1、二次曲線的性質(zhì)及應(yīng)用-研究性學(xué)習(xí)報(bào)告山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2008級(jí)23班 劉謙益 傅明睿 陳霖指導(dǎo)教師：王學(xué)紅摘要二次曲線與我們的生活密切相關(guān)，它們的性質(zhì)在生產(chǎn)、生活中被廣泛應(yīng)用。本小組成員在此次研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中對(duì)二次曲線的性質(zhì)進(jìn)行了一系列探討，從二次曲線的定義入手，就二次曲線的方程、光學(xué)性質(zhì)及應(yīng)用等方面展開說明。AbstractConics are closely related to our living. Their characters have been widely applied in the producing and our living. The members of our t

2、eam carried out a series of discussions with the characters of the conics at the research-based learning activities. Starting with the definition of conics, we illuminated with the equation, the optical properties and the application areas of the conics.二次曲線的性質(zhì)及應(yīng)用-研究性學(xué)習(xí)報(bào)告山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2008級(jí)23班 劉謙益 傅明睿 陳霖指導(dǎo)

3、教師：王學(xué)紅一、緒論在我們的生活中，二次曲線無處不在。車輪滾滾，留下一路紅塵；烈日炎炎，照亮亙古乾坤。這些都給我們留下圓的形象。構(gòu)筑了五彩世界的圓，就是最簡(jiǎn)單的二次曲線x2+y2=r2從橢圓方程說起當(dāng)我們?cè)诩埳厢攦蓚€(gè)圖釘，（它們的間距為2c），將一根長(zhǎng)為l的繩子分別各系在一個(gè)圖釘上，用筆繃緊繩子繞一圈，就畫出了一個(gè)橢圓因?yàn)闄E圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和相等，而且不難得出這個(gè)橢圓長(zhǎng)軸a= ,短軸b= ,我們把它放在直角坐標(biāo)系中，設(shè)F1（c,0），F(xiàn)2（-c,0），可知橢圓上任意一點(diǎn)p(x,y)滿足PF1+PF2=l=2a。因此： + =1，當(dāng)a=b時(shí)方程為圓方程。類似的，我們也有雙曲線就是到間距

4、為2c的兩交點(diǎn)距離之差為定值2a的點(diǎn)構(gòu)成的曲線方程為 ，如圖這里 是雙曲線的虛軸長(zhǎng)。我們不難發(fā)現(xiàn)，橢圓和雙曲線的方程都能寫成 的形式（A、C至少有一個(gè)為正）。以前我們所熟悉的拋物線 y=kx2，也是一種二次曲線，它們都是開口向上或開口向下的，這里我們把它踢倒，讓它歪90，就得到開口向左或向右的拋物線 y2=2px（如圖就是一個(gè)開口向右的拋物線，但它不是一個(gè)函數(shù)圖像）。二、二次曲線與二元二次方程2.1 二次曲線與二元二次方程的關(guān)系二元一次方程表示一次曲線直線，那么二元二次方程表示什么呢？有人會(huì)說，一定表示二次曲線嘍！我們不妨試一試。我們把圓M： 經(jīng)過平移，得到把它展開后，與一般二元二次方程： A

5、x2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0進(jìn)行對(duì)照，會(huì)發(fā)現(xiàn)它的限制條件太多了：首先B必須為0，而且A和C必須相等，且不為0，因?yàn)樵匠陶归_后無xy項(xiàng)，且x2和以y2項(xiàng)系數(shù)都為1，無論乘以幾都相等，滿足這些還不行，D2+E2-4AF 必須是正的，否則方程會(huì)無解或有唯一解，也就是說方程不表示任何圖形，或只表示一個(gè)點(diǎn)（當(dāng)然“點(diǎn)圓”模型在處理實(shí)際問題時(shí)也是有用的）因此，一般二元二次方程絕不可能只表示圓。我們把剛才得到的二次曲線表達(dá)式進(jìn)行平移改寫，橢圓、雙曲線 變成 ；拋物線 變成 、 y=kx2變成 ，把它們展開得到一些方程，都是二元二次方程，但不是xy項(xiàng)系數(shù)B等于0，就是x2 項(xiàng)系數(shù)A或 y2項(xiàng)系數(shù)C

6、為0，因此一般二元二次方程也不是只表示上述二次曲線平移后所得的圖形。二元二次方程還有一個(gè)重要的東西準(zhǔn)線。對(duì)于橢圓 和雙曲線 ，我們作直線l1：, l2： ，不難發(fā)現(xiàn)橢圓和雙曲線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到所作的與焦點(diǎn)同側(cè)的直線距離之比e都相等，且都等于 ，這時(shí) l1 和l2 就是橢圓和雙曲線的準(zhǔn)線，e成為離心率。對(duì)于拋物線 也易證拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn) F 的距離和準(zhǔn)線 l： 的距離相等，即e=1。這樣就有了準(zhǔn)線和離心率的定義。這樣所有的二次曲線都能表示成為到定點(diǎn)F和定直線 距離之比等于e的所有點(diǎn)構(gòu)成的曲線。對(duì)于橢圓，0e1。焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和離心率都確定了，二次曲線就確定了（圓除外，規(guī)定圓e=0,無

7、準(zhǔn)線，焦點(diǎn)位于圓心）。再去看討論過的二次曲線，不難發(fā)現(xiàn)它們的準(zhǔn)線都與坐標(biāo)軸垂直，這就限制了二次方程系數(shù)的取值。我們將二次曲線的準(zhǔn)線，焦點(diǎn)和離心率都取任意值，再試著去求二次曲線的方程：設(shè)二次曲線準(zhǔn)線l：px+qy+s=0，焦點(diǎn)F（m，n），離心率為e。對(duì)于二次曲線上的任意一點(diǎn)P（x，y），PF的長(zhǎng)與P到直線l的距離之比都是e。因此： 展開，整理得：它的A,B,C的值都不一定為0.因此它是一般二元二次方程的形式。因此：一般二元二次方程在有無數(shù)多組解時(shí)，表示二次曲線。以下需要說明的是：試著計(jì)算一下B2-4AC，可以發(fā)現(xiàn)： B2-4AC=4(pqe2)2-(e2-1)p2-q2(e2-1)2q2-p2

8、 =4(2e2p2q2-2p2q2+e2p4+e2q4-p4-q4) =4(p2+q2)2(e2-1) 由于(p2+q2)2一定為正，因此 B2-4AC0時(shí)，e1，方程表示雙曲線 B2-4AC=0時(shí)，e=1，方程表示拋物線 B2-4AC0時(shí)，e0時(shí)，將它配成( m1x+n1y+t1)(m2x+n2y+t2)=k 的形式，則雙曲線漸近線為m1x+n1y+t1=0 , m2x+n2y+t2=0。雙曲線上任意一點(diǎn)到兩漸近線距離乘積為 ，當(dāng)k=0時(shí)，曲線退化成兩條相交直線m1x+n1y+t1=0 , m2x+n2y+t2=0。2.4 橢圓方程的部分性質(zhì)我們作x軸的平行線，去截橢圓Ax2+Bxy+Cy2

9、+Dx+Ey+F=0,那么直線和橢圓可能有兩個(gè)，一個(gè)或沒有公共點(diǎn)。將橢圓方程看做關(guān)于x的方程： Ax2+(By+D)x+(Cy2+Ey+F)=0 =(By+D)2-4A (Cy2+Ey+F) =(B2-4AC)y2+(2BD-4AE)y+(D2-4AF) 由于B2-4AC0時(shí)，方程表示橢圓2=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)。 20時(shí)，方程無解，不表示任何圖形。由橢圓的對(duì)稱性還可得出：當(dāng)y的取值介于y的最大值和最小值之間時(shí)，該平行于x軸的直線過橢圓中心， 即橢圓中心的橫縱坐標(biāo)使的值最大。因此橢圓中心縱坐標(biāo)： 由于方程中x和y是齊次對(duì)稱，因此將x和y的系數(shù)對(duì)換，即可得橢圓中心的橫坐標(biāo)：其實(shí)，雙曲線的中心也可

10、以用這個(gè)公式求出。2.5 小結(jié)至此，我們可以把二元二次方程 表示的圖形做一個(gè)小結(jié)了：當(dāng)時(shí)： A） 20，方程有無數(shù)多組解，表示圓或橢圓。當(dāng)B2-4AC=0時(shí)： a）能配成(mx+ny+t1)(mx+ny+t2)=0時(shí)，表示兩平行直線mx+ny+t1=0和mx+ny+t2=0 b)能配成(mx+ny+t)2=0時(shí)，表示兩重合直線mx+ny+t=0 c)不能配成上述兩種形式時(shí)，將它配成(mx+ny+t)2-k(nx-my+p)=0,方程表示以mx+ny+t=0為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)切線為nx-my+p=0,焦距為的拋物線。拋物線開口由k的符號(hào)確定。當(dāng)B2-4AC0時(shí)：將它配成(m1x+n1y+t1) (m

11、2x+n2y+t2)=k a)k=0時(shí)，表示兩相交直線m1x+n1y+t1=0和m2x+n2y+t2=0 b)k不等于0時(shí)，表示以m1x+n1y+t1=0和m2x+n2y+t2=0為漸近線的雙曲線，雙曲線的位置分別由k的符號(hào)和大小決定。三、二次曲線的光學(xué)性質(zhì)我們把汽車的鏡前燈砸開，會(huì)發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)拋物面。那么拋物線等二次曲線有什么光學(xué)性質(zhì)呢？3.1 拋物線的光學(xué)性質(zhì)如圖，設(shè)拋物線焦距為f，焦點(diǎn)F（f，0）。那么易得拋物線方程為y2=4fx。設(shè)從焦點(diǎn)F發(fā)出的光線與拋物線交于P（ ，2m），不妨設(shè)m0，則yP= 。由導(dǎo)數(shù)公式算出P處切線斜率根據(jù)光的反射定律，反射面切線平分入射光線與反射光線的夾角。當(dāng)

12、PF斜率不存在時(shí)，P（f，2f），P處切線斜率為1，因此反射光線斜率為0，即反射光線平行于x軸。當(dāng)PF斜率存在時(shí)，（設(shè)為k1），則因?yàn)橐虼?，即PF仰角為P處切線仰角的兩倍，因此反射光線PQ與x軸平行。因此二次曲線的一條重要光學(xué)性質(zhì)：從拋物線焦點(diǎn)處發(fā)出的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線平行于拋物線主光軸。由于光路可逆，因此：平行于拋物線的主光軸光線經(jīng)過拋物線反射后，反射光線所在的直線會(huì)聚于焦點(diǎn)。根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，可以制作拋物線形狀的鏡子凹面鏡和凸面鏡。如圖，當(dāng)物體A、B位于主光軸附近時(shí)，可近似的認(rèn)為PO垂直于OA.而 ， ，因此 因此面鏡成像與透鏡有相似的性質(zhì)：（v0為虛像，凹面鏡f0）。（u：物距

13、，v：像距）。 凸面鏡與凹透鏡相似，總能形成正立、縮小的虛像（因?yàn)閒0）；凹面鏡成像與凸透鏡相似，當(dāng)uf時(shí)呈正立、放大的虛像，當(dāng)u=f時(shí)不成像，fu2f時(shí)成倒立、縮小的實(shí)像。拋物線的光學(xué)性質(zhì)非常有用，前面提到的汽車前燈，就是將燈泡裝在拋物面的焦點(diǎn)處，用平行光線照亮路面。太陽能熱水灶的原理就是利用巨大的拋物面聚集日光來加熱水。將光線通過紅寶石激光器可得激光，這通常需要大量紅寶石，而如果用凹面鏡把光線聚集起來，則可大大減少紅寶石的用量。公元前215年，當(dāng)羅馬的戰(zhàn)船逼近敘拉古城的時(shí)候，阿基米德從容地指揮島上的居民用鏡子排成一個(gè)巨大的拋物線，把反射的陽光聚在敵軍的船帆上，不一會(huì)兒敵人就全被燒成烤鴨了。

14、科學(xué)，是最厲害的武器。3.2 橢圓、雙曲線的光學(xué)性質(zhì)拋物線，有奇特的光學(xué)性質(zhì)，同樣橢圓、雙曲線也有一些光學(xué)性質(zhì)：從橢圓或雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射的光線，經(jīng)反射后，反射光線所在的直線過另一焦點(diǎn)如圖，設(shè)雙曲線方程為 ，取它x軸以上的部分，則它是一個(gè)函數(shù)圖像 ，焦點(diǎn) ,取雙曲線上任意一點(diǎn)P（P不在y軸上），設(shè) P(m,n) ，則P點(diǎn)處切線斜率：PF1斜率:PF2斜率：因此可以求出PF1與PF2仰角之和（設(shè)為）的正切值：也可以求出P 點(diǎn)處切線仰角 的二倍角的正切值：因此 ，即因此P點(diǎn)處切線平分PF1與PF2的夾角，即從一個(gè)焦點(diǎn)處發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后，反射光線所在直線過另一焦點(diǎn)。同樣也能證明：從橢圓一個(gè)

15、焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過另一焦點(diǎn)。四、極坐標(biāo)系下的二次曲線4.1 拋物線的極坐標(biāo)方程我們將拋物線的焦點(diǎn)作為原點(diǎn)O，以開口方向?yàn)閤軸，則解析式為 ,即y2-2px-p2=0轉(zhuǎn)化到極坐標(biāo)下，y= ，x= ,.則： ， 取加號(hào)，化簡(jiǎn)得 由式還可推出拋物線過交點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式：4.2 橢圓，雙曲線的極坐標(biāo)方程由 ,即可得，中心在極點(diǎn)、準(zhǔn)線與極軸垂直的橢圓方程為 雙曲線方程為我們?cè)囍鴮E圓左焦點(diǎn)移至原點(diǎn)，則 ，由于b2=a2-c2, ,因此：化簡(jiǎn)得： 由于 ,化簡(jiǎn)得 表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離p，因此：同理，也可推出雙曲線也能寫成 的形式。因此，焦點(diǎn)在極點(diǎn)、準(zhǔn)線垂直于極軸且到極點(diǎn)距離為p的二次曲線極

16、坐標(biāo)方程為 。 五、有關(guān)二次曲線的補(bǔ)充內(nèi)容以上就是我們主要研究的內(nèi)容，我把從資料上獲得的內(nèi)容寫在下面，作為補(bǔ)充。5.1二次曲線的參數(shù)方程橢圓參數(shù)方程：由 得：當(dāng) 時(shí)： ，因此橢圓參數(shù)方程為 ，平移后有（ 為參數(shù)）。拋物線參數(shù)方程：由y2=2px得：y=2pt時(shí)：x=2pt2 因此 （t為參數(shù)）為拋物線參數(shù)方程。雙曲線參數(shù)方程：由 得：當(dāng) 時(shí)： 因此雙曲線參數(shù)方程為：平移后得：5.2 常見二次曲線系同圓系一樣，具有某一共同性質(zhì)的二次曲線也能用二次曲線系表示，以下是常見的幾種二次曲線系 （ ， 表示參數(shù)， ）1.當(dāng)三角形三邊方程為 （i=1，2，3）時(shí)，過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的二次曲線系為 2.當(dāng)四邊形

17、四條邊方程順次為 （i=1，2，3，4） 時(shí)，過四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的二次曲線系為 3.切已知兩直線 f1=0, f2=0,于已知點(diǎn)M，N 的二次曲線系為 f3=0為過M，N 的直線方程4.過兩直線f1=0, f2=0,與二次曲線F(x,y)=0的四個(gè)交點(diǎn)的二次曲線系： 5.過兩二次曲線F1(x,y)=0, F2(x,y)=0 的交點(diǎn)的二次曲線系（F2(x,y)=0 除外）：6.共交點(diǎn)有心二次曲線（橢圓和雙曲線）系： 其中半焦距7.共頂點(diǎn)二次曲線系： 8.共離心率橢圓系： 9.共漸近線（共離心率）雙曲線系： 六、二次曲線性質(zhì)的應(yīng)用二次曲線的性質(zhì)，具有非常廣泛的應(yīng)用。例如：我們非常熟悉的“對(duì)勾函數(shù)”

18、稍微變形一下就成了： ，是二元二次方程, 因此它的圖像為雙曲線。至于它的增減區(qū)間、值域等問題，一求導(dǎo)數(shù) 全部OK。二次曲線的性質(zhì)還可以用來解決一些看似與它本身毫不相關(guān)的問題。例如：統(tǒng)計(jì)學(xué)中經(jīng)常要處理一些散點(diǎn)數(shù)據(jù) 為了畫出一條直線 y=ax+b ，使這些點(diǎn)盡量分布在這條直線附近，即使 最小，設(shè) ，則 將Q看成關(guān)于a,b的方程，則它是一個(gè)二元二次方程，由二次曲線的性質(zhì)很容易得出當(dāng)AC同號(hào)時(shí)位于二次曲線中心處的點(diǎn)的坐標(biāo)使 Q 取得最值，這里為最小值，因此使Q 最小的a,b值即為著名的最小二乘法。當(dāng)然二次曲線性質(zhì)的應(yīng)用還有n項(xiàng)，這里也不可能一一列舉Thats all，thanks致謝：指導(dǎo)教師：王學(xué)紅老師以及幫助我們的楊睿智等08級(jí)23班全體同胞參考資料：百度知道：/奧數(shù)教程 研究性學(xué)習(xí)心得通過此次研究性學(xué)習(xí)，我們體會(huì)了學(xué)習(xí)的辛苦，也深入體會(huì)了探討的樂趣，感受到知識(shí)的無窮魅力，對(duì)數(shù)學(xué)這門學(xué)科有