1、高 二 數(shù) 學(xué)（第27講）【教學(xué)內(nèi)容】第十章 排列 組合 和概率 10.1 排列要求：1、學(xué)習(xí)掌握兩個(gè)基本原理，排列、排列數(shù)等基本概念，熟練運(yùn)用這些基本概念解題； 2、掌握解排列題的思想方法，適當(dāng)?shù)胤诸悺⒎植?、?gòu)造恰當(dāng)?shù)慕夥ń鉀Q問(wèn)題?！緦W(xué)習(xí)指導(dǎo)】1、掌握排列的概念：定義：從n個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)元素中每次取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。 根據(jù)排列的定義，兩個(gè)從n個(gè)元素里取出m個(gè)元素的排列，如果它們所含的元素不同，或者雖含相同的元素，而元素排列的順序不同，那么這兩個(gè)排列是不同的。2、掌握排列數(shù)公式：（1）排列數(shù)定義：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所

2、有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記作A。（2）排列數(shù)公式：A=n(n-1)(n-2)(n-m+1)，這里m, nN*，并且mn，當(dāng)m=n時(shí)，有故 ，此公式的作用：當(dāng)對(duì)含有字母的排列數(shù)的式子進(jìn)行變形和論證時(shí)，常寫成這種形式去溝通。為了論證排列數(shù)公式，我們要學(xué)習(xí)兩條基本原理：（1）分類計(jì)數(shù)原理（也叫加法原理）：完成一件事，有n類相互獨(dú)立的辦法，在第1類辦法中有m1種不同方法，在第2類辦法中有m2種不同方法，在第n類辦法中有mn種不同方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+mn種不同的方法。（2）分步計(jì)數(shù)原理（宜稱乘法原理）：完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同

3、方法，做第2步有m2種不同方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1m2mn種不同的方法。（3）對(duì)于重復(fù)排列的問(wèn)題通常采用逐步分析法及乘法原理解決；對(duì)于無(wú)限制的排列問(wèn)題應(yīng)用排列數(shù)公式直接求得；對(duì)于有限制條件的排列問(wèn)題，應(yīng)弄清楚限制條件是什么。此類題通常有正向思維與逆向思維兩種思路，正向思維時(shí)，設(shè)法將復(fù)雜問(wèn)題分解化。解題方法有：特殊數(shù)字法；特殊位置法；捆綁法；插空法等。逆向思維時(shí)一般采用求補(bǔ)集的方法解決?！镜湫屠}】例1：由1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字能夠組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？能夠組成多少個(gè)三位數(shù)？解：從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)分別排在百位、十位、個(gè)位上

4、有：（個(gè)）能組成60個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?？煞秩酵瓿?，第一步從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)排在百位有種不同的排法；由于允許重復(fù)，所以第二步排十位也有種不同的排法；第三步排個(gè)位也有種不同的排法，由分步計(jì)數(shù)原理有：（個(gè)）能夠組成125個(gè)三位數(shù)。例2：由0，1，2，3這四個(gè)數(shù)字能夠組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解法一：因?yàn)樵谝粋€(gè)三位數(shù)中，百位數(shù)字不能排0，所以可分兩步來(lái)解：第一步從1，2，3這三個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)排在百位有種不同的排法；第二步再?gòu)挠嘞碌娜齻€(gè)數(shù)中任選兩個(gè)分別排在十位與個(gè)位有種不同的排法；由乘法原理可得：總數(shù)：解法二：由于0不能排在百位，則此問(wèn)題可分為兩類：第一類是不含0，則可

5、組成個(gè)不同的三位數(shù)；第二類是含0，先把0排在十位或個(gè)位上，有種不同的排法，再?gòu)?，2，3中任選兩個(gè)排在剩余的兩位置上有種不同的排法，那么含0的三位數(shù)有個(gè)，由加法原理可得：總數(shù)=6+12=18（個(gè)）。解法三：先求出0排在首位的三個(gè)不重復(fù)數(shù)的三位數(shù)有個(gè)，然后從所求不重復(fù)三位數(shù)字的排列數(shù)中將它減去，有：（個(gè)）例3：六人站成一排，其中甲必須排在排頭，乙必須排在排尾的排法有多少種？解：首先把甲排在排頭，乙排在排尾，僅有一排法，再把其余的四名同學(xué)全排在中間的四個(gè)位置上有種不同的排法，則總數(shù)有N=1，（種）。例4：三本不同的化學(xué)書，四本不同的數(shù)學(xué)書在書架上排成一排，不使同類書分開的排法有多少種？解：由于不使

6、同類書分開，則把三本不同的化學(xué)書捆在一起，四本不同的數(shù)學(xué)書捆在一起，使七本不同書轉(zhuǎn)化為兩捆不同的書的排列有種不同的排法，再把三本不同的化學(xué)書在它們相鄰的位置全排列有種不同的排法，由乘法原理得：總數(shù)（種）。例5：四名籃球運(yùn)動(dòng)員和三名足球運(yùn)動(dòng)員站成一排，任何兩名足球運(yùn)動(dòng)員都不站在一去的站法有（） A、(4!)2B、4!3!C、A4D、答：D解：四名籃球運(yùn)動(dòng)員站成一排的方法有4!種方法，而站好的四名籃球運(yùn)動(dòng)員之間有5個(gè)空隙，要使這3個(gè)足球運(yùn)動(dòng)員中任何兩人都不站在一起，這要他們?cè)谶@5個(gè)空隙中任選3個(gè)即可，所以總的排法有種。例6：從1，2，3，4，9，18這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)分別作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底

7、數(shù)和真數(shù)，得到不同的對(duì)數(shù)值有多少個(gè)？解：先從1，2，3，4，9，18這六個(gè)數(shù)字任取兩個(gè)數(shù)字排在對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)之位有種排法；1作底數(shù)，2，3，4，9，18中任取一個(gè)作真數(shù)，使對(duì)數(shù)無(wú)意義的排法有個(gè)。從2，3，4，9，18中任取一個(gè)作底數(shù)，1作真數(shù)有個(gè)對(duì)數(shù)值均為零的對(duì)數(shù)。又因?yàn)?，所以又有兩?duì)數(shù)值重復(fù)。由補(bǔ)集知，滿足條件的不同對(duì)數(shù)值有：（個(gè)）例7：由0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成不重復(fù)的五位數(shù)中，從小到大排列，42031是第幾個(gè)數(shù)？（） A、11B、85C、86D、96分析：此題相當(dāng)于由0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成不重復(fù)的五位數(shù)中，比42031小的數(shù)有多少個(gè)。但需加1，可采用“逐位分析法”。解

8、：此題可分三類完成：第一類從1，2，3這三個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)排在首位這樣的數(shù)一定比42031小，其首位有種不同的排法，再由余下的四個(gè)數(shù)在剩余的四個(gè)位置全排列有種不同的排法，則第一類有=72個(gè)，第二類是首位排4，千位排0或1的數(shù)一定比42031小，這樣的數(shù)有，第三類只有一個(gè)數(shù)42013，由加法原理得：，所以42031是第86個(gè)數(shù)，故選C。注：比42031小的數(shù)有85個(gè)，但從小到大的順序排列42031應(yīng)是第86個(gè)數(shù)。例8：三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排：（1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？（2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？（3）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？（

9、4）如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？分析：（1）問(wèn)中女生必須全排在一起，可采用“捆綁法”。（2）問(wèn)中女生必須全分開，可采用插空法。解：（1）因?yàn)槿齻€(gè)女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一整體，這樣同五個(gè)男生合在一起共有六個(gè)元素，排成一排有種不同的排法，對(duì)于其中的每一種排法，三個(gè)女生之間都有種不同的排法，因此共有：（種）（2）要保證女生分開，可先把五個(gè)男生排好，每?jī)蓚€(gè)相鄰的男生之間留出一個(gè)空檔，這樣共有4個(gè)空檔，加上兩邊兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置，共有六個(gè)位置，再把三個(gè)女生插入這六個(gè)位置中，只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生就保證任意兩個(gè)女生都不相鄰。由于五個(gè)男生排成一排有種不同排法，對(duì)

10、于其中任意一種排法，從上述六個(gè)位置中選出來(lái)三個(gè)讓三個(gè)女生插入都有種方法，因此共有=14400種不同的排法。（3）解法一：因?yàn)閮啥硕疾荒芘排?，所以兩端只能挑選5個(gè)男生中的2個(gè)，有種不同的排法，對(duì)于其中的任意一種排法，其余6位都有種不同排法，所以共有=14400（種）不同的排法。解法二：3個(gè)女生和5個(gè)男生共有種不同的排法，從中扣除女生排在首位的種排法和女生排在末位的種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生在首位的情況時(shí)被扣去一次，在扣除女生排在末位時(shí)又被扣去一次，所以還需加一次回來(lái)，由于兩端都是女生有種不同的排法，所以共有（種）不同的排法。解法三：從中間6個(gè)位置中挑選出3個(gè)來(lái)讓3個(gè)女生排入有種

11、不同的排法，對(duì)于其中的任意一種排法，其余5個(gè)位置都有種不同的排法，所以有=14400（種）不同的排法。（4）解法一：因?yàn)橹灰髢啥瞬欢寂排匀绻孜慌帕四猩?，則末位就不再受條件限制了，這樣可有種排法；如果首位排女生，則有種排法，這時(shí)末位就只能排男生了有種排法，首末兩端任意排定一種情況后，其余6位都有種不同排法，這樣有種不同的排法，因此共有+=36000（種）不同排法。解法二：三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排有種不同的排法，從中扣去兩端都是女生的排法，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)。因此，共有-=36000（種）不同的排法。注：解題時(shí)，一個(gè)問(wèn)題可能有多種思考方法，但結(jié)果總是唯一的，可以采用這個(gè)

12、方法來(lái)驗(yàn)證解題結(jié)論的正確性，另一方面，平時(shí)解題，注意一題多解，力爭(zhēng)中尋找到最優(yōu)方法，注意到題目之間的聯(lián)系，另外本題第（3）問(wèn)中的“都不能”與第（4）問(wèn)中的“不都能”是截然不同的，在審題時(shí)特別注意，不能因混淆不清而出錯(cuò)。例9：同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來(lái)，然后每人從中拿一張不是自己的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方法有多少種。分析：本題抽象成數(shù)學(xué)模型，相當(dāng)于將數(shù)字1，2，3，4填入1，2，3，4的方格里，且每格所填入的數(shù)字與其標(biāo)號(hào)不同的填法有多少種。解：由上面的分析所建立的數(shù)學(xué)模型，1號(hào)方格里可以填2，3，4，有三種填法，1號(hào)方格取定，再填與1號(hào)方格內(nèi)數(shù)字相同的號(hào)位，它有三種填法，其余的兩

13、號(hào)位就只能有一種填法，由乘法原理得：四張賀年卡不同的分配方式有331=9（種）注：本題是一個(gè)帶有限制條件的排列應(yīng)用題，應(yīng)用乘法原理，分步解決。當(dāng)解答受阻時(shí)，在題目給定元素較少時(shí)，可以通過(guò)列舉、樹圖、填方格等方法，將具體元素排一排，放一放，使問(wèn)題獲得解決。【同步練習(xí)】1、將3封信投入6個(gè)信箱內(nèi)不同的投法有（） A、120種B、216種C、729種D、以上皆錯(cuò)2、六人站成一排，甲、乙、丙三人不能都站在一起的排法種數(shù)為（） A、B、C、-D、3、將4名同學(xué)錄取到3所大學(xué)，每所大學(xué)至少要錄取一名，一共有多少種不同的錄取方法（） A、72B、36C、24D、124、用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成

14、沒(méi)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)，并將這些偶數(shù)從小到大排列起來(lái)，第71個(gè)數(shù)是（） A、3140B、3254C、3012D、34105、六人站成一排，甲、乙、丙三人中任何兩人都不站在一起的排列數(shù)為（） A、B、C、D、6、若直線方程Ax+By=0的系數(shù)A、B可以從0，1，2，3，6，7六個(gè)數(shù)值中取不同的數(shù)值，則這些方程所表示的直線條數(shù)是：（） A、B、C、+2D、7、6人站成一排，甲、乙、丙三人必須站在一起的排列總數(shù)為：（） A、3B、3C、D、8、從a,b,c,d,e這5個(gè)元素中任取4個(gè)排成一列，b不排在第二的不同排法有（ ） A、B、C、D、9、要排一個(gè)有4次數(shù)學(xué)講座和4次語(yǔ)文講座的講課安排表，任何兩次

15、數(shù)學(xué)講座和語(yǔ)文講座均不得相鄰，不同的排法有（） A、B、C、D、210、從1，2，3，5，7這五個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，得不同的對(duì)數(shù)個(gè)數(shù)為（） A、B、+1C、+4D、-411、從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，比1234大的數(shù)共有個(gè)。12、在7名運(yùn)動(dòng)員中選出4名運(yùn)動(dòng)員組成接力隊(duì)，參加4200米接力賽，那么甲、乙兩人都不跑中間兩棒的安排方法共有種。13、六名同學(xué)排成一排，甲不站排頭，乙不站排尾的排法有種。14、用數(shù)字0，1，2，3，4，5能夠組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且是25的倍數(shù)的四位數(shù)。15、一排長(zhǎng)椅共有10個(gè)座位，現(xiàn)有4人坐，恰好有5個(gè)連續(xù)空位的坐法種數(shù)為

16、。16、設(shè)x-1，5，6，7，y2，3，4，-9（1）P(x,y)可以表示多少個(gè)不同的點(diǎn)？（2）這些點(diǎn)中，位于第三或第四象限內(nèi)的有幾個(gè)？17、分別在三張卡片正反面寫成1與2，3與4，5與6，且6可以作9用，這三張卡片拼在一起表示一個(gè)三位數(shù)，那么有多少個(gè)這樣的三位數(shù)？【參考答案】1、B2、C3、B4、A5、B6、B7、D8、D9、D10、B提示：1、利用乘法原理： 2、采用“求補(bǔ)集法”六個(gè)人站成一排的全來(lái)列，減去甲、乙、丙三人站在一起的排法。 3、 4、1排首位的沒(méi)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有 2排首位的沒(méi)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有 3排首位，0排百位的沒(méi)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有 3排首位，1排百位的沒(méi)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有 36+24+6+9=7571 第71個(gè)數(shù)是3140，選A。 5、采用“插空法”，先排其余的3人，甲、乙、丙三人插入空檔應(yīng)選B。 6、-4+2=18，其中A=1，B=3與A=2，B=6表示同一直線，這樣重復(fù)了四次，最后A=0時(shí)僅得1條，B=0時(shí)，也得1條，應(yīng)選A。 7、采用“捆綁法”，把甲、乙、丙看作一整體，應(yīng)選D。 8、第二的位置有種不同排法，其余三個(gè)位置則有種不同的排法，由乘法原理故選D。 9、“插空法”只是數(shù)學(xué)和語(yǔ)文講座只能這樣相隔：0000或0000 10、仿照例6 11、 12、中間兩棒的