1、高三高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練數(shù)列通項公式的求法01一、構(gòu)造構(gòu)造輔助數(shù)列1、遞推公式滿足型當(dāng)為常數(shù) 思路：利用待定系數(shù)法，將化為的形式，從而構(gòu)造新數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列。（待定系數(shù)法，構(gòu)造等比數(shù)列） 例1：數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。 解： 故由得，即，得新數(shù)列是以 為首項，以2為公比的等比數(shù)列，即通項。當(dāng)為類一次函數(shù) 思路：利用待定系數(shù)法，構(gòu)造數(shù)列，使其為等比數(shù)列； 例2：已知數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項公式。 設(shè)，解得，求得。當(dāng)為類指數(shù)函數(shù)思路：觀察的形式，如果的底數(shù)與的系數(shù)相同時，則把兩邊同時除以，從而構(gòu)造出一個等差數(shù)列；如果的底數(shù)與的系數(shù)不相同時，可以利用待定系數(shù)法構(gòu)造一個等比

2、數(shù)列，其具體構(gòu)造方法有兩種，詳見例4題。 例3：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以1為首項，以為公差的等差數(shù)列，得，所以數(shù)列的通項公式為。 例4：已知數(shù)列滿足，（），求數(shù)列的通項公式。 解法1：設(shè)從而。 解法2：由知，令，則 ，從而。 例5：在數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。 解：原遞推式可化為：， 比較系數(shù)得，式即是：。 則數(shù)列是一個等比數(shù)列，其首項，公比是2。 ，即。補充練習(xí)：1、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：是以為首項，2為公比的等比數(shù)列。，即。2、已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。解：在兩邊乘以得：令，則，解之得：，所以。3、已知，當(dāng)時，求數(shù)列的通項公式。解：

3、設(shè)，解得： 是以3為首項，為公比的等比數(shù)列；。4、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè).，比較系數(shù)得，則數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。5、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)，比較系數(shù)得，故數(shù)列為以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。6、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。注：若中不含常數(shù)1時，則直接構(gòu)造等差數(shù)列即可，但含常數(shù)1時則需累加。解：兩邊除以，得，則，故因此，則7、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè).，比較系數(shù)得，故數(shù)列是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，因此。8、在數(shù)列中，其中。求數(shù)列的通項公式。解：由，可得，所以數(shù)列是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列，故，所以

4、數(shù)列的通項公式為。2、遞推公式滿足、等型或其交叉相乘的整式形式思路：遞推公式滿足型，取倒數(shù)，構(gòu)造數(shù)列，使其為等差數(shù)列。遞推公式滿足型或型，構(gòu)造數(shù)列，使其為等比數(shù)列。例6：已知數(shù)列中，由這個數(shù)列的第項為（ C ）A、 B、 C、 D、例7：已知數(shù)列滿足，求證：是等差數(shù)列，并求的通項公式。解：，即數(shù)列是首項為1，公差為3的等差數(shù)列；。例8：在數(shù)列中，已知，求數(shù)列的通項公式。解：由可知，對，；，即，又。數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列， 。補充練習(xí)：1、已知數(shù)列中，其中，且當(dāng)時，求數(shù)列的通項公式。解：將兩邊取倒數(shù)得：，這說明是一個等差數(shù)列，首項是，公差為2，所以，即。2、已知數(shù)列，求數(shù)列的通項公式。解

5、：，即，則。3、數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。解：，設(shè)，.，。數(shù)列通項公式的求法02二、累加累乘1、遞推公式滿足：型或（）型思路：利用累加法，將，=，.，=，各式相加，正負(fù)抵消，得，即；用求和符號可以表示為：。例1：在數(shù)列中，且，求數(shù)列的通項公式。解：依題意得，把以上各式相加，得；用求和符號可以表示為：，即，上式對于也成立，所以，。例2：在數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。解：原遞推式可化為：，則.，逐項相加得：，故；用求和符號表示為：，即，上式對于也成立，所以，。例3：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：，即，上式對于也成立，所以，。補充練習(xí)：1、已知數(shù)列滿足，（），則數(shù)列的通項公式為 。2、已知數(shù)列滿

6、足，（），則數(shù)列的通項公式為 。3、已知數(shù)列滿足，（），則數(shù)列的通項公式為 。4、已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為 。答案：1、 2、 3、 4、2、遞推公式滿足：型或（）型思路：利用累乘法，將各式相乘得，得，即，；用累乘符號表示為。例4：在數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。解：由條件等式得，得。評注：此題亦可構(gòu)造特殊的數(shù)列，由得，則數(shù)列是以為首項，以1為公比的等比數(shù)列，得。例5：設(shè)數(shù)列是首項為1的正項數(shù)列，且，則數(shù)列的通項公式是 。解：原遞推式可化為：00，則 ，逐項相乘得：，即。補充練習(xí)：1、若數(shù)列滿足，則數(shù)列通項公式為（ D ） A、 B、 C、 D、2、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為

7、，所以，則，故所以數(shù)列的通項公式為3、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為.所以.用式得則，故；所以.由，則，又知，則，代入得。所以，的通項公式為數(shù)列通項公式的求法03三、特殊方法1、法，即。思路：如果數(shù)列滿足的某種關(guān)系是由數(shù)列的前項和給出時，則可以構(gòu)造出式和式，然后利用公式，將式和式做差，使其轉(zhuǎn)化為數(shù)列的遞推關(guān)系，再根據(jù)遞推關(guān)系的特點，按照構(gòu)造輔助數(shù)列等的方法求出數(shù)列通項公式。例1：已知數(shù)列的前項和滿足。（1）寫出數(shù)列的前3項；（2）求數(shù)列的通項公式。解：（1）由，得。由，得，由，得（2）當(dāng)時，有，即；令，則，與比較得，；是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列；，故。補充練習(xí)：設(shè)數(shù)列的前項的和

8、，。（1）求首項與通項；（2）設(shè)，證明：。解：（1），解得：；所以數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列，所以：；得：，。（2）；所以，。2、對數(shù)變換法思路：將一階遞推公式取對數(shù)得。例2：若數(shù)列中，且（是正整數(shù)），則它的通項公式是 。解：因為，將兩邊取對數(shù)得，即，所以數(shù)列是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，即。補充練習(xí)：已知數(shù)列滿足，（），求數(shù)列的通項公式。解：由可得， 故。3、平方（開方）法例3：若數(shù)列中，2且（），求數(shù)列的通項公式。解：將兩邊平方整理得。數(shù)列是以4為首項，3為公差的等差數(shù)列，。因為，所以。4、求差（商）法例4：若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：當(dāng)時，設(shè)當(dāng)時，得：，綜上，。5、迭代法例5：已知

9、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以又，所以數(shù)列的通項公式為。評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。即先將等式兩邊取常用對數(shù)得，即，再由累乘法可推知，從而。6、換元法例6：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，則，故，代入得，即，因為，故，則，即，可化為，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得。補充練習(xí)：1、已知正數(shù)數(shù)列中，且關(guān)于的方程，有相等的實根。（1）求的值；（2）求證：，。解：（1）由得，又，則。（2）由得 ，。2、已知數(shù)列中，記，若對任意的恒成立，則正整數(shù)的最小值為 。解：由知， ，記，則，所以，關(guān)于單調(diào)遞減，的最大值為，又，則，由題意知，又，故的最小值為10。3、（漢諾塔問題）傳說在古代印度的貝拿勒斯圣廟里，安放了一塊黃銅板，板上插了三根寶石柱，在其中一根寶石柱上，自上而下按由小到大的順序串有64個金盤。要求將左邊柱子上的64個金盤按照下面的規(guī)則移到右邊的柱子上。試問一共移動了多少次？規(guī)則：一次只能移一個盤子；盤子只能在三個柱子上存放；任何時候大盤不能放在小盤上面。解：若當(dāng)上有個