1、4.4 控制系統(tǒng)根軌跡繪制示例,4.4 控制系統(tǒng)根軌跡繪制示例,根據(jù)上述根軌跡繪制規(guī)則，可以畫(huà)出控制系統(tǒng)完整的根軌跡圖。應(yīng)當(dāng)指出的是，并不是每一個(gè)系統(tǒng)的根軌跡繪制都要全部使用上述基本規(guī)則。根據(jù)系統(tǒng)的不同，有時(shí)只使用部分規(guī)則就可以繪制出完整的根軌跡。,手工繪制控制系統(tǒng)根軌跡的步驟:,確定根軌跡的分支數(shù)； 確定實(shí)軸上的根跡區(qū)間； 確定n-m條漸進(jìn)線； 計(jì)算分離(會(huì)合)點(diǎn)； 計(jì)算極點(diǎn)處的出射角和零點(diǎn)處的入射角； 計(jì)算根軌跡與虛軸的交點(diǎn)； 利用前幾步得到的信息繪制根軌跡。,4.4 控制系統(tǒng)根軌跡繪制示例,解： 根據(jù)要求，采用180o等相角根軌跡繪制規(guī)則進(jìn)行繪制。,系統(tǒng)的根軌跡方程為：,系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和

2、零點(diǎn)為：,實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為： -4，0,根軌跡的漸近線：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的數(shù)目相同，該根軌跡沒(méi)有漸進(jìn)線。,出射角： 先求開(kāi)環(huán)極點(diǎn)-p1處的出射角。畫(huà)出各個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)（除了-p1）到-p1的向量，并標(biāo)出每個(gè)向量的相角，分別為a1,a2,b1。,出射角為：,實(shí)軸上根軌跡區(qū)間是：-2，0。,漸進(jìn)線傾角： 與實(shí)軸的交點(diǎn)為：,標(biāo)出四個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：0，-2，-3j4。有四條根軌跡。,解： 對(duì)于本例系統(tǒng)的根軌跡，題目中沒(méi)有指明kg的取值范圍。通常，沒(méi)有特別指明kg的范圍時(shí)，按180o根軌跡繪制規(guī)則進(jìn)行繪制。,會(huì)合點(diǎn)與分離點(diǎn)（重根點(diǎn)）：分離角為,由 得：,由上式可求出分離點(diǎn)。但高階方程求解困難，可采用

3、下述近似方法：,我們知道，分離點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸-2，0區(qū)間上，所以當(dāng)s在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)， 最大時(shí)為分離點(diǎn)。,可見(jiàn)分離點(diǎn)約為-0.8。,繪制根軌跡，如下圖所示。,解： 1當(dāng)0kg+時(shí)，繪制180o等相角根軌跡。,系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)分別為：,根軌跡的分支數(shù)：根軌跡有三條分支，分別起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn) ，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn) 和無(wú)窮遠(yuǎn)處。,實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為(-，-3，-1，0,2當(dāng)kg0時(shí)，繪制0o等相角根軌跡。,實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為：-3，-1和0，+),漸近線：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)-開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)=1，則該根軌跡有一條漸進(jìn)線。漸進(jìn)線的傾角為：,分離（會(huì)合）點(diǎn)：計(jì)算方法如1。s=-6.65不在根軌跡上，應(yīng)該舍去。 s=-

4、1.35是會(huì)合點(diǎn)。,例4.3.4：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，繪制以為參變量的根軌跡，并討論速度反饋對(duì)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的影響。,解：先求等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。此時(shí)系統(tǒng)特征方程為,令 ，等效開(kāi)環(huán)傳函為,畫(huà)參量根軌跡, 開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為5.4、0.3j1.292，開(kāi)環(huán)零點(diǎn)為。, 漸近線：, 出射角：,討論,*=0，此時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)為等效開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，即5.4、0.3j1.292，此時(shí)=5.4/0.3=18，可看作二階系統(tǒng)。=0.226，%=48.2%，ts=10s,*=5.375，此時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)為4、1j1.17，此時(shí)=4/1=4，若看作二階系統(tǒng)則：=0.65，%=6.8%，ts=3s,*=7.75，此時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)為2、2j0.86

5、6，此時(shí)=2/2=1，已不能看作二階系統(tǒng)。,*=9.5，此時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)為-0.5604 、 -2.7198 + j3.0910 ， -2.7198 - j3.0910,此時(shí)可看作一階系統(tǒng)。,例4.3.5 設(shè)控制系統(tǒng)的方塊圖如圖所示，試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。,解將系統(tǒng)的方塊圖作等效變換，如下圖所示。,其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：,上式具有公因子s+1，可以互相抵消。抵消后的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：,按照公因子抵消前后繪制的根軌跡是不同的，抵消后的系統(tǒng)特征方程的階次下降一次。這時(shí)的根軌跡圖不能表示閉環(huán)特征方程的全部根，只能表示抵消化減后的特征方程的根。,為了得到全部的閉環(huán)極點(diǎn)，必須將開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Gk1(s)中抵消掉的極點(diǎn)，加到從開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Gk2(s)根軌跡圖中得到的閉環(huán)極點(diǎn)中去。特別地，從Gk1(s)中抵消掉的極點(diǎn)是系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)，這可以從下圖中看出。,因此，在遇到系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有零、極點(diǎn)相抵消的情況時(shí)，可先根據(jù)相抵消后的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)繪制出根軌跡，然后在根軌跡圖中補(bǔ)充相抵消的零、極點(diǎn)。,例6 設(shè)控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 試作閉環(huán)根軌跡。,例7