1、12.3離散型隨機(jī)變量及其分布考綱解讀考點(diǎn)考綱內(nèi)容要求浙江省五年高考統(tǒng)計(jì)201320142015201620171.離散型隨機(jī)變量及其分布列1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念,了解分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.2.理解兩點(diǎn)分布和超幾何分布的意義,并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.理解19(1),7分8,2分2.離散型隨機(jī)變量的均值與方差理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念,能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差,并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.理解19(2),7分9,5分12,4分8,2分分析解讀1.隨機(jī)變量及其分布是概率統(tǒng)計(jì)部分的重要內(nèi)容,是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí),也是高考的熱點(diǎn).2.主要考

2、查隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及運(yùn)算求解能力.3.考查一般以解答題形式出現(xiàn),以隨機(jī)變量分布列為載體,綜合計(jì)數(shù)原理、古典概型、等可能事件等考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及運(yùn)算求解能力.4.預(yù)計(jì)2019年高考試題中,對(duì)隨機(jī)變量及其分布的考查必不可少.五年高考考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量及其分布列1.(2017課標(biāo)全國(guó)理,13,5分)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則DX=.答案1.962.(2013浙江,19,14分)設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球,b個(gè)黃球,c個(gè)藍(lán)球,且規(guī)定:取出一個(gè)紅球得1分,取出一個(gè)黃球得2分,取出一個(gè)藍(lán)球得3分.(1)當(dāng)a=3

3、,b=2,c=1時(shí),從該袋子中任取(有放回,且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球,記隨機(jī)變量為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和,求的分布列;(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球,記隨機(jī)變量為取出此球所得分?jǐn)?shù).若E=,D=,求abc.解析(1)由題意得=2,3,4,5,6.故P(=2)=,P(=3)=,P(=4)=,P(=5)=,P(=6)=.所以的分布列為23456P(2)由題意知的分布列為123P所以E()=+=,D()=+=,化簡(jiǎn)得解得a=3c,b=2c,故abc=321.3.(2017課標(biāo)全國(guó)理,18,12分)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的

4、酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元).當(dāng)六月份

5、這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?解析本題考查隨機(jī)變量的分布列,數(shù)學(xué)期望.(1)由題意知,X所有可能取值為200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知P(X=200)=0.2,P(X=300)=0.4,P(X=500)=0.4.因此X的分布列為X200300500P0.20.40.4(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500瓶,至少為200瓶,因此只需考慮200n500.當(dāng)300n500時(shí),若最高氣溫不低于25,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫位于區(qū)間20,25),則Y=6300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高氣溫低于20,則Y=6200+2(

6、n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n0.4+(1200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n.當(dāng)200n10000)=0.5+0.2=0.7,由二項(xiàng)分布,3天中至少有1天最大獲利超過(guò)10000元的概率為p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973.10.(2015陜西,19,12分)設(shè)某校新、老校區(qū)之間開(kāi)車單程所需時(shí)間為T,T只與道路暢通狀況有關(guān),對(duì)其容量為100的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下:T(分鐘)25303540頻數(shù)(次)20304010(1)求T的分布列與數(shù)學(xué)期望ET;(2)劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā),前往新校區(qū)作一個(gè)50分鐘的講座,結(jié)束后立即返回老校區(qū),求劉

7、教授從離開(kāi)老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過(guò)120分鐘的概率.解析(1)由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得T的頻率分布為T(分鐘)25303540頻率0.20.30.40.1以頻率估計(jì)概率得T的分布列為T25303540P0.20.30.40.1從而ET=250.2+300.3+350.4+400.1=32(分鐘).(2)設(shè)T1,T2分別表示往、返所需時(shí)間,T1,T2的取值相互獨(dú)立,且與T的分布列相同.設(shè)事件A表示“劉教授共用時(shí)間不超過(guò)120分鐘”,由于講座時(shí)間為50分鐘,所以事件A對(duì)應(yīng)于“劉教授在路途中的時(shí)間不超過(guò)70分鐘”.解法一:P(A)=P(T1+T270)=P(T1=25,T245)+P(T1=30,T2

8、40)+P(T1=35,T235)+P(T1=40,T230)=0.21+0.31+0.40.9+0.10.5=0.91.解法二:P()=P(T1+T270)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.40.1+0.10.4+0.10.1=0.09.故P(A)=1-P()=0.91.11.(2014天津,16,13分)某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué),4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中,3名同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)院,其余7名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué),到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同).(1

9、)求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率;(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同的學(xué)院”為事件A,則P(A)=.所以選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同的學(xué)院的概率為.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以隨機(jī)變量X的分布列是X0123P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0+1+2+3=.12.(2014江西,21,14分)隨機(jī)將1,2,2n(nN*,n2)這2n個(gè)連續(xù)正整數(shù)分成A,B兩組,每組n個(gè)數(shù).A組最小數(shù)為a1,最大數(shù)為a2;B組最小數(shù)為b1,最大數(shù)為b2.記=a2-

10、a1,=b2-b1.(1)當(dāng)n=3時(shí),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)令C表示事件“與的取值恰好相等”,求事件C發(fā)生的概率P(C);(3)對(duì)(2)中的事件C,表示C的對(duì)立事件,判斷P(C)和P()的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由.解析(1)當(dāng)n=3時(shí),的所有可能取值為2,3,4,5.將6個(gè)正整數(shù)平均分成A,B兩組,不同的分組方法共有=20種,所以的分布列為2345PE=2+3+4+5=.(2)和恰好相等的所有可能取值為n-1,n,n+1,2n-2.又和恰好相等且等于n-1時(shí),不同的分組方法有2種;和恰好相等且等于n時(shí),不同的分組方法有2種;和恰好相等且等于n+k(k=1,2,n-2)(n3)時(shí),不同的分組方

11、法有2種,所以當(dāng)n=2時(shí),P(C)=,當(dāng)n3時(shí),P(C)=.(3)由(2)知當(dāng)n=2時(shí),P()=,因此P(C)P(),而當(dāng)n3時(shí),P(C)P().理由如下:P(C)P()等價(jià)于42+.用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明:1當(dāng)n=3時(shí),式左邊=4(2+)=4(2+2)=16,式右邊=20,所以式成立.2假設(shè)n=m(m3)時(shí)式成立,即42+成立,那么,當(dāng)n=m+1時(shí),左邊=42+=42+4+4=+=右邊,即當(dāng)n=m+1時(shí)式也成立.綜合1,2得,對(duì)于n3的所有正整數(shù),都有P(C)P()成立.13.(2014湖北,20,12分)計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站.過(guò)去50年的水文資料顯示,水庫(kù)年入流量X(年

12、入流量:一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和,單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過(guò)120的年份有35年,超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.(1)求未來(lái)4年中,至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率;(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制,并有如下關(guān)系:年入流量X40X120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,則該臺(tái)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元;若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行,則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元.欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)?解析(1)依題意

13、,p1=P(40X120)=0.1.由二項(xiàng)分布知,在未來(lái)4年中至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率為p=(1-p3)4+(1-p3)3p3=+4=0.9477.(2)記水電站年總利潤(rùn)為Y(單位:萬(wàn)元).(i)安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.由于水庫(kù)年入流量總大于40,故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y=5000,E(Y)=50001=5000.(ii)安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.依題意知,當(dāng)40X80時(shí),一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40X80)=p1=0.2;當(dāng)X80時(shí),兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=50002=10000,因此P(Y=10000)=P(X

14、80)=p2+p3=0.8,由此得Y的分布列如下:Y420010000P0.20.8所以,E(Y)=42000.2+100000.8=8840.(iii)安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.依題意,當(dāng)40X80時(shí),一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000-1600=3400,因此P(Y=3400)=P(40X120時(shí),三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=50003=15000,因此P(Y=15000)=P(X120)=p3=0.1,由此得Y的分布列如下:Y3400920015000P0.20.70.1所以,E(Y)=34000.2+92000.7+150000.1=8620.綜上,欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)

15、2臺(tái).教師用書(shū)專用(1424)14.(2013廣東,4,5分)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=()A.B.2C.D.3答案A15.(2015湖南,18,12分)某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng).每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個(gè)球.在摸出的2個(gè)球中,若都是紅球,則獲一等獎(jiǎng);若只有1個(gè)紅球,則獲二等獎(jiǎng);若沒(méi)有紅球,則不獲獎(jiǎng).(1)求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率;(2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)記事件A1=從甲箱中摸出的

16、1個(gè)球是紅球,A2=從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球,B1=顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng),B2=顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng),C=顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng).由題意,A1與A2相互獨(dú)立,A1與A2互斥,B1與B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.因?yàn)镻(A1)=,P(A2)=,所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=,P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)=P(A1)1-P(A2)+1-P(A1)P(A2)=+=.故所求概率為P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.(2)顧客抽獎(jiǎng)3次可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),由(1)知,

17、顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為,所以XB.于是P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.故X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0+1+2+3=.16.(2014重慶,18,13分)一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片,其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片.(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率;(2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.(注:若三個(gè)數(shù)a,b,c滿足abc,則稱b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù))解析(1)由古典概型中的概率計(jì)算公式知所求概率為P=.(2)X的所有可能值為1,2,3,且

18、P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,故X的分布列為X123P從而E(X)=1+2+3=.17.(2014山東,18,12分)乒乓球臺(tái)面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分,如圖,甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域A,B,乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域C,D,某次測(cè)試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來(lái)球后向乙回球.規(guī)定:回球一次,落點(diǎn)在C上記3分,在D上記1分,其他情況記0分.對(duì)落點(diǎn)在A上的來(lái)球,隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為,在D上的概率為;對(duì)落點(diǎn)在B上的來(lái)球,小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為,在D上的概率為.假設(shè)共有兩次來(lái)球且落在A,B上各一次,小明的兩次回球互不影響.求:(1)小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙

19、上的概率;(2)兩次回球結(jié)束后,小明得分之和的分布列與數(shù)學(xué)期望.解析(1)記Ai為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在A上的來(lái)球回球的得分為i分”(i=0,1,3),則P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1-=.記Bi為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在B上的來(lái)球回球的得分為i分”(i=0,1,3),則P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1-=.記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”.由題意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,由事件的獨(dú)立性和互斥性,得P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)=P(A3)P(B0)+P

20、(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)=+=,所以小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率為.(2)由題意,隨機(jī)變量可能的取值為0,1,2,3,4,6,由事件的獨(dú)立性和互斥性,得P(=0)=P(A0B0)=,P(=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=+=,P(=2)=P(A1B1)=,P(=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=+=,P(=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=+=,P(=6)=P(A3B3)=.可得隨機(jī)變量的分布列為012346P所以數(shù)學(xué)期望E=0+1+2+3+4+6

21、=.18.(2013課標(biāo)全國(guó),19,12分)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn),檢驗(yàn)方案是:先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn),這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n=3,再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn),若都為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn);如果n=4,再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn),若為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn);其他情況下,這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn).假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為,且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立.(1)求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率;(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元,且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn),對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期

22、望.解析(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1,第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件B1,第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2,這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)為事件A,依題意有A=(A1B1)(A2B2),且A1B1與A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=+=.(2)X可能的取值為400,500,800,并且P(X=400)=1-=,P(X=500)=,P(X=800)=.所以X的分布列為X400500800PEX=400+500+800=506.25.19.(2013北

23、京,16,13分)下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖.空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染.某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市,并停留2天.(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率;(2)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(3)由圖判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.(結(jié)論不要求證明)解析設(shè)Ai表示事件“此人于3月i日到達(dá)該市”(i=1,2,13).根據(jù)題意,P(Ai)=,且AiAj=(ij).(1)設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”,則B=A5A8.所以P(B)=P(A5A8)=P(

24、A5)+P(A8)=.(2)由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,且P(X=1)=P(A3A6A7A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=,P(X=2)=P(A1A2A12A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=,P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=.所以X的分布列為X012P故X的期望EX=0+1+2=.(3)從3月5日開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.20.(2013福建,16,13分)某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng),舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案,方案甲的中獎(jiǎng)率為,中獎(jiǎng)可以獲得2分;方案乙的中獎(jiǎng)率為,中獎(jiǎng)可以獲得3分;未中獎(jiǎng)則不得分.每人

25、有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響,晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品.(1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng),小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng),記他們的累計(jì)得分為X,求X3的概率;(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng),問(wèn):他們選擇何種方案抽獎(jiǎng),累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大?解析解法一:(1)由已知得,小明中獎(jiǎng)的概率為,小紅中獎(jiǎng)的概率為,且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響.記“這2人的累計(jì)得分X3”的事件為A,則事件A的對(duì)立事件為“X=5”,因?yàn)镻(X=5)=,所以P(A)=1-P(X=5)=,即這2人的累計(jì)得分X3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X1,都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X2,則這兩人

26、選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1),選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2).由已知可得,X1B,X2B,所以E(X1)=2=,E(X2)=2=,從而E(2X1)=2E(X1)=,E(3X2)=3E(X2)=.因?yàn)镋(2X1)E(3X2),所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí),累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大.解法二:(1)由已知得,小明中獎(jiǎng)的概率為,小紅中獎(jiǎng)的概率為,且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響.記“這2人的累計(jì)得分X3”的事件為A,則事件A包含“X=0”“X=2”“X=3”三個(gè)兩兩互斥的事件,因?yàn)镻(X=0)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=

27、3)=,即這2人的累計(jì)得分X3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為X1,都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為X2,則X1,X2的分布列如下:X1024PX2036P所以E(X1)=0+2+4=,E(X2)=0+3+6=.因?yàn)镋(X1)E(X2),所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí),累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大.21.(2013山東,19,12分)甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外,其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)分別求甲隊(duì)以30,31,32勝利的概率;(2)若比賽結(jié)果為30或31,則勝利方得3分

28、、對(duì)方得0分;若比賽結(jié)果為32,則勝利方得2分、對(duì)方得1分.求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解析(1)記“甲隊(duì)以30勝利”為事件A1,“甲隊(duì)以31勝利”為事件A2,“甲隊(duì)以32勝利”為事件A3,由題意,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立,故P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=.所以,甲隊(duì)以30勝利、以31勝利的概率都為,以32勝利的概率為.(2)設(shè)“乙隊(duì)以32勝利”為事件A4,由題意,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立,所以P(A4)=.由題意,隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0,1,2,3.根據(jù)事件的互斥性得P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=.又P(X=1)=P(A3)=,P(X=2)=P(A4)

29、=,P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=,故X的分布列為X0123P所以EX=0+1+2+3=.22.(2013陜西,19,12分)在一場(chǎng)娛樂(lè)晚會(huì)上,有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱,由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手,其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷,他必選1號(hào),不選2號(hào),另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名.觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒(méi)有偏愛(ài),因此在1至5號(hào)中隨機(jī)選3名歌手.(1)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率;(2)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解析(1)設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號(hào)

30、歌手”,B表示事件“觀眾乙選中3號(hào)歌手”,則P(A)=,P(B)=.事件A與B相互獨(dú)立,觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率為P(A)=P(A)P()=P(A)1-P(B)=.(2)設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號(hào)歌手”,則P(C)=,X可能的取值為0,1,2,3,且取這些值的概率分別為P(X=0)=P()=,P(X=1)=P(A)+P(B)+P(C)=+=,P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=+=,P(X=3)=P(ABC)=,X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望EX=0+1+2+3=.23.(2013江西,18,12分)小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球

31、隊(duì).游戲規(guī)則為:以O(shè)為起點(diǎn),再?gòu)腁1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如圖)這8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量,記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X.若X=0就參加學(xué)校合唱團(tuán),否則就參加學(xué)校排球隊(duì).(1)求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率;(2)求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)從8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)為向量終點(diǎn)的不同取法共有=28種,X=0時(shí),兩向量夾角為直角共有8種情形,所以小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率為P(X=0)=.(2)兩向量數(shù)量積X的所有可能取值為-2,-1,0,1,X=-2時(shí),有2種情形;X=1時(shí),有8種情形;X=-1時(shí),有10種情形.所以X的分布列為X-2-101PEX=(-2)+(-1)+

32、0+1=-.24.(2013遼寧,19,12分)現(xiàn)有10道題,其中6道甲類題,4道乙類題,張同學(xué)從中任取3道題解答.(1)求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率;(2)已知所取的3道題中有2道甲類題,1道乙類題.設(shè)張同學(xué)答對(duì)每道甲類題的概率都是,答對(duì)每道乙類題的概率都是,且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.用X表示張同學(xué)答對(duì)題的個(gè)數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)設(shè)事件A=“張同學(xué)所取的3道題至少有1道乙類題”,則有=“張同學(xué)所取的3道題都是甲類題”.因?yàn)镻()=,所以P(A)=1-P()=.(6分)(2)X所有的可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=;P(X=1)=+=;P(X=2)=+=;P(X=3)

33、=.所以X的分布列為X0123P(10分)所以E(X)=0+1+2+3=2.(12分)考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的均值與方差1.(2017浙江,8,4分)已知隨機(jī)變量i滿足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2.若0p1p2,則()A.E(1)E(2),D(1)D(2)B.E(1)D(2)C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2)答案A2.(2014浙江,9,5分)已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球,乙盒中有m個(gè)紅球和n個(gè)藍(lán)球(m3,n3),從乙盒中隨機(jī)抽取i(i=1,2)個(gè)球放入甲盒中.(a)放入i個(gè)球后,甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為i(i=1,2);(b)放入i個(gè)球后,從甲盒

34、中取1個(gè)球是紅球的概率記為pi(i=1,2).則()A.p1p2,E(1)E(2)B.p1E(2)C.p1p2,E(1)E(2)D.p1p2,E(1)E(2)答案A3.(2014浙江,12,4分)隨機(jī)變量的取值為0,1,2.若P(=0)=,E()=1,則D()=.答案4.(2016四川,12,5分)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí),就說(shuō)這次試驗(yàn)成功,則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是.答案5.(2015天津,16,13分)為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名,其中種子選手3名.從這

35、8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)由已知,有P(A)=.所以,事件A發(fā)生的概率為.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X=k)=(k=1,2,3,4).所以,隨機(jī)變量X的分布列為X1234P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1+2+3+4=.6.(2015福建,16,13分)某銀行規(guī)定,一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤,該銀行卡將被鎖定.小王到該銀行取錢時(shí),發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼,但可以確

36、認(rèn)該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一,小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確,則結(jié)束嘗試;否則繼續(xù)嘗試,直至該銀行卡被鎖定.(1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率;(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A,則P(A)=.(2)依題意得,X所有可能的取值是1,2,3.又P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=1=,所以X的分布列為X123P所以E(X)=1+2+3=.7.(2014福建,18,13分)為回饋顧客,某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),規(guī)定:每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)

37、標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球,球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元,其余3個(gè)均為10元,求:(i)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率;(ii)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元,并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成,或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡,請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì),并說(shuō)明理由.解析(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X元.(i)依題意,得P(X=60)=,即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為6

38、0元的概率為.(ii)依題意,得X的所有可能取值為20,60.P(X=60)=,P(X=20)=,即X的分布列為X2060P0.50.5所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為E(X)=200.5+600.5=40(元).(2)根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算,每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元.所以,先尋找期望為60元的可能方案.對(duì)于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最大值,所以期望不可能為60元;如果選擇(50,50,50,10)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最小值,所以期望也不可能為60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.對(duì)于面值由20元

39、和40元組成的情況,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2.以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析:對(duì)于方案1,即方案(10,10,50,50),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1元,則X1的分布列為X12060100PX1的期望為E(X1)=20+60+100=60,X1的方差為D(X1)=(20-60)2+(60-60)2+(100-60)2=.對(duì)于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2元,則X2的分布列為X2406080PX2的期望為E(X2)=40+60+80=60,X2的方差為D(X2)=(40

40、-60)2+(60-60)2+(80-60)2=.由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望都符合要求,但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1的小,所以應(yīng)該選擇方案2.8.(2014大綱全國(guó),20,12分)設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立.(1)求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率;(2)X表示同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù),求X的數(shù)學(xué)期望.解析記Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設(shè)備,i=0,1,2,B表示事件:甲需使用設(shè)備,C表示事件:丁需使用設(shè)備,D表示事件:同一工作日至少3人需使用設(shè)備.(1)D=A1BC+A2B+A2C,

41、P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=0.52,i=0,1,2,(3分)所以P(D)=P(A1BC+A2B+A2C)=P(A1BC)+P(A2B)+P(A2C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.(6分)(2)X的可能取值為0,1,2,3,4,則P(X=0)=P(A0)=P()P(A0)P()=(1-0.6)0.52(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(BA0+A0C+A1)=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()=0.60.52(1-0.4)+(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2BC)=P(A2)P(B)P(C)=0.520.60.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)數(shù)學(xué)期望EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0.25+20.38+30.25+40.06=2.(12分)9.(2014安徽,17,12分)甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,約定先連勝兩局者直接贏得比賽,若賽完5