1、專題07 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）理解導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義，熟練掌握導(dǎo)數(shù)得運(yùn)算；（2）能熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)；（3）靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題。二、知識(shí)梳理1、函數(shù)從到的平均變化率： 2、導(dǎo)數(shù)定義：在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)記作；3、函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率 4、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：； ； ；5、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則： ； ；6、在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，若，則函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若，則函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減7、求函數(shù)的極值的方法是：解方程當(dāng)時(shí)：如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值；如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值8、求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟是：求函數(shù)在內(nèi)的極值；將

2、函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值9、導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用：最優(yōu)化問題。三、典型例題例1.已知函數(shù)f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，直線m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使直線m既是曲線yf(x)的切線，又是yg(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，說明理由【方法規(guī)律】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程時(shí)，關(guān)鍵是搞清所給的點(diǎn)是不是切點(diǎn)，常見類型有兩種：(1)函數(shù)yf(x)“在點(diǎn)xx0處的切線方程”，這種類型中(x0，f(x0)是曲線上的點(diǎn)，其切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)(2)函

3、數(shù)yf(x)“過某點(diǎn)的切線方程”，這種類型中，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，可先設(shè)切點(diǎn)Q(x1，y1)，則切線斜率為f(x1)，再由切線過點(diǎn)P(x0，y0)得斜率為，又由y1f(x1)，由上面兩個(gè)方程可得切點(diǎn)(x1，y1)，即求出了過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程變式練習(xí)1已知函數(shù)f(x)x3x16.(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(2，6)處的切線方程；(2)直線l為曲線yf(x)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如果曲線yf(x)的某一切線與直線yx3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程【答案】：(1)y13x32. (2)y13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，26) (3)切點(diǎn)為(1，14)或(1，18)切線

4、方程為y4x18或y4x14. 例2.求函數(shù)yx3ax(xR)的單調(diào)區(qū)間。【解析】y3x2a. 當(dāng)a0時(shí)，y0，函數(shù)yx3ax在(，)上為增函數(shù)當(dāng)a0的解集為. y0的解集為. 所以函數(shù)yx3ax的增區(qū)間是，減區(qū)間是. 綜上知：當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)yx3ax在(，)上單調(diào)遞增當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)yx3ax在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【方法規(guī)律】在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)；如果f(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)應(yīng)注意：在區(qū)間內(nèi)f(x)0或f(x)0是f(x)在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)(或減函數(shù))的充分條件，而不是必要條件如果f(x)在某個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)，那么f(

5、x)0；如果f(x)在某個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)，那么f(x)0.變式練習(xí)2.已知函數(shù)f(x)x2(x0，aR)，若f(x)在2，)上是增函數(shù)，求a的取值范圍.【答案】a16【解析】f (x)2x，f(x)在2，)上是增函數(shù)，f (x)0在2，)上恒成立，2x0在2，)上恒成立，即a2x3在2，)上恒成立，即a(2x3)min16，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a16. 例3.已知函數(shù)f(x)x33ax22bx在x1處有極小值1. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間2,2上的最大值和最小值x21(1,2)2f(x)00f(x)1012由表中數(shù)據(jù)知，函數(shù)f(x)在x2處取得最大值2，在x2

6、處取得最小值10，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間2,2上的最大值為2，最小值為10. 【方法規(guī)律】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值應(yīng)明確求解步驟，求解時(shí)切記函數(shù)的定義域，正確區(qū)分最值與極值的不同函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點(diǎn)附近的情況，是在局部對(duì)函數(shù)值比較大?。欢钪凳窃谡麄€(gè)區(qū)間上對(duì)函數(shù)值比較大小函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最值只能有一個(gè)，極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，而最值還可以在端點(diǎn)處取得，最值只要不在端點(diǎn)處，必是一個(gè)極值變式練習(xí)3.已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx在點(diǎn)x0處取得極小值4，使其導(dǎo)函數(shù)f(x)0的x的取值范圍為(1,3)(1)求f(x)的解析式及f(x)的極大值；(2)當(dāng)x2,3時(shí)，求g(x)f(x)6(m

7、2)x的最大值【答案】(1)f(x)x36x29x.極大值f(3)0.(2)g(x)max因此g(x)max例4.已知函數(shù)f(x)x2ln x. (1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間1，e上的最大值、最小值；(2)求證：在區(qū)間1，)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)x3的圖象的下方【方法規(guī)律】用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)比用初等數(shù)學(xué)的方法研究要方便的多在知識(shí)的交匯處設(shè)計(jì)一些綜合問題，突出理性思維能力，用導(dǎo)數(shù)作為工具研究函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式方面有其新的背景和載體，同時(shí)以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為背景設(shè)置導(dǎo)數(shù)與解析幾何、函數(shù)結(jié)合的綜合題也甚為常見，一般以解答題形式出現(xiàn)，難度中等偏高變式練習(xí)4：已知函數(shù)f(x

8、)x2aln x(aR)，(1)若f(x)在x2時(shí)取得極值，求a的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：當(dāng)x1時(shí)，x2ln xx3. 【答案】(1)a4； (2)遞增區(qū)間(，)；遞減區(qū)間為(0，)【解析】(1)f(x)x，因?yàn)閤2是一個(gè)極值點(diǎn)，所以20，則a4.此時(shí)f(x)x，因?yàn)閒(x)的定義域是(0，)，所以當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(2，)，三、課堂練習(xí)1. 等于 ()A B1 C0 D【答案】C【解析】是一個(gè)常數(shù)，0，故選C2.已知函數(shù)f(x)ln x，則下列選項(xiàng)正確的是 ()Af(e)f()f(2. 7) Bf()f(e)f(2. 7)Cf(e)f(2. 7)f() Df(2. 7)f(e)0恒成立，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，2. 7e，f(2. 7)f(e)0. (1)若函數(shù)f(x)沒有極值，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍【答案】見解析8.已知函數(shù)f(x)ax3x2(aR)在x處