1、2.4 平面向量的坐標(biāo)課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例1】 已知A（1，-2）、B（2，1）、C（3，2）和D（-2，3），以、為一組基底來表示+.思路分析：本題主要考查向量的坐標(biāo)表示、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量基本定理以及待定系數(shù)法等知識(shí).求解時(shí)首先由點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)求得向量、等的坐標(biāo)，然后根據(jù)平面向量基本定理得到等式+=m+n，再列出關(guān)于m、n的方程組，進(jìn)而解方程求出系數(shù)m、n.解：=（1，3），=（2，4），=（-3，5），=（-4，2），=（-5，1），+=（-3，5）+（-4，2）+（-5，1）=（-12，8）.根據(jù)平面向量基本定理，一定存在實(shí)數(shù)m、n，使得+=m+n，（-

2、12，8）=m（1，3）+n（2，4）.也就是（-12，8）=（m+2n,3m+4n）.可得.+=32-22.各個(gè)擊破類題演練 1已知向量a=(3,-2),b=（-2，1），c=(7,-4),試用a和b來表示c.解:設(shè)c=ma+nb.即（7，-4）=m(3,-2)+n(-2,1)=(3m-2n,-2m+n),于是有所以c=a-2b.變式提升 1已知A（1，-2），B（2，1），C（3，2）和D（-2，3），以、為一組基底來表示.解析：=（1，3），=（2，4），=（-3，5）.設(shè)=m+n,即（-3，5）=m(1,3)+n(2,4)=(m+2n,3m+4n)于是有=11-7.2.共線向量的坐標(biāo)表

3、示【例2】 已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2，-2）、（4，3），向量p的坐標(biāo)為（2k-1，7），且p，則k的值是( )A. B. C. D.思路分析：欲求k的值，只需建立k的方程，由共線向量定理的坐標(biāo)表示，利用p，得到k的方程，然后求解.解：A(2,-2),B(4,3),=（2，5）.又p,14-5(2k-1)=0，即k=.答案：B友情提示 一般求字母的值時(shí)，往往將條件化為關(guān)于該字母的方程，然后通過解方程求得字母的值，所以解決這類問題的關(guān)鍵是從題目中找出等量關(guān)系.類題演練 2已知四邊形ABCD是平行四邊形，其頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是A（-2，1）、B（-1，3）、C（3，4），求D點(diǎn)的坐標(biāo).解

4、析：設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），由題意可知，=（1，2），=（3-x，4-y）.四邊形為平行四邊形，=,即D的坐標(biāo)為（2，2）變式提升 2已知：A（-2，-3），B（2，1），C（1，4），D（-7，-4），判斷與是否共線？解析:=（2，1）-（-2，-3）=（4，4），=（-7，-4）-（1，4）=（-8，-8）.4（-8）-4（-8）=0，.即與共線，或=-2.與共線.3.向量坐標(biāo)形式的靈活應(yīng)用【例3】 用坐標(biāo)法證明+=0.思路分析：本題沒有給出向量的坐標(biāo)，需要將各向量的坐標(biāo)設(shè)出來，然后進(jìn)行向量運(yùn)算.解：設(shè)A（a1,a2）,B(b1,b2),C(c1,c2),則=(b1-a1,b2-a2),=

5、(c1-b1,c2-b2),=(a1-c1,a2-c2)，+=(b1-a1,b2-a2)+(c1-b1,c2-b2)+(a1-c1,a2-c2)=(b1-a1+c1-b1+a1-c1,b2-a2+c2-b2+a2-c2)=(0,0)=0.+=0.友情提示 這個(gè)證明過程完全是三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的運(yùn)算，無需考慮三個(gè)點(diǎn)A、B、C是否共線.同時(shí)，對(duì)這個(gè)結(jié)論的更一般的形式，即n個(gè)向量順次首尾相接，組成一條封閉的折線，其和為零向量，也就不難理解了：=0.類題演練 3已知平面內(nèi)三個(gè)點(diǎn)A（1，-2），B（7，0），C（-5，6），求,+,2+.解析：A(1,-2),B(7,0),C(-5,6),=(7-1,0+2)=

6、(6,2),=(-5-1,6+2)=(-6,8),+=(6-6,2+8)=(0,10),2+=2(6,2)+(-6,8)=(12,4)+(-3,4)=(9,8).變式提升 3 若點(diǎn)O（0，0）、A（1，2）、B（-1，3），且=2，=3，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_，向量的坐標(biāo)為_.解析：O（0，0），A（1，2），B（-1，3），=（1，2），=（-1，3），=2(1,2)=(2,4),=3(-1,3)=(-3,9).A(2,4),B(-3,9),=(-3-2,9-4)=(-5,5).答案：（2，4） （-3，9） （-5，5）【例4】 如右圖，已知A（-1，2），B（3，4）連結(jié)A、B

7、并延長(zhǎng)至P，使|AP|=3|BP|，求P點(diǎn)坐標(biāo).思路分析：由、同向共線，得=3.這樣就可建立方程組，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）,則=（x+1,y-2）,=(x-3,y-4).由、同向共線，得=3，即（x+1,y-2）=3(x-3,y-4).于是,解得 因此，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，5）.友情提示 一般地，A、B、P三點(diǎn)中選哪一個(gè)點(diǎn)作起點(diǎn)，分點(diǎn)或終點(diǎn)都可以，但一經(jīng)確定兩點(diǎn).第三點(diǎn)也隨之確定.雖然對(duì)各種情況的系數(shù)不同，但計(jì)算結(jié)果都一樣，可根據(jù)題目條件恰當(dāng)選擇起點(diǎn)、分點(diǎn)和終點(diǎn)，確定相應(yīng)的系數(shù)的值，優(yōu)化解題過程.而此類題目最大的弊病是分不清起點(diǎn)與終點(diǎn)，致使公式用錯(cuò).類題演練 4已知A（-2，1），B（1，3），求線段AB中點(diǎn)M和三等分點(diǎn)P、Q的坐標(biāo).解析：因?yàn)?（1，3）-（-2，1）=（3，2）.所以=（+）=(-,2).=+=(-1,).=+=(0,).因此M（-，2），P（-1，），Q（0，）.變式提