1、3.2.2 函數(shù)模型應用舉例課堂導學三點剖析一、函數(shù)模型的確定【例1】 以下是某地區(qū)不同身高的未成年男性體重平均值表：身高/cm60708090100110體重/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高cm120130140150160170體重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，能否從我們已學過的函數(shù)y=ax+b,y=alnx+b,y=abx中選擇一種函數(shù)，使它比較近似地反映出該地區(qū)未成年男性體重y關于身高x的函數(shù)關系？試求出這個函數(shù)的解析式.（2）若體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，

2、那么該地區(qū)某中學一男生身高為175 cm，體重為78 kg，他的體重是否正常？思路分析：可先根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，描點畫出函數(shù)圖象（散點圖），再根據(jù)散點圖的形狀判斷應當選擇哪種函數(shù)關系，然后根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出所選式子的待定常數(shù)，最后將表中的身高數(shù)據(jù)代入求得的解析式，看所得的函數(shù)值是否與已知體重數(shù)據(jù)基本吻合.解：（1）以身高為橫坐標，體重為縱坐標，在直角坐標系中畫出散點圖，如右圖.根據(jù)點的分布特征可考慮用函數(shù)y=abx反映上述數(shù)據(jù)之間的對應關系. 把x=70,y=7.90和x=170,y=55.05兩組數(shù)據(jù)分別代入y=abx， 得 解得a2，b1.02, 故該地區(qū)未成年男性平均體重關于身高的近似函數(shù)關系

3、式可選取為y=21.02x. 將已知數(shù)據(jù)代入所得函數(shù)解析式，可知所求函數(shù)能較好的反映該地區(qū)未成年男性體重與身高的關系. （2）把x=175代入y=21.02x， 得y=21.0217563.98. 7863.981.221.2，這名男生體重偏胖.二、數(shù)學模型的應用【例2】 某家庭某年一月份、二月份和三月份的煤氣用量和交付費用如下表所示:月份用氣量煤氣費14 m34元225 m314元335 m319元該市煤氣收費方法是:煤氣費=基本費+超額費+保險費.若該月用氣量不超過最低量A m3,那么只付基本費3元和每戶每月的定額保險費C元;若用氣量超過A m3,那么超出部分付超額費,每立方米為B元,又知

4、保險費C不超過5元,試根據(jù)上述條件及數(shù)據(jù)求A、B的值.思路分析:關鍵在于找出煤氣費與用量間的函數(shù)關系，這顯然是一分段函數(shù).解:設月用氣量為x m3,支付的煤氣費為y元,依題意有， 0C5, 33+C8. 二、三月份煤氣費滿足 若一月份用氣超過A m3,則4A, 4=3+0.5(4-A)+C,這不可能. 4=3+C，C=1,B=,A=5.溫馨提示 解決實際問題，首先在審清題意的基礎上，將實際問題轉(zhuǎn)化成相應的函數(shù)來解決.函數(shù)模型的應用，一方面是利用已知函數(shù)模型解決問題；另一方面是建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型.并利用所得函數(shù)模型解析有關現(xiàn)象.對某些發(fā)展趨勢進行預測，在用函數(shù)模型解決實際問題的過程中，涉及復雜的

5、數(shù)據(jù)處理，要注意充分發(fā)揮信息技術的作用，簡化過程、減小計算量.各個擊破類題演練1我國19902000年的國內(nèi)生產(chǎn)總值如下表所示：年份1990199119921993產(chǎn)值/億元18 598.421 662.526 651.934 560.5年份1994199519961997產(chǎn)值/億元46 670.057 494.966 850.573 142.7年份199819992000產(chǎn)值/億元76 967.180 422.889 404.0（1）描點畫出19902000年國內(nèi)生產(chǎn)總值的圖象；（2）建立一個能基本反映這一時期國內(nèi)生產(chǎn)總值發(fā)展變化的函數(shù)模型，并畫出其圖象；（3）根據(jù)所建立的函數(shù)模型，預測20

6、04年的國內(nèi)生產(chǎn)總值.解析：（1）取自變量x為0，1，10，對應年份為1990，1991，2000得函數(shù)圖象，如下圖： （2）根據(jù)圖象，取函數(shù)模型y=abx. 取2組數(shù)據(jù)： （2，26 651.9）,(8,76 967.1). 代入y=abx得 解得a18 715.5,b1.19，得函數(shù)模型： y=18 715.51.19x. 將其他數(shù)據(jù)代入上述函數(shù)解析式，基本吻合. （3）令x=14得y213 726.8（億元）， 根據(jù)所建函數(shù)模型預測2004年的國內(nèi)生產(chǎn)總值為213 726.8億元.類題演練2已知某企業(yè)的原有產(chǎn)品，每年投入x萬元，可獲得的年利潤可表示為函數(shù)：P（x）=-（x-30）2+8（

7、萬元）.現(xiàn)開發(fā)一個回報率高、科技含量高的新產(chǎn)品，據(jù)預測，新產(chǎn)品每年投入x萬元，可獲得年利潤Q（x）=-（100-x）2+(100-x)（萬元）.新產(chǎn)品開發(fā)從“十五”計劃的第一年開始，用兩年時間完成.這兩年，每年從100萬元的生產(chǎn)準備金中，拿出80萬元來投入新產(chǎn)品開發(fā).從第三年開始這100萬元全部用于新舊兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)投入.（1）為了解決資金缺口，第一年初向銀行貸款1 000萬元，利率為5.5%（不計復利），第五年底一次性應向銀行償還本息共計多少萬元？（2）從新產(chǎn)品投產(chǎn)的第三年開始，從100萬元的生產(chǎn)準備金中，新舊兩種產(chǎn)品各應投入多少萬元，才能使年利潤最大？（3）從新舊產(chǎn)品的五年總利潤中最高拿出

8、70%來，能否還清對銀行的欠款？解析：（1）五年利息是1 0000.0555=275（萬元），本利和為1 275萬元.（2）設從第三年年初起每年舊產(chǎn)品投入x萬元，新產(chǎn)品投入（100-x）萬元，于是每年的利潤是W=P（x）+Q(100-x)=-（x-30）2+8+-100-(100-x)2+100-(100-x)=(-x2+x-1)+(-x2+x)=-x2+52x-1=-(x-26)2+675. 投入舊產(chǎn)品26萬元，新產(chǎn)品74萬元時，每年可獲得最大的利潤，最大利潤是675萬元. （3）因為P（x）在（0，30上是增函數(shù)，所以在100萬元的生產(chǎn)準備金中除用于新產(chǎn)品開發(fā)外，剩余的20萬元全部投入即可得到最大利潤.于是，頭2年的利潤是W1=2P（2