1、2019屆吉林省長春實驗高中 高三第五次月考數(shù)學（文）試題一、單選題1已知集合Ax|x21），Bx|x0，則ABA（，1B1，）C1，0D0，1【答案】A【解析】利用一元二次不等式的解法化簡集合，由并集的定義可得結(jié)果.【詳解】因為，所以由并集的定義可得，故選A.【點睛】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性.研究兩集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉(zhuǎn)化為元素間的關系，本題實質(zhì)求滿足屬于集合或?qū)儆诩系脑氐募?2已知復數(shù)滿足，則（ ）A B C D【答案】C【解析】由得，得 所以.故選C.3若向量，則（ ）A B5 C20 D25【答案】B【解析】 ,故選B.4下圖為射擊使用的靶子

2、，靶中最小的圓的半徑為1，靶中各圖的半徑依次加1，在靶中隨機取一點，則此點取自黑色部分（7環(huán)到9環(huán)）的概率是（ ）A B C D【答案】A【解析】根據(jù)圓的面積公式以及幾何概型概率公式可得，此點取自黑色部分的概率是，故選A.5若，則（ ）A B C D【答案】C【解析】 點睛：本題考查的是三角函數(shù)中的求值問題.在三角化簡求值類題目中，常?？肌敖o值求值”的問題，遇見這類題目一般的解決方法為配湊角：即將要求的式子通過配湊，把要求的角用已知角表示，得到與已知角的關系，進而利用誘導公式，二倍角公式展開求值即可.6若變量滿足約束條件，則的最大值為（ ）A B C3 D4【答案】D【解析】約束條件對應的可行

3、域為三角形區(qū)域，三個頂點為當直線經(jīng)過點（2，-1）時取得最大值為4.點睛：線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一、準確無誤地作出可行域；二、畫標準函數(shù)所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三、一般情況下，目標函數(shù)的最大或最小會在可行域的端點或邊界上取得.7某幾何體的三視圖如圖所示，其中圓的半徑為1，則該幾何體的體積為（ ）A B C D【答案】B【解析】該幾何體為一棱長為6的正方體掏掉一個棱長為2的小正方體，再放置進去一個半徑為1的球，所以體積為 點睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應深刻理解三視圖之間的關系，遵循“長對正，高平齊，寬相等

4、”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進行調(diào)整.8已知圓：與圓關于軸對稱，為圓上的動點，當?shù)街本€的距離最小時，的橫坐標為（ ）A B C D【答案】C【解析】圓的方程為：，過M（3，-4）且與直線y=x+2垂直的直線方程為y=-x-1,代入，得 ，故當Q到直線y=x+2的距離最小時，Q的坐標為 9大衍數(shù)列，來源于乾坤譜中對

5、易傳“大衍之數(shù)五十“的推論.主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題其規(guī)律是:偶數(shù)項是序號平方再除以2，奇數(shù)項是序號平方減1再除以2，其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，如圖所示的程序框圖是為了得到大衍數(shù)列的前100項而設計的，那么在兩個判斷框中，可以先后填入( )A是偶數(shù)?，? B是奇數(shù)?，?C是偶數(shù)?， ? D是奇數(shù)?，?【答案】D【解析】根據(jù)偶數(shù)項是序號平方再除以，奇數(shù)項是序號平方減再除以，可知第一個框應該是“奇數(shù)”，執(zhí)行程序框圖， 結(jié)束，所以第二

6、個框應該填，故選D.10已知傾斜角為的直線交雙曲線于兩點，若線段的中點為，則的離心率是（ ）A B C D【答案】C【解析】設 ,因為AB的中點為P(2,-1) ,所以 又 兩式相減并整理可得 解得 ，從而離心率 點睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式；只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2c2a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)11在偵破某一起案件時，警方要從甲、乙、丙、丁四名可疑人員中查出真正的

7、嫌疑人，現(xiàn)有四條明確信息：（1）此案是兩人共同作案；（2）若甲參與此案，則丙一定沒參與；（3）若乙參與此案，則丁一定參與；（4）若丙沒參與此案，則丁也一定沒參與.據(jù)此可以判斷參與此案的兩名嫌疑人是（ ）A甲、乙 B乙、丙 C甲、丁 D丙、丁【答案】D【解析】若甲乙參加此案，則不符合（3）；若乙丙參加此案，則不符合（3）；若甲丁參加此案，則不符合（4）；當丙丁參加此案，全部符合.故選D.12已知函數(shù)，且函數(shù)恰有9個零點，則的取值范圍為（ ）A B C D【答案】A【解析】因為 ，令解得，令解得，所以函數(shù)在 上單調(diào)遞增，在（-1,1）上單調(diào)遞減，所以 如圖所示，令 ，由圖可知的零點為 ，由圖可知恰

8、有9個零點等價于方程共有9個實數(shù)根，等價于 解得.點睛：已知函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法，直接根據(jù)題設條件構(gòu)建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解二、填空題13設函數(shù)，則_.【答案】【解析】 14在中，則_.【答案】【解析】由正弦定理得則.15若曲線關于直線對稱，則的最小值為_.【答案】【解析】 ，,又，所以的最小值為.16在四面體ABCD中，DA平面ABC，ABAC，AB4，AC3，AD1，

9、E為棱BC上一點，且平面ADE平面BCD，則DE_【答案】【解析】作，由面面垂直的性質(zhì)可得 ，由平面得 ，可證明平面，由面積相等可的值，再由勾股定理可得結(jié)果.【詳解】作，因為平面平面，所以平面， ，因為平面，所以 ，又因為平面，所以，因為，所以，因為平面，所以，故答案為.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì)定理，屬于中檔題. 解答空間幾何體中垂直關系時，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關系進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時要正確運用有關的定理，找出足夠的條件進行推理.三、解答題17已知公差不為零的等差數(shù)列an）滿足a15，且a3，a6，a11成等比數(shù)列（1）求數(shù)列an的通項

10、公式；（2）設bnan3n1，求數(shù)列bn的前n項和Sn【答案】（1）an2n3； （2）Sn（n1）3n-1.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列中，且成等比數(shù)列列出關于公差的方程，解方程可得的值，從而可得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，利用錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得結(jié)果.【詳解】（1）設等差數(shù)列an的公差為d，因為a3，a6，a11成等比數(shù)列，所以，即（a15d）2（a12d）（a110d），化簡得5d2a10又a15，所以d2，從而an2n3（2）由（1）可得，所以Sn530731932所以3Sn=531732933（2n3）3n，以上兩個等式相減得，化簡得Sn（n1）3n-1【

11、點睛】本題主要考查等比數(shù)列的求和公式與等差數(shù)列的通項以及錯位相減法求數(shù)列的前 項和，屬于中檔題.一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和時，可采用“錯位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解, 在寫出“”與“” 的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式.18如圖，三棱錐BACD的三條側(cè)棱兩兩垂直，BCBD2，E，F(xiàn)，G分別是棱CD，AD，AB的中點（1）證明：平面ABE平面ACD；（2）若四面體BEFG的體積為，且F在平面ABE內(nèi)的正投影為M，求線段CM的長【答案】(1)見解析.（2）見解析.【解析】試題分析：(1)先證明平面，

12、又平面，可得平面平面.（2）由（1）知平面，因為平面，所以，結(jié)合為的中點，得為的中點，由四面體體的體積為 ，解得，進而可求得.試題解析：(1)證明：因為，是棱的中點，所以，又三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且，所以平面，則因為，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，因為平面，所以又為的中點，所以為的中點，因為，所以四面體體的體積為 ，則在中，在中，.19某大型超市在2018年元旦舉辦了一次抽獎活動，抽獎箱里放有2個紅球，1個黃球和1個藍球（這些小球除顏色外大小形狀完全相同），從中隨機一次性取2個小球，每位顧客每次抽完獎后將球放回抽獎箱.活動另附說明如下：凡購物滿100（含100）元者

13、，憑購物打印憑條可獲得一次抽獎機會；凡購物滿188（含188）元者，憑購物打印憑條可獲得兩次抽獎機會；若取得的2個小球都是紅球，則該顧客中得一等獎，獎金是一個10元的紅包；若取得的2個小球都不是紅球，則該顧客中得二等獎，獎金是一個5元的紅包；若取得的2個小球只有1個紅球，則該顧客中得三等獎，獎金是一個2元的紅包.抽獎活動的組織者記錄了該超市前20位顧客的購物消費數(shù)據(jù)（單位：元），繪制得到如圖所示的莖葉圖.（1）求這20位顧客中獲得抽獎機會的人數(shù)與抽獎總次數(shù)（假定每位獲得抽獎機會的顧客都會去抽獎）；（2）求這20位顧客中獎得抽獎機會的顧客的購物消費數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)（結(jié)果精確到整數(shù)部分）；（3

14、）分別求在一次抽獎中獲得紅包獎金10元，5元，2元的概率.【答案】（1）14（2）131（3）見解析【解析】試題分析：（）先計算這20位顧客中獲得抽獎機會的人數(shù)，再計算抽獎總次數(shù)，（）根據(jù)平均數(shù)定義求平均數(shù)，從數(shù)據(jù)確定中位數(shù)，（）先確定所有結(jié)果數(shù)，再根據(jù)古典概型概率公式確定對應概率.試題解析：解：（1）這20位顧客中獲得抽獎機會的人數(shù)為5+3+2+1=11.這20位顧客中，有8位顧客獲得一次抽獎的機會，有3位顧客獲得兩次抽獎的機會，故共有14次抽獎機會.（2）獲得抽獎機會的數(shù)據(jù)的中位數(shù)為110，平均數(shù)為 .（3）記抽獎箱里的2個紅球為紅1，紅2，從箱中隨機取2個小球的所有結(jié)果為（紅1,紅2），

15、（紅1,藍），（紅1,黃），（紅2,藍），（紅2,黃），（藍,黃），共有6個基本事件.在一次抽獎中獲得紅包獎金10元的概率為，獲得5元的概率為，獲得2元的概率為.20已知橢圓M：（ab0）的一個焦點F與拋物線N：y24x的焦點重合，且M經(jīng)過點（1，）（1）求橢圓M的方程；（2）已知斜率大于0且過點F的直線l與橢圓M及拋物線N自上而下分別交于A，B，C，D，如圖所示，若|AC|8，求|AB|CD|【答案】(1).（2）.【解析】試題分析：(1)由題可得，解得，可得橢圓的方程.（2）設直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，由，解得.將代入，得.可得，得解.試題解析：(1)易知的坐標為，所以，所以，解得，所

16、以橢圓的方程為.（2）設直線的方程為，代入，得，設，則，因為，所以.將代入，得.設，則,所以，故.21已知函數(shù).（1）證明：當時，函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)；（2）當時， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1) 見解析(2) 【解析】試題分析：（1）函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)等價于證明恒為非負或恒為非正即可；（2）原問題等價于恒成立，令（），求函數(shù)的最小值即可.試題解析：（1），令，則.則當時， ，當時， .所以函數(shù)在取得最小值， .故，即函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù).（2）當時， ，即令（），則令（），則.當時， 單調(diào)遞增， .則當時， ，所以單調(diào)遞減.當時， ，所以單調(diào)遞增.所以，所以.點睛：導數(shù)問題經(jīng)常會遇

17、見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為;（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為.22在直角坐標坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標系的原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程；（2）若與曲線相切，且與坐標軸交于兩點，求以為直徑的圓的極坐標方程.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）利用公式，把參數(shù)方程和極坐標方程與直角坐標方程進行轉(zhuǎn)化；（2）利用與曲線相切，結(jié)合一元二次方程的解法求出結(jié)果詳解：（1）由，得，即，故曲線的普通方程為（2）由，當，聯(lián)立得，因為與曲線相切，所以，所以的方程為，不妨假設，則，線段的中點為所以，又，故以為