1、第5章 層次分析法（AHP）, 曲阜師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院,第5章 層次分析法（AHP）,5.1 AHP概述 5.2 AHP的基本原理 5.3 AHP的步驟 5.4 AHP的應(yīng)用案例分析,5.1 AHP概述,層次分析法（Analytical Hierarchy Process，簡(jiǎn)稱AHP方法)是由美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家薩蒂（A.L.Saaty）于20世紀(jì)70年代提出，是一種定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的多目 標(biāo)屬性決策方法。AHP的特點(diǎn)是： 分析思路清楚，可將系統(tǒng)分析人員的思維過程系統(tǒng)化、數(shù)學(xué)化和模型化； 分析時(shí)需要的定量數(shù)據(jù)不多，但要求對(duì)問題所包含的因素及其關(guān)系具體而明確； 適用于多準(zhǔn)則、多目標(biāo)問題的

2、決策分析，廣泛用于地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展方案比較、科學(xué)技術(shù)成果評(píng)比、資源規(guī)劃和分析、企業(yè)人員素質(zhì)測(cè)評(píng)、環(huán)境整治與污染控制、能源政策和分配、軍事指揮、運(yùn)輸、農(nóng)業(yè)、教育、醫(yī)療等社會(huì)、經(jīng)濟(jì)以及科學(xué)管理領(lǐng)域的較為復(fù)雜、較為模糊的問題分析中。在目標(biāo)因素結(jié)構(gòu)復(fù)雜且缺乏必要數(shù)據(jù)的情況下使用更為方便。,層次分析法根據(jù)問題的性質(zhì)和要達(dá)到的總目標(biāo)，將問題分解為不同的組成因素，并按照因素間的相互關(guān)聯(lián)影響以及隸屬關(guān)系將因素按不同層次聚集組合，形成一個(gè)多層次的分析結(jié)構(gòu)模型，從而最終使問題歸結(jié)為最低層(供決策的方案、措施等)相對(duì)于最高層(總目標(biāo))的相對(duì)重要權(quán)值的確定或相對(duì)優(yōu)劣次序的排定。,系統(tǒng),要素,層次,矩陣,權(quán)重,5.2 基本

3、原理先分解后綜合的系統(tǒng)思想,AHP決策分析方法的基本原理，可以用以下的簡(jiǎn)單事例分析來說明。 假設(shè)有n個(gè)物體A1，A2，An，它們的重量分別記為W1，W2，Wn?，F(xiàn)將每個(gè)物體的重量?jī)蓛蛇M(jìn)行比較如下：,若以矩陣來表示各物體的這種相互重量關(guān)系，,若取重量向量W W1，W2， ， WnT ，則有： AWnW W是判斷矩陣A的特征向量，n是A的一個(gè)特征值。根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)可以證明，n是矩陣A的唯一非零的，也是最大的特征值。,A稱為判斷矩陣。,上述事實(shí)告訴我們，如果有一組物體，需要知道它們的重量，而又沒有衡器，那么就可以通過兩兩比較它們的相互重量，得出每一對(duì)物體重量比的判斷，從而構(gòu)成判斷矩陣；然后通過求解

4、判斷矩陣的最大特征值max和它所對(duì)應(yīng)的特征向量，就可以得出這一組物體的相對(duì)重量。,5.3 層次分析法的步驟,0 明確問題 1 建立層次結(jié)構(gòu)模型 2 構(gòu)造（兩兩比較的）判斷矩陣 3 層次單排序及其一致性檢驗(yàn)（單一準(zhǔn)則下的排序） 4 層次綜合排序及其一致性檢驗(yàn),5.3 層次分析法的步驟,0 明確問題 在分析社會(huì)、經(jīng)濟(jì)的以及科學(xué)管理等領(lǐng)域的問題時(shí)，首先要對(duì)問題有明確的認(rèn)識(shí)，弄清問題的范圍，了解問題所包含的因素，確定出因素之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系和隸屬關(guān)系。,1 建立層次結(jié)構(gòu)模型 將決策的目標(biāo)、考慮的因素（決策準(zhǔn)則）和決策對(duì)象按它們之間的相互關(guān)系分為最高層、中間層和最低層，繪出層次結(jié)構(gòu)圖。 最高層目標(biāo)層：決策的

5、目的、要解決的問題。 中間層準(zhǔn)則層：考慮的因素、決策的準(zhǔn)則。 最低層方案層或措施層：決策時(shí)的備選方案。,5.3 層次分析法的步驟,目標(biāo)層,準(zhǔn)則1,準(zhǔn)則6,方案層,準(zhǔn)則層,5.3 層次分析法的步驟,以選拔干部為例,目標(biāo)層,方案層,準(zhǔn)則層,常見的多級(jí)遞階結(jié)構(gòu)： 完全相關(guān)性結(jié)構(gòu)：上一層次的每一要素與下一層次的所有要素完全相關(guān) 完全獨(dú)立性結(jié)構(gòu)：上一層要素都各自有獨(dú)立的、完全不同的下層要素。 混合性結(jié)構(gòu)：是上述兩種結(jié)構(gòu)的結(jié)合，是一個(gè)既非完全相關(guān)又非完全獨(dú)立的結(jié)構(gòu)。,完全相關(guān)性結(jié)構(gòu),特點(diǎn)：上一層次的每一要素與下一層次的所有要素完全相關(guān),購(gòu)一臺(tái)滿意的設(shè)備,功能強(qiáng),價(jià)格低,容易維修,A,B,C,eg,特點(diǎn)：上

6、一層要素都各自有獨(dú)立的、完全不同的下層要素。,減少交通事故損失,防止事故發(fā)生,減少事故損失,促進(jìn)恢復(fù),提高司機(jī)的安全責(zé)任感,完全獨(dú)立性結(jié)構(gòu),提高車輛的操作技能,改善道路設(shè)施,提高車輛安全保障功能,加強(qiáng)十字路口交通管理,充實(shí)急救醫(yī)療體制,健全醫(yī)療體制,充實(shí)殘疾人治療培訓(xùn)體制,混合結(jié)構(gòu),特點(diǎn)：是上述兩種結(jié)構(gòu)的結(jié)合，是一個(gè)既非完全相關(guān)又非完全獨(dú)立的結(jié)構(gòu)。,引進(jìn)技術(shù)的綜合效益,提高技術(shù)水平,提高經(jīng)濟(jì)效益,提高裝備水平,提高企業(yè)素質(zhì),國(guó)產(chǎn)化水平,研究開發(fā)能力,節(jié)匯創(chuàng)匯水平,產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)能力,國(guó)內(nèi)經(jīng)濟(jì)效益,人的技術(shù)素質(zhì),經(jīng)營(yíng)管理水平,5.3 層次分析法的步驟,2 建立（兩兩比較的）判斷矩陣 判斷矩陣表示針對(duì)上

7、一層次某元素，本層次與它有關(guān)元素之間相對(duì)重要性的比較。 判斷矩陣A具有如下特征：aij 0; aii = 1（對(duì)角線上的元素）；aji = 1/ aij（以對(duì)角線對(duì)稱的元素互為倒數(shù)）；aij = aik/ ajk (i,j,k=1,2,.n)。滿足前三個(gè)條件的矩陣為正互反矩陣。,判斷矩陣A中的元素aij表示依據(jù)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則C,要素ai對(duì)aj的相對(duì)重要性。 aij的值是根據(jù)資料數(shù)據(jù)、專家意見和評(píng)價(jià)主體的經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過反復(fù)研究后確定的。,5.3 層次分析法的步驟,為了使判斷定量化，關(guān)鍵在于設(shè)法使任意兩個(gè)方案對(duì)于某一準(zhǔn)則的相對(duì)優(yōu)越程度得到定量描述。一般對(duì)單一準(zhǔn)則來說，兩個(gè)方案進(jìn)行比較總能判斷出優(yōu)劣，層次分析

8、法采用1-9標(biāo)度方法，對(duì)不同情況的評(píng)比給出數(shù)量標(biāo)度。,品 才 資 歲 群,品 才 資 歲 群,aij 0; aii = 1（對(duì)角線上的元素）；aji = 1/ aij（以對(duì)角線對(duì)稱的元素互為倒數(shù)）；aij = aik/ ajk (i,j,k=1,2,.n)。,設(shè)第 i個(gè)因素的重要性指標(biāo)為 , 則有,aij = aik/ ajk,判斷矩陣1：相對(duì)于目標(biāo)層，準(zhǔn)則層間的對(duì)比矩陣,(行比列),例：干部選拔,相對(duì)于準(zhǔn)則層，候選人之間的對(duì)比矩陣,成對(duì)比較三個(gè)候選人的品德，得成對(duì)比較矩陣B1,成對(duì)比較三個(gè)候選人的才能，得成對(duì)比較矩陣B2,成對(duì)比較三個(gè)候選人的資歷，得成對(duì)比較矩陣B3,成對(duì)比較三個(gè)候選人的年齡

9、，得成對(duì)比較矩陣B4,成對(duì)比較三個(gè)候選人的群眾關(guān)系，得成對(duì)比較矩陣B5,其中 ，則 叫各因素對(duì)于目標(biāo)Z的權(quán)重, 叫權(quán)向量.,5.3 層次分析法的步驟,3 層次單排序及其一致性檢驗(yàn) 層次單排序就是把本層所有各元素對(duì)上一層來說，排出評(píng)比順序。 層次單排序可歸結(jié)為計(jì)算判斷矩陣的特征向量：先求出最大特征根，然后再計(jì)算最大特征向量。最常用的方法是求和法、迭代法、方根法和特征根法。 Amax，其中的分量（， ，n）就是對(duì)應(yīng)于n個(gè)要素的相對(duì)重要度，即權(quán)重系數(shù)。,在決策問題中，通常要把變量Z表成變量x1,x2, , xn的線性組合:,求和法步驟 每一列歸一化： 對(duì)按列歸一化的判斷矩陣，再按行求和： 將向量 歸

10、一化：,5.3 層次分析法的步驟,5.3 層次分析法的步驟,方根法 計(jì)算判斷矩陣每一行元素的乘積,計(jì)算 的n次方根 ：,計(jì)算最大特征根,5.3 層次分析法的步驟,一致性檢驗(yàn) 判斷矩陣中的aij是根據(jù)資料數(shù)據(jù)、專家的意見和系統(tǒng)分析人員的經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過反復(fù)研究后確定。應(yīng)用層次分析法保持判斷思維的一致性是非常重要的，只要矩陣中的aij滿足三條關(guān)系式（aii = 1；aji = 1/ aij；aij = aik/ ajk (i,j,k=1,2,.n) ）時(shí)，就說明判斷矩陣具有完全的一致性。 若A為一致陣,則對(duì)應(yīng)于特征根n的,歸一化的特征向量(即分量之和為1)即表示各因素對(duì)上一層因素Z的權(quán)向量,各分量即為各因

11、素對(duì)于Z的權(quán)重,5.3 層次分析法的步驟,判斷矩陣一致性指標(biāo)C.I.(Consistency Index)： 一致性指標(biāo)C.I.的值越大，表明判斷矩陣偏離完全一致性的程度越大， C.I.的值越小，表明判斷矩陣越接近于完全一致性。一般情況下，若C.I. 0.10,就認(rèn)為判斷矩陣具有一致性。據(jù)此而計(jì)算的值是可以接受的。 引入平均隨機(jī)一致性指標(biāo) R.I.(Random Index),隨機(jī)構(gòu)造500個(gè)成對(duì)比較矩陣： ，可得一致性指標(biāo) 下表給出了1-16階正互反矩陣計(jì)算500次得到的平均隨機(jī)一致性指標(biāo) 。,平均隨機(jī)一致性指標(biāo),5.3 層次分析法的步驟,當(dāng) n3時(shí)，判斷矩陣永遠(yuǎn)具有完全一致性。但隨著n的增

12、加判斷誤差就會(huì)增加，因此對(duì)于多階判斷矩陣，判斷一致性時(shí)應(yīng)考慮到n的影響，使用隨機(jī)性一致性比值C.R. =C.I./ R.I.，即使用判斷矩陣一致性指標(biāo) C.I. 與同階平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I. 之比來確定A的不一致性的容許范圍。 當(dāng) C.R. 0.10 時(shí)，便認(rèn)為判斷矩陣具有可以接受的一致性，此時(shí)可用A的特征向量作為權(quán)向量。 當(dāng)C.R. 0.10 時(shí)，就需要調(diào)整和修正判斷矩陣，使其滿足C.R. 0.10 ，從而具有滿意的一致性。,以干部選拔為例，計(jì)算各元素相對(duì)于目標(biāo)層的權(quán)重,使用mmult函數(shù)計(jì)算兩個(gè)矩陣的乘積,0.46,0.26,0.05,0.10,0.13,單位化后的各因素所占比重的權(quán)向

13、量為,驗(yàn)證一致性,結(jié)論：A雖不是一致陣，但它具有滿意的一致性，A的不一致程度是可以接受的。,查表,最大特征向量V=（20,11.5,2.2,4.5,5.5),最大特征值 =3.002； 最大特征向量V=（0.113，0.325，0.939）,同理，計(jì)算候選人相對(duì)于準(zhǔn)則層各元素的權(quán)重,0.46,0.26,0.05,0.10,0.13,0.082,0.236,0.682,計(jì)算,B1具有較滿意的一致性,權(quán)重向量,先成對(duì)比較三個(gè)候選人的品德，得成對(duì)比較矩陣B1,=0.001,計(jì)算 =0.001/0.580.1,同理，計(jì)算候選人相對(duì)于準(zhǔn)則層各元素的權(quán)重,最大特征值 =3.006； 最大特征向量V=（0.

14、89，0.413，0.192）,計(jì)算 =0.003,計(jì)算 =0.003/0.580.1,B2具有較滿意的一致性,權(quán)重向量,成對(duì)比較三個(gè)候選人的才能，得成對(duì)比較矩陣B2,同理，計(jì)算候選人相對(duì)于準(zhǔn)則層各元素的權(quán)重,最大特征值 =3； 最大特征向量V=（0.688，0.688，0.229）,B3為一致陣,權(quán)重向量,成對(duì)比較三個(gè)候選人的資歷，得成對(duì)比較矩陣B3,同理，計(jì)算候選人相對(duì)于準(zhǔn)則層各元素的權(quán)重,最大特征值 =3.009； 最大特征向量V=（0.926，0.28，0.255）,計(jì)算 =0.0045,計(jì)算 =0.0045/0.580.1,權(quán)重向量,成對(duì)比較三個(gè)候選人的年齡，得成對(duì)比較矩陣B4,B4

15、具有較滿意的一致性,同理，計(jì)算候選人相對(duì)于準(zhǔn)則層各元素的權(quán)重,最大特征值 =3； 最大特征向量V=（0.236，0.236，0.943）,權(quán)重向量,成對(duì)比較三個(gè)候選人的群眾關(guān)系，得成對(duì)比較矩陣B5,B5為一致陣,5.3 層次分析法的步驟,4 層次綜合排序及其一致性檢驗(yàn) 利用層次單排序的計(jì)算結(jié)果，進(jìn)一步綜合出對(duì)更上一層次的優(yōu)劣順序（確定最低層方案層中每一元素（方案）在總目標(biāo)（最高層）中的權(quán)重），就是層次總排序的任務(wù)。 層次總排序需要從上到下逐層順序進(jìn)行。對(duì)于最高層而言，其層次單排序的結(jié)果也就是總排序的結(jié)果。,對(duì)總目標(biāo)Z的排序?yàn)椋?的層次單排序?yàn)椋?5.3 層次分析法的步驟,4 層次綜合排序及其一

16、致性檢驗(yàn),即 層第 個(gè)因素對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值為：,層的層次總排序?yàn)椋?A,B,CI為層次總排序的一致性指標(biāo)；CIj為與aj對(duì)應(yīng)的B層次中判斷矩陣的一致性指標(biāo)；,為了評(píng)價(jià)層次總排序結(jié)果的一致性，類似于層次單排序，也需要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。為此，需要分別計(jì)算下列指標(biāo)：,5.3 層次分析法的步驟,RI為層次總排序的隨機(jī)一致性指標(biāo)；RIj為與aj對(duì)應(yīng)的B層次中判斷矩陣的隨機(jī)一致性指標(biāo)；CR為層次總排序的隨機(jī)一致性比例。,當(dāng)CR0.10時(shí)，則認(rèn)為層次總排序的計(jì)算結(jié)果具有令人滿意的一致性；否則，就需要對(duì)本層次的各判斷矩陣進(jìn)行調(diào)整，直至層次總排序的一致性檢驗(yàn)達(dá)到要求為止。 也有研究表明，在AHP中不必檢驗(yàn)層次總排序

17、的一致性，故在實(shí)際操作中，總排序一致性檢驗(yàn)常?？墒÷?。,干部選拔：層次綜合排序及其一致性檢驗(yàn),綜合排序： y1得分=0.460.082+0.26 0.595+005 0.429+0.10 0.634+0.13 0.167=0.3 同理可得： y2得分=0.245； y3得分=0.456 故選y3為第1干部人選 一致性檢驗(yàn),總排序通過一致性檢驗(yàn)，選擇y3。,1.建立層次結(jié)構(gòu)模型：包括目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。,層次分析法的基本步驟歸納如下：,3.計(jì)算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn),2.構(gòu)造成對(duì)比較矩陣：從第二層開始用比較矩陣和19尺度。,對(duì)每個(gè)成對(duì)比較矩陣計(jì)算最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，利用一致性指

18、標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)通過，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過，需要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣。,4.計(jì)算總排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)：計(jì)算最下層對(duì)最上層總排序的權(quán)向量。利用總排序一致性比率進(jìn)行檢驗(yàn)。若通過，則可按照總排序權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行決策，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率CR較大的成對(duì)比較矩陣。,5.3 層次分析法的步驟,優(yōu)點(diǎn)：思路簡(jiǎn)單明了，它將決策者的思維過程條理化、數(shù)量化，便于計(jì)算，容易被人們所接受； 所需要的定量化數(shù)據(jù)較少，但對(duì)問題的本質(zhì)，問題所涉及的因素及其內(nèi)在關(guān)系分析得比較透徹、清楚，實(shí)用。,對(duì)層次分析法的簡(jiǎn)單評(píng)價(jià),缺點(diǎn)：存在著較大的主觀

19、性，粗略，不適用于精度較高的問題 譬如，對(duì)于同樣一個(gè)決策問題，如果在互不干擾、互不影響的條件下，讓不同的人同樣都采用AHP決策分析方法進(jìn)行研究，則他們所建立的層次結(jié)構(gòu)模型、所構(gòu)造的判斷矩陣很可能是各不相同的，分析所得出的結(jié)論也可能各有差異。,一 般 的 思 維 過 程,例2:(假日旅游) 有P1,P2,P3三個(gè)旅游地供選擇, 假如選擇的標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)（準(zhǔn)則）有:景色,費(fèi)用,飲食,居住和旅途.,5.3 層次分析法的應(yīng)用案例分析,5.3 層次分析法的應(yīng)用案例分析,蘇杭 北戴河 桂林,某人用上述方法得到了”假日旅游”中景色,費(fèi)用，居住,飲食,旅途5個(gè)因素對(duì)于目標(biāo)Z的 比較矩陣如下:,得到:,A=(xij

20、), xij0,xji=1/xij,其中,x12=1/2表示景色x1與費(fèi)用x2對(duì)選擇旅游地這個(gè)目標(biāo)Z的重要性之比為1:2.即日認(rèn)為費(fèi)用更重要.其他類同.,5.3 層次分析法的應(yīng)用案例分析,5.3 層次分析法的應(yīng)用案例分析,用同樣的方法構(gòu)造第3層(方案層)對(duì)于第2層的每一個(gè)準(zhǔn)則的成對(duì)比較矩陣,不妨設(shè)為:,5.3 層次分析法的應(yīng)用案例分析,成對(duì)比較矩陣 的最大特征值,表明 通過了一致性驗(yàn)證。,故,則,該特征值對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量,對(duì)成對(duì)比較矩陣 可以求層次 總排序的權(quán)向量并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，結(jié)果如下：,計(jì)算 可知 通過一致性檢驗(yàn)。,5.3 層次分析法的應(yīng)用案例分析,對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值為：,又,決策層對(duì)總

21、目標(biāo)的權(quán)向量為：,同理得， 對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值分別為：,故，層次總排序通過一致性檢驗(yàn)。,可作為最后的決策依據(jù)。,故最后的決策應(yīng)為去桂林。,又 分別表示蘇杭、北戴河、桂林，,即各方案的權(quán)重排序?yàn)?CI(3)=0.00176, RI(3)=0.58, CR(3)=0.003 已有CR(2)=0.016 于是CR*=0.019 通過一致性檢驗(yàn)!,例3：某公司有一筆資金可用于4種方案 ：投資房地產(chǎn)，購(gòu)買股票，投資工業(yè)和高技術(shù)產(chǎn)業(yè)。評(píng)價(jià)和選擇投資方案的標(biāo)準(zhǔn)是：收益大，風(fēng)險(xiǎn)低和周轉(zhuǎn)快。試對(duì)4種投資方案做出分析和評(píng)價(jià)。,5.3 層次分析法的應(yīng)用案例分析,最好的投資方案,風(fēng)險(xiǎn)低,房地產(chǎn),收益大,周轉(zhuǎn)快,股市,工業(yè)

22、,高科技,G,C1,C2,C3,p1,p2,p3,p4,建立判斷矩陣，計(jì)算各級(jí)要素的相對(duì)重要度，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。,1,3,1/3,1,3,1,5,1/5,0.636,G,C1,C1,C2,C2,C3,C3,1/3,Wi0,C.I.,0.258,0.106,0.0270.10,p1,C2,p2,p3,p3,1/3,Wi2,C.I.,0.569,0.266,0.0730.10,p1,p2,p4,p4,1,5,3,7,1/5,1,1/5,1/2,5,1,3,1/7,2,1/3,1,0.067,0.099,p1,C3,p2,p3,p3,1/3,Wi3,C.I.,0.25,0.075,0.010.10,p1,p2,p4,p4,