三等分點，分兩種情況：當(dāng)時，()；當(dāng)時，().探究3當(dāng)時，點P的坐標(biāo)是什么？【提示】()，(x1，y1)(x2，y2)，P.已知點A(3，4)與點B(1,2)，點P在直線AB上，且|2|，求點P的坐標(biāo).【精彩點撥】點P在直線AB上，包括點P在線段AB內(nèi)和在線段AB的延長線上，因此應(yīng)分類討論.【自主解答】設(shè)P點坐標(biāo)為(x，y)，|2|.當(dāng)P在線段AB上時，2，(x3，y4)2

11、(1x,2y)，解得P點坐標(biāo)為.當(dāng)P在線段AB延長線上時，2，(x3，y4)2(1x,2y)，解得P點坐標(biāo)為(5,8).綜上所述，點P的坐標(biāo)為或(5,8).在求有向線段分點坐標(biāo)時，不必過分強(qiáng)調(diào)公式記憶，可以轉(zhuǎn)化為向量問題后解方程組求解，同時應(yīng)注意分類討論.再練一題4.已知ABC的三個頂點坐標(biāo)依次為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，求ABC的重心G的坐標(biāo).【解】延長AG交BC于點D，G為ABC的重心，D為BC的中點，()()().綜上所述，G的坐標(biāo)為.1.下列滿足平行的一組向量是()A.a(1，4)，b(504，2 016)B.a(2,3)，b(4，6)C.a(1,2)，b(

12、1 008,2 016)D.a(1,4)，b(3,12)【解析】A中，因為1(2 016)504(4)0，ab；B中，因為2(6)43240，a與b不平行；C中，因為12 016(1 008)24 0320，a與b不平行；D中，因為11234240，a與b不平行.【答案】A2.設(shè)kR，下列向量中，與向量a(1，1)一定不平行的向量是()A.b(k，k) B.c(k，k)C.d(k21，k21) D.e(k21，k21)【解析】由向量共線的判定條件，當(dāng)k0時，向量b，c分別與a平行；當(dāng)k1時，向量e與a平行.對任意kR,1(k21)1(k21)0，a與d不平行.【答案】C3.已知a(6,2)，b

13、(m，3)，且ab，則m()A.9B.9C.3D.3【解析】因為a(6,2)，b(m，3)，若ab則6(3)2m0，解得m9.【答案】B4.與向量a(1,2)平行，且模等于的向量為_.【導(dǎo)學(xué)號：】【解析】因為所求向量與向量a(1,2)平行，所以可設(shè)所求向量為x(1,2)，又因為其模為，所以x2(2x)25，解得x1.因此所求向量為(1,2)或(1，2).【答案】(1,2)或(1，2)5.已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，求實數(shù)x的值.【解】因為a(1,2)，b(x,1)，ua2b(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2ab2(1,2)(x,1)(2x,3).又因

14、為uv，所以3(2x1)4(2x)0，解得x.我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提升方案：(1)_(2)_學(xué)業(yè)分層測評(二十)(建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.已知向量a(2,3)，b(1,2)，若ma4b與a2b共線，則m的值為()A.B.2C. D.2【解析】ma4b(2m4,3m8)，a2b(4，1)，由ma4b與a2b共線，有(2m4)4(3m8)0，解得m2，故選D.【答案】D2.已知A，B，C三點共線，且A(3，6)，B(5,2)，若C點的橫坐標(biāo)為6，則C點的縱坐標(biāo)為()A.13 B.9C.9 D.13【解析】設(shè)C(6，y)，又(8,8)，(3，y6)，8(y6)3

15、80，y9.【答案】C3.已知向量a(1sin ，1)，b，且ab，則銳角等于()A.30 B.45C.60 D.75【解析】由ab，可得(1sin )(1sin )0，即cos ，而是銳角，故45.【答案】B4.(2016馬鞍山期末)已知向量a(1，2)，b(m,4)，且ab，那么2ab()A.(4,0) B.(0,4)C.(4，8) D.(4,8)【解析】由ab知42m0，m2,2ab(2，4)(2,4)(4，8).故選C.【答案】C5.如果向量a(k,1)，b(4，k)共線且方向相反，則k等于()A.2 B.2C.2 D.0【解析】由a，b共線得k24，又兩個向量的方向相反，故k2.故選

16、C.【答案】C二、填空題6.已知向量a(2,3)，ba，向量b的起點為A(1,2)，終點B在坐標(biāo)軸上，則點B的坐標(biāo)為_.【導(dǎo)學(xué)號：】【解析】由ba，可設(shè)ba(2，3).設(shè)B(x，y)，則(x1，y2)b.由又B點在坐標(biāo)軸上，則120或320，所以B或.【答案】或7.向量a(1，2)，向量b與a共線，且|b|4|a|，則b_.【解析】因為ba，令ba(，2)，又|b|4|a|，所以()2(2)216(14)，故有216，解得4，b(4，8)或(4,8).【答案】(4，8)或(4,8)三、解答題8.已知點A(1,2)，B(2,8)及，求點C，D和向量的坐標(biāo).【解】設(shè)點C(x1，y1)，D(x2，y

17、2)，由題意可得(x11，y12)，(3,6)，(1x2,2y2)，(3，6)，因為，所以(x11，y12)(3,6)(1,2)，(1x2,2y2)(3，6)(1,2)，則有和解得和所以點C，D的坐標(biāo)分別為(0,4)和(2,0)，(2，4).圖22209.如圖2220，在OCB中，A是CB的中點，D是OB的靠近B點的一個三等分點，DC與OA交于點E，若，求實數(shù)的值.【解】C，E，D三點共線，存在實數(shù)x，有x，x()，x，又點A是CB的中點，()x，xx，.能力提升1.(2016溫州高一檢測)若i2j，(3x)i(4y)j(其中i，j的方向分別與x，y軸正方向相同且為單位向量)，與共線，則x，y的值可能分別為()A.1,2 B.2,2C.3,2 D.2,4【解析】因為(