1、選修4系列第1課時坐標系與參數(shù)方程考綱索引1. 極坐標系.2. 直角坐標與極坐標的的互化.3. 直線、圓、橢圓的分數(shù)方程.課標要求1. 理解坐標系的作用.2. 了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.3. 能在極坐標系中用極坐標表示點的位置,理解在極坐標系和平面直角坐標系中表示點的位置的區(qū)別,能進行極坐標與直角坐標的互化.4. 能在極坐標系中給出簡單圖形(如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓)的方程.通過比較這些圖形在極坐標系與直角坐標系中的方程,理解用方程表示平面圖形時選擇適當坐標系的意義.5. 了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的含義.6. 能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程

2、.知識梳理1. 極坐標系在平面內(nèi)取一個定點O,叫做;自極點O引一條射線Ox,叫做;再選定一個長度單位、一個角度單位(能通取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立 了一個極坐標系.設(shè)M是平面內(nèi)一點,極點O與點M的距離|OM|叫做點M的,記為;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角,記為有序數(shù)對(,)叫做點M的極坐標,記作.極坐標系的四要素:(1)極點;(2)極軸;(3)長度單位;(4)角度單位和它的正方向,四者缺一不可.由極徑的意義知0,當極角的取值范圍是0,2時,平面上的點(除去極點)與極坐標(,)(0)建立關(guān)系,約定極點的極坐標是極徑,極角可取任意角.2. 直角坐

3、標與極坐標的互化把直角坐標系的原點作為極點,x軸正半軸作為極軸,并在兩坐標系中取相同的長度單位,設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點,它的直角坐標、極坐標分別為(x,y)和(,)則x=cos,y=sin;也可化為關(guān)系式2=x2+y2,tan= (x0).3. 直線的參數(shù)方程(1)過點P0(x0,y0),傾斜角為的直線l的參數(shù)方程是 4. 圓的參數(shù)方程圓心在M0(x0,y0),半徑為r的圓的參數(shù)方程為.5. 橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程為.基礎(chǔ)自測指 點 迷 津求曲線極坐標方程的基本步驟(1)建立適當?shù)臉O坐標系;(2)在曲線上任取一點P(p,);(3)根據(jù)曲線上的點所滿足的條件寫出等式;(4)用極坐標p,表示

4、上述等式,并化簡得極坐標方程;(5)證明所得的方程是曲線的極坐標方程.考點透析考向一平面直角坐標系下的伸縮變換例1在同一直角坐標系中,將直線x-2y=2變成直線2x-y=4,則滿足圖象變換的伸縮變換為.【審題視點】本題考查圖像的伸縮變換.【方法總結(jié)】求滿足圖象變換的伸縮變換,可先求出變換公式,分清新舊坐標,代入對應的曲線方程,然后比較系數(shù)可得變換規(guī)則.變式訓練1. 設(shè)平面上的伸縮變換的坐標表達式為則在這一坐標變換下正弦曲線y=sinx變換后的方程為.考向二如何求曲線的極坐標方程【審題視點】本題考查求曲線的極坐標方程.【方法總結(jié)】求曲線極坐標方程的基本步驟是:(1)建立適當?shù)臉O坐標系;(2)在曲

5、線上任取一點P(,);(3)根據(jù)曲線上的點所滿足的條件寫出等式;(4)用極坐標,表示上述等式,并化簡得極坐標方程;(5)證明所得的方程是曲線的極坐標方程.變式訓練2. (2014江西)若以直角坐標系的原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,則線段y=1-x(0x1)的極坐標為().考向三極坐標的應用例3已知極坐標系的極點是直角坐標系的原點,極軸與直角坐標系中x軸的正半軸重合.曲線C的極坐標方程為=2cos-2sin,曲線l的極坐標方程是(cos-2sin)=2.(1)曲線C和l的直角坐標方程分別為.(2)設(shè)曲線C和l相交于A,B兩點,則|AB|=.【審題視點】本題考查極坐標與直角坐標的互化公式以及極坐標的應用.【方法總結(jié)】1. 極坐標與直角坐標互化公式:x=cos,y=sin成立的條件是直角坐標的原點為極點,x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位.2. 用極坐標法可使幾何中的一些問題得出更直接、簡單的解法,但解題的關(guān)鍵是選取適當極坐標系,這樣可以簡化運算過程,轉(zhuǎn)化為直角坐標時也容易一些.變式訓練3. 已知曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,