1、第五章 重心和形心,工程實踐中常常需要計算或測定結(jié)構(gòu)物重心的位置，而求物體重心的問題，實質(zhì)上就是求平行力系的合力問題。,任一物體都由無數(shù)個微元體組成，這些微元體的體積小至可看成是質(zhì)點。任一微元體所受重力（即地球的吸引力）Pi ，其作用點的坐標(biāo)xi、yi、zi與微元體的位置坐標(biāo)相同。所有這些重力構(gòu)成一個匯交于地心的匯交力系。由于地球半徑遠大于地面上物體的尺寸，這個力系可看作一同向的平行力系，其合力即為物體的重量，而此力系的中心則為物體的重心。,5-1 重心和形心的坐標(biāo)公式,1. 重心坐標(biāo)的一般公式,右圖是一個空間力系，則,P=Pi,合力的作用線通過物體的重心，由合力矩定理,即,于是有,同理有,為

2、確定 zC ，將坐標(biāo)系連同物體繞y軸轉(zhuǎn)90 ，使重力與 x軸平行，得,2. 均質(zhì)物體的重心坐標(biāo)公式,這時物體容重g 是常量，則,于是有,上式也就是求物體形心位置的公式。即對于均質(zhì)的物體，其重心與形心的位置是重合的。,3. 均質(zhì)等厚薄板的重心和平面圖形的形心,對于均質(zhì)等厚的薄板，如取平分其厚度的對稱平面為xy平面，則其重心的一個坐標(biāo)zC 等于零。設(shè)板厚為d ，則 有,V =Ad， Vi = Aid,則,上式也即為求平面圖形形心的公式。,5-2 確定重心和形心位置的具體方法,（1）積分法； （2）組合法； （3）懸掛法； （4）稱重法。,具體方法：,1. 積分法,對于任何形狀的物體或平面圖形，均可

3、用下述演變而來的積分形式的式子確定重心或形心的具體位置。對于均質(zhì)物體，則有,若為平面圖形，則,例5-1 用積分法求下列平面圖形的形心位置。,解：建立如圖所示坐標(biāo)系，則,xC= 0,現(xiàn)求 yC 。,則,代入公式有,下面通過例子來說明。,例5-1 角鋼截面的尺寸如圖所示，試求其形心位置。,解：取Oxy坐標(biāo)系如圖(b)所示，將角鋼分割成兩個矩形，則其面積和形心為：,由組合法，得到,將截面看成是從200mm150mm的矩形中挖去圖中的小矩形（虛線部分）而得到，從而,x1= 75 mm,y1= 100 mm,A2= -180130 = -23400 mm2,故,兩種方法的結(jié)果相同。,x2= 85 mm,y2= 110 mm,3. 懸掛法,以薄板為例，只要將薄板任意兩點A和B依次懸掛，畫出通過A和B兩點的鉛垂線，兩條鉛垂線的交點即為重心C的位置，如圖。想一想，為啥？,4. 稱重法,對較笨重的物體，如汽車，其重心測定常采用這種方法。,圖示機床重2500 N，現(xiàn)擬用“稱重法”確定其重心坐標(biāo)。為此，在B處放一墊子，在A處放一秤。當(dāng)機床水平放置時，A處秤上讀數(shù)為1750N，當(dāng)=20 時秤上的讀數(shù)為1500 N。試算出機床重心的坐標(biāo) 。,思考題5-1,邊長為a的均質(zhì)等厚正方形板 ABCD，被截去等腰三角形AEB。試求點E的極限位置 ymax以保證剩余部分AEBD