1、插值法：原理與應(yīng)用,Zhenhua Song,插值的背景,1. 只有n個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值 希望找到一條通過(guò)這些點(diǎn)的曲線（連續(xù)、光滑） 2. 函數(shù)太麻煩，近似簡(jiǎn)化 找到一個(gè)好計(jì)算的函數(shù)，近似代替 3. 用多項(xiàng)式代替 多項(xiàng)式方便求值、求導(dǎo)、積分等,插值 & 逼近 & 擬合,0. 給定n個(gè)不同的點(diǎn)，構(gòu)造曲線 1. 插值：曲線依次通過(guò)n個(gè)點(diǎn) 2. 逼近：曲線最接近n個(gè)點(diǎn) （接近：在某種意義下） 例：最小二乘法 3. 擬合：插值 + 逼近,泰勒展開(kāi),在某一點(diǎn)x0處展開(kāi) 只在x0處近似性較好 遠(yuǎn)離x0的點(diǎn)誤差較大 需要n個(gè)點(diǎn)近似性較好 插值可以勝任,一次插值,用一次函數(shù)近似表示,二次插值,用二次函數(shù)來(lái)表示,多

2、項(xiàng)式插值 ：示例,給定的n+1個(gè)不同的點(diǎn) 找到一個(gè)n次多項(xiàng)式， 依次通過(guò)這n+1個(gè)點(diǎn) n次多項(xiàng)式必然唯一,多項(xiàng)式插值：唯一性,多項(xiàng)式插值：唯一性,拉格朗日插值,拉格朗日插值：2點(diǎn)情形,基函數(shù)的構(gòu)建：2點(diǎn)情形,基函數(shù)的構(gòu)建：n+1點(diǎn)情形,拉格朗日插值：n+1點(diǎn)情形,拉格朗日插值：誤差估計(jì),拉格朗日插值：示例,Nevile迭代插值,Nevile迭代插值,Nevile迭代插值,牛頓差商插值,牛頓差商插值：系數(shù)確定,牛頓差商插值：系數(shù)確定,牛頓差商插值：公式導(dǎo)出,牛頓差商插值：系數(shù)求解,牛頓差商插值：間距相等,牛頓差商插值：間距相等,牛頓差商插值：反向差商,Hermite插值,拉格朗日插值缺點(diǎn),插值多

3、項(xiàng)式形狀、走向差異較大,Hermite插值 ：優(yōu)勢(shì),Hermite ：一階導(dǎo)數(shù)相同,Hermite：一階導(dǎo)數(shù)相同,Hermite : 一階導(dǎo)數(shù)相同,回憶拉格朗日基函數(shù),Hermite ：其他,三次樣條插值 ：背景,線段連接：粗糙,相鄰兩點(diǎn)用線段連接 形成折線，不夠光滑,三次樣條插值：特性,三次樣條插值：邊界,三次樣條插值：構(gòu)建,三次樣條插值：構(gòu)建,三次樣條插值：應(yīng)用,多項(xiàng)式插值：對(duì)比,參數(shù)曲線,參數(shù)曲線：圖像,三次參數(shù)曲線：定義,三次參數(shù)曲線：構(gòu)造,三次函數(shù)曲線：圖像,Bezier曲線,n+1個(gè)點(diǎn)分成n段， 每一段都是三次參數(shù)曲線 輸入： n+1個(gè)點(diǎn) n段上端點(diǎn)切向量上某一點(diǎn) 輸出： n個(gè)三次多項(xiàng)式，作為Bezier曲線,Bezier曲線：形狀,Bezier曲線：特點(diǎn),改變某一段，不會(huì)對(duì)其他段產(chǎn)生影響 常用于工業(yè)設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)汽車外形 Adob