1、第一章,解三角形,1.1正弦定理和余弦定理 1.1.2余弦定理(一),學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解余弦定理的證明. 2.初步運用余弦定理及其變形形式解三角形.,1,預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 挑戰(zhàn)自我，點點落實,2,課堂講義 重點難點，個個擊破,3,當(dāng)堂檢測 當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗成功,知識鏈接 1.以下問題可以使用正弦定理求解的是 . (1)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而可求其他的邊和角. (2)已知兩角和一邊，求其他角和邊. (3)已知一個三角形的兩條邊及其夾角，求其他的邊和角. (4)已知一個三角形的三條邊，解三角形.,(1)(2),2.如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，若A(0,0)，B(c,0)，C(bcos

2、A，bsin A).利用兩點間距離公式表示出|BC|，化簡后會得出怎樣的結(jié)論？ 解a2|BC|2(bcos Ac)2(bsin A0)2 b2(sin2Acos2A)2bccos Ac2 b2c22bccos A. 得出a2b2c22bccos A.,預(yù)習(xí)導(dǎo)引 1.余弦定理 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的 減去這兩邊與它們 的余弦的積的 .即 a2， b2， c2.,b2c22bccos A c2a22cacos B a2b22abcos C,平方和,夾角,兩倍,2.余弦定理的變形 cos A， cos B， cos C.,要點一已知兩邊及一角解三角形 例1已知ABC，根據(jù)下列條件解三角形

3、： (1)b3，c3 ，B30；,解方法一由余弦定理b2a2c22accos B， 得32a2(3 )22a3 cos 30， a29a180，得a3或6. 當(dāng)a3時，由于b3，AB30，C120.,當(dāng)a6時，由正弦定理得sin A 1. A90，C60. 方法二由正弦定理得sin C ， 由bc，C60或120， 當(dāng)C60時，A90，由勾股定理a 6， 當(dāng)C120時，A30，ABC為等腰三角形. ab3.,解由余弦定理知b2a2c22accos B.,(2)a ，b ，B45.,0A180，A60，C75.,0A180，A120，C15.,規(guī)律方法已知兩邊及一角解三角形有以下兩種情況： (1

4、)若已知角是其中一邊的對角，有兩種解法，一種方法是利用正弦定理先求角，再求邊；另一種方法是用余弦定理列出關(guān)于另一邊的一元二次方程求解. (2)若已知角是兩邊的夾角，則直接運用余弦定理求出另外一邊，然后根據(jù)邊角關(guān)系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角.,跟蹤演練1在ABC中，已知a5，b3，角C的余弦值是方程5x27x60的根，求第三邊長c.,解5x27x60可化為(5x3)(x2)0. x1 ，x22(舍去). cos C . 根據(jù)余弦定理， c2a2b22abcos C5232253 16. c4，即第三邊長為4.,要點二已知三邊或三邊關(guān)系解三角形 例2(1)已知ABC的三邊長為a2 ，

5、b2 ，c ，求ABC的各角度數(shù).,B45，C180AB75.,解ca，cb，角C最大.由余弦定理， 得c2a2b22abcos C， 即3791624cos C， cos C ， 0C180， C120. ABC的最大內(nèi)角為120.,(2)已知三角形ABC的三邊長為a3，b4，c ，求ABC的最大內(nèi)角.,規(guī)律方法(1)已知三角形三邊求角時，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解時，要根據(jù)邊的大小確定角的大小，防止產(chǎn)生增解或漏解. (2)若已知三角形三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k，從而轉(zhuǎn)化為已知三邊解三角形.,跟蹤演練2在ABC中，已知BC7，AC8，AB9，試求AC

6、邊上的中線長.,解由余弦定理和條件，得 設(shè)中線長為x，由余弦定理，得 x2( )2AB22 ABcos A 4292249 49，x7. 所以所求AC邊上的中線長為7.,要點三三角形形狀的判斷 例3在ABC中，已知cos2 ，判斷ABC的形狀.,解方法一在ABC中，由已知cos2 ，得 cos A . 根據(jù)余弦定理，得 . b2c2a22b2，即a2b2c2. ABC是直角三角形.,方法二在ABC中，設(shè)其外接圓半徑為R，由正弦定理，b2Rsin B，c2Rsin C， cos A ，即sin Bsin Ccos A. B(AC)， sin(AC)sin Ccos A，,sin Acos C0.

7、 A，C都是ABC的內(nèi)角， A0，A.cos C0，C . ABC是直角三角形.,規(guī)律方法(1)方法一是用余弦定理將等式轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系式，方法二是借助于正弦定理，將已知等式轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式.這兩種方法是判斷三角形形狀的常用手段. (2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是邊的二次式，要考慮用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是邊的一次式，則大多用正弦定理；若是以上特征不明顯，則要考慮兩個定理都有可能用.,跟蹤演練3在ABC中，若(accos B)sin B(bccos A)sin A，判斷ABC的形狀.,解方法一由正弦定理及余弦定理知，原等式可化為(ac )b(bc )a，整

8、理得：(a2b2c2)b2(a2b2c2)a2， a2b2c20或a2b2， 故三角形為等腰三角形或直角三角形.,方法二由正弦定理，原等式可化為(sin Asin Ccos B) sin B(sin Bsin Ccos A)sin A， sin Bcos Bsin Acos A，sin 2Bsin 2A， 2B2A或2B2A，AB或AB ， 故ABC為等腰三角形或直角三角形.,1.一個三角形的兩邊長分別為5和3，它們夾角的余弦值是 ，則三角形的另一邊長為() A.52 B.2 C.16 D.4 解析設(shè)另一邊長為x，則x25232253( )52，x2 .,B,1,2,3,4,5,2.在ABC中

9、，a7，b4 ，c ，則ABC的最小角為() 解析abc，C為最小角， 由余弦定理cos C,B,1,2,3,4,5,3.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為() 解析設(shè)頂角為C，l5c，ab2c， 由余弦定理得：cos C,D,1,2,3,4,5,4.在ABC中，已知A60，最大邊長和最小邊長恰好是方程 x27x110的兩根，則第三邊的長為 . 解析設(shè)最大邊為x1，最小邊為x2， 則x1x27，x1x211， 第三邊長,4,1,2,3,4,5,5.在ABC中，sin Asin Bsin C245，判斷三角形的形狀. 解因為abcsin Asin Bsin C245， 所以可令a2k，b4k，c5k(k0).c最大，cos C 所以C為鈍角，從而ABC為鈍角三角形.,1,2,3,4,5,課堂小結(jié) 1.利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題： (1)已知兩邊和夾角或已知三邊能直接利用余弦定理解三角形. (2) 若已知兩邊和一邊的對角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形. 2.當(dāng)所給的條件是邊角混合關(guān)系時，判斷三角形形狀的基本思想是：用正弦定理或余弦定理將所給條件統(tǒng)一為角之間的關(guān)系或邊之間的關(guān)系.若統(tǒng)一為角之間的關(guān)系，再利用三角恒等變形化簡找到角之間的關(guān)系；若統(tǒng)一為邊之間的關(guān)系，再利用代數(shù)方法進行恒等變形、化簡，找到邊之間的關(guān)系.,3.余弦定理與勾股定