1、2.1函數(shù)及其表示最新考綱考情考向分析1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段).以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的表示法、定義域；分段函數(shù)以及函數(shù)與其他知識(shí)的綜合是高考熱點(diǎn)，題型既有選擇、填空題，又有解答題，中等偏上難度.1函數(shù)與映射函數(shù)映射兩個(gè)集合A，B設(shè)A，B是兩個(gè)非空數(shù)集設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合對(duì)應(yīng)關(guān)系f：AB如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任何一個(gè)數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)如果按某一個(gè)確定

2、的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一的元素y與之對(duì)應(yīng)名稱稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射函數(shù)記法函數(shù)yf(x)，xA映射：f：AB2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)yf(x)，xA中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫作函數(shù)的值域(2)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域(3)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖像法和列表法3分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)分段函數(shù)

3、的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)知識(shí)拓展簡單函數(shù)定義域的類型(1)f(x)為分式型函數(shù)時(shí)，定義域?yàn)槭狗帜覆粸榱愕膶?shí)數(shù)集合；(2)f(x)為偶次根式型函數(shù)時(shí)，定義域?yàn)槭贡婚_方式非負(fù)的實(shí)數(shù)的集合；(3)f(x)為對(duì)數(shù)式時(shí)，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實(shí)數(shù)集合；(4)若f(x)x0，則定義域?yàn)閤|x0；(5)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1；(6)正切函數(shù)ytan x的定義域?yàn)?題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)對(duì)于函數(shù)f：AB，其值域就是集合B.()(2)若兩個(gè)函數(shù)的定

4、義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)相等()(3)函數(shù)f(x)的圖像與直線x1最多有一個(gè)交點(diǎn)()(4)若AR，Bx|x0，f：xy|x|，其對(duì)應(yīng)是從A到B的映射()(5)分段函數(shù)是由兩個(gè)或幾個(gè)函數(shù)組成的()題組二教材改編2函數(shù)f(x)的定義域是_答案(，1)(1,43函數(shù)yf(x)的圖像如圖所示，那么，f(x)的定義域是_；值域是_；其中只有唯一的x值與之對(duì)應(yīng)的y值的范圍是_答案3,02,31,51,2)(4,5題組三易錯(cuò)自糾4已知函數(shù)f(x)x|x|，若f(x0)4，則x0的值為_答案2解析當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2，f(x0)4，即x4，解得x02.當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2，f(x0)4，即x4，無解，

5、所以x02.5設(shè)f(x)則f(f(2)_.答案解析因?yàn)?0，所以f(2)220，所以f(f(2)f11.6已知函數(shù)f(x)ax32x的圖像過點(diǎn)(1,4)，則a_.答案2解析由題意知點(diǎn)(1,4)在函數(shù)f(x)ax32x的圖像上，所以4a2，則a2.題型一函數(shù)的概念1若函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镸x|2x2，值域?yàn)镹y|0y2，則函數(shù)yf(x)的圖像可能是()答案B解析A中函數(shù)的定義域不是2,2，C中圖像不表示函數(shù)，D中函數(shù)值域不是0,2，故選B.2有以下判斷：f(x)與g(x)表示同一函數(shù)；f(x)x22x1與g(t)t22t1是同一函數(shù)；若f(x)|x1|x|，則f0.其中正確判斷的序號(hào)是_答案

6、解析對(duì)于，由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|xR且x0，而函數(shù)g(x)的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)，故不正確；對(duì)于，f(x)與g(t)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函數(shù)，故正確；對(duì)于，由于f0，所以ff(0)1，故不正確綜上可知，正確的判斷是.思維升華 函數(shù)的值域可由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系唯一確定；判斷兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，只要看對(duì)于函數(shù)定義域中的任意一個(gè)相同的自變量的值，按照這兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系算出的函數(shù)值是否相同題型二函數(shù)的定義域問題命題點(diǎn)1求函數(shù)的定義域典例 (1)函數(shù)f(x)ln(2xx2)的定義域?yàn)?)A(2，) B(1,2)C(0,2) D1,2答案B解

7、析要使函數(shù)有意義，則解得1x2.函數(shù)f(x)ln(2xx2)的定義域?yàn)?1,2)(2)若函數(shù)yf(x)的定義域是0,2 018，則函數(shù)g(x)的定義域是()A1,2 017 B1,1)(1,2 017C0,2 018 D1,1)(1,2 018答案B解析使函數(shù)f(x1)有意義，則0x12 018，解得1x2 017，故函數(shù)f(x1)的定義域?yàn)?，2 017所以函數(shù)g(x)有意義的條件是 解得1x1或1x2 017.故函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?,1)(1,2 017引申探究本例(2)中，若將“函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)?,2 018”，改為“函數(shù)f(x1)的定義域?yàn)?,2 018，”則函數(shù)g(x)的

8、定義域?yàn)開答案2,1)(1,2 016解析由函數(shù)f(x1)的定義域?yàn)?,2 018得函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)?,2 017，令則2x2 016且x1.所以函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?,1)(1,2 016命題點(diǎn)2已知函數(shù)的定義域求參數(shù)范圍典例 (1)(2018衡水聯(lián)考)若函數(shù)y的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B.C. D.(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|1x2，則ab的值為_答案(1)D(2)解析(1)要使函數(shù)的定義域?yàn)镽，則mx24mx30恒成立，當(dāng)m0時(shí)，顯然滿足條件；當(dāng)m0時(shí)，由(4m)24m30，得0m，由得0m.(2)函數(shù)f(x)的定義域是不等式ax2abxb0的解集不等式

9、ax2abxb0的解集為x|1x2，所以解得所以ab3.思維升華 (1)求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，可借助于數(shù)軸，注意端點(diǎn)值的取舍(2)求抽象函數(shù)的定義域：若yf(x)的定義域?yàn)?a，b)，則解不等式ag(x)b即可求出yf(g(x)的定義域；若yf(g(x)的定義域?yàn)?a，b)，則求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定義域(3)已知函數(shù)定義域求參數(shù)范圍，可將問題轉(zhuǎn)化成含參數(shù)的不等式，然后求解跟蹤訓(xùn)練 (1)(2017江西九江七校聯(lián)考)函數(shù)y的定義域是()A(1,3) B(1,3C(1,0)(0,3) D(1,0)(0,3答案D解析由題意得解得1x3且x0，函數(shù)

10、的定義域?yàn)?1,0)(0,3(2)已知函數(shù)yf(x21)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)開答案1,2解析yf(x21)的定義域?yàn)?，x，x211,2，yf(x)的定義域?yàn)?,2(3)(2017杭州模擬)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案0,4解析當(dāng)m0時(shí)，f(x)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)；當(dāng)m0時(shí)，由得00，則|log2x|，解得x或x.故x的集合為.分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用典例 (1)設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(f(a)2f(a)的a的取值范圍是()A. B0,1C. D1, )(2)(2017全國)設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(x)f1的x的取值范圍是_思想方法指導(dǎo) (1)

11、求分段函數(shù)的函數(shù)值，首先要確定自變量的范圍，通過分類討論求解；(2)當(dāng)給出函數(shù)值或函數(shù)值的取值范圍求自變量的值或自變量的取值范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或取值范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的值或取值范圍解析(1)令f(a)t，則f(t)2t，當(dāng)t0，g(t)0，值域?yàn)閥|y0，所以與其定義域和值域分別相同的函數(shù)為y，故選D.4(2017湖南衡陽八中一模)已知f(x) 則f等于()A2 B3 C9 D9答案C解析flog32，ff(2)29.5已知f，則f(x)等于()A(x1)2(x1) B(x1)2(x1)Cx2x1(x1) Dx2x1(x1)答案C解析f21，

12、令t(t1)，則f(t)t2t1，即f(x)x2x1(x1)6.如圖，AOD是一直角邊長為1的等腰直角三角形，平面圖形OBD是四分之一圓的扇形，點(diǎn)P在線段AB上，PQAB，且PQ交AD或交弧DB于點(diǎn)Q，設(shè)APx(0x2)，圖中陰影部分表示的平面圖形APQ(或APQD)的面積為y，則函數(shù)yf(x)的大致圖像是()答案A解析觀察可知陰影部分的面積y的變化情況為：(1)當(dāng)0x1時(shí)，y隨x的增大而增大，而且增加的速度越來越快(2)當(dāng)1x0，f(f(2)f(log29)333381243.故選B.8已知f(x)的值域?yàn)镽，那么a的取值范圍是()A(，1 B.C. D.答案C解析要使函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽

13、，需使1a.即a的取值范圍是.9已知f(1)x2，則f(x)_.答案x21(x1)解析令1t，則x(t1)2(t1)，代入原式得f(t)(t1)22(t1)t21，所以f(x)x21(x1)10已知函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)g(x) f(x)的定義域是_答案(2,8解析要使函數(shù)有意義，需f(x)0，由f(x)的圖像可知，當(dāng)x(2,8時(shí)，f(x)0.11已知函數(shù)f(x)則滿足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范圍是_答案(1，1)解析由題意得或解得1x0或0x1，所求x的取值范圍為(1，1)12(2018屆全國名校第一次聯(lián)考)定義新運(yùn)算“”：當(dāng)mn時(shí)，mnm；當(dāng)mn時(shí)，mnn2.設(shè)函

14、數(shù)f(x)(2x)x(4x)，x1,4，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)開答案2,0(4,60解析由題意知，f(x)當(dāng)x1,2時(shí)，f(x)2,0；當(dāng)x(2,4時(shí)，f(x)(4,60，故當(dāng)x1,4時(shí)，f(x)2,0(4,6013設(shè)函數(shù)f(x)若f(f(a)3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(， B，)C， D(，答案D解析令f(a)t，則f(t)3等價(jià)于或解得t3，則f(a)3等價(jià)于或解得a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，故選D.14已知函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意的xR都有ff2成立，則fff_.答案7解析由ff2，得ff2，ff2，ff2，又f21，fff2317.15已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y，都有f(xy)f(x)y(y2x1)，且f(1)3，則函數(shù)f(x)的解析式為_答案f