1、一元二次方程知識點的總結(jié)知識結(jié)構(gòu)梳理（1）含有 個未知數(shù)。（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是 1、概念（3）是 方程。 （4）一元二次方程的一般形式是 。（1） 法，適用于能化為 的一元。 二次方程一元二次方程（2） 法，即把方程變形為ab=0的形式， 2、解法 （a，b 為兩個因式）, 則a=0或 （3） 法 （4） 法，其中求根公式是 當 時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。（5） 當 時，方程有兩個相等的實數(shù)根。當 時，方程有沒有的實數(shù)根?？捎糜诮饽承┣笾殿} （1） 一元二次方程的應用 （2） （3） 可用于解決實際問題的步驟 （4） （5） （6） 知識點歸類建立一元二次方程模型知識點一 一元二次方程

2、的定義如果一個方程通過移項可以使右邊為0，而左邊只含有一個未知數(shù)的二次多項式，那么這樣的方程叫做一元二次方程。注意：一元二次方程必須同時滿足以下三點：方程是整式方程。它只含有一個未知數(shù)。未知數(shù)的最高次數(shù)是2.同時還要注意在判斷時，需將方程化成一般形式。例 下列關(guān)于的方程，哪些是一元二次方程？；（3）；（4）；（5）知識點二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式為（a，b，c是已知數(shù)，）。其中a，b，c分別叫做二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項。注意：（1）二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)，常數(shù)項都包括它前面的符號。（2）要準確找出一個一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須

3、把它先化為一般形式。 （3）形如不一定是一元二次方程，當且僅當時是一元二次方程。例1 將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。（1）； （2）； （3）例2 已知關(guān)于的方程是一元二次方程時，則 知識點三 一元二次方程的解 使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，如：當時，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。知識點四 建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步驟是：審題、設(shè)未知數(shù)、列方程。注意：（1）審題過程是找出已知量、未知量及等量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)要帶單位；（3）建立一元二次方程模型的關(guān)鍵是依題意找出等量關(guān)系。例 如圖（1），有一個

4、面積為150的長方形雞場，雞場一邊靠墻（墻長18m），另三邊用竹籬笆圍成，若竹籬笆的長為35m，求雞場的長和寬各為多少？雞場（只設(shè)未知數(shù)，列出方程，并將它化成一般形式。）因式分解法、直接開平方法知識點一 因式分解法解一元二次方程如果兩個因式的積等于0，那么這兩個方程中至少有一個等于0，即若pq=0時，則p=0或q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程的右邊化為0；（2）將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積。（3）令每個因式分別為0，得兩個一元一次方程。（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。關(guān)鍵點：（1）要將方程右邊化為0；（2）熟練掌握多項式因式分解的方法，常用方

5、法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。 例 用因式分解法解下列方程：（1）； （2）； （3）。知識點二 直接開平方法解一元二次方程若，則叫做a的平方根，表示為，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。例 用直接開平方法解下列一元二次方程（1）； （2）； （3）知識點三 靈活運用因式分解法和直接開平方法解一元二次方程形如的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接開平方法解。例 運用因式分解法和直接開平方法解下列一元二次方程。（1）； （2）知識點四 用提公因式法解一元二次方程把方程左邊的多項式（方程右邊為0 時）的公因式提出，將多項式

6、寫出因式的乘積形式，然后利用“若pq=0時，則p=0或q=0”來解一元二次方程的方法，稱為提公因式法。如：，將原方程變形為，由此可得出注意：在解方程時，千萬注意不能把方程兩邊都同時除以一個含有未知數(shù)的式子，否則可能丟失原方程的根。知識點五 形如“”的方程的解法。對于形如“”的方程（或通過整理符合其形式的），可將左邊分解因式，方程變形為，則，即。注意：應用這種方法解一元二次方程時，要熟悉“”型方程的特征。例 解下列方程：（1）； （2）配方法知識點一 配方法解一元二次方程時，在方程的左邊加上一次項系數(shù)一半的平方，再減去這個數(shù)，使得含未知數(shù)的項在一個完全平方式里，這種方法叫做配方，配方后就可以用因

7、式分解法或直接開平方法了，這樣解一元二次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解一元二次方程，當對方程的左邊配方時，一定記住在方程的左邊加上一次項系數(shù)的一半的平方后，還要再減去這個數(shù)。例 用配方法解下列方程：（1）； （2）知識點二 用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程的步驟：（1） 在方程的左邊加上一次項系數(shù)的一半的平方，再減去這個數(shù)；（2） 把原方程變?yōu)榈男问?。?） 若，用直接開平方法求出的值，若n0，原方程無解。例 解下列方程：知識點三 用配方法解二次項系數(shù)不是1的一元二次方程當一元二次方程的形式為時，用配方法解一元二次方程的步驟：（1）先把二次項

8、的系數(shù)化為1：方程的左、右兩邊同時除以二項的系數(shù)； (2) 移項：在方程的左邊加上一次項系數(shù)的一半的平方，再減去這個數(shù)，把原方程化為的形式；（3）若，用直接開平方法或因式分解法解變形后的方程。例 用配方法解下列方程：（1）； （2）公式法知識點一 一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式是：用求根公式法解一元二次方程的步驟是：（1）把方程化為的形式，確定的值（注意符號）；（2）求出的值；（3）若，則把及的值代人求根公式，求出。例 用公式法解下列方程（1）； （2）； （3）知識點二 選擇適合的方法解一元二次方程 直接開平方法用于解左邊的含有未知數(shù)的平方式，右邊是一個非負數(shù)或也是一個含未知數(shù)

9、的平方式的方程因式分解要求方程右邊必須是0，左邊能分解因式；公式法是由配方法推導而來的，要比配方法簡單。注意：一元二次方程解法的選擇，應遵循先特殊，再一般，即先考慮能否用直接開平方法或因式分解法，不能用這兩種特殊方法時，再選用公式法，沒有特殊要求，一般不采用配方法，因為配方法解題比較麻煩。例 用適當?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋海?）；（2）；（3）知識點三 一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式 =運用根的判別式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情況：（1） =0方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2） =0方程有兩個相等的實數(shù)根；（3） =0方程沒有實數(shù)根；利用根的判別式判定一元二次方程根

10、的情況的步驟：把所有一元二次方程化為一般形式；確定的值；計算的值；根據(jù)的符號判定方程根的情況。例 不解方程，判斷下列一元二次方程根的情況：（1）；（2）；（3）知識點四 根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根0（2）方程有兩個相等的實數(shù)根=0（3）方程沒有實數(shù)根0注意：逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項系數(shù)不為0這一條件。例 為何值時，方程的根滿足下列情況：（1）有兩個不相等的實數(shù)； （2）有兩個相等的實數(shù)根； （3）沒有實數(shù)根；知識點五 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系若是一元二次方程的兩個根，則有， 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求值常用的轉(zhuǎn)

11、化關(guān)系：（1） （2）（3）；（4）=例 已知方程的兩根為，不解方程，求下列各式的值。（1）； （2）。知識點六 根據(jù)代數(shù)式的關(guān)系列一元二次方程 利用一元二次方程解決有關(guān)代數(shù)式的問題時，要善于用一元二次方程表示題中的數(shù)量關(guān)系（即列出方程），然后將方程整理成一般形式求解，最后作答。例 當取什么值時，代數(shù)式與代數(shù)式的值相等？一元二次方程的應用知識點一 列一元二次方程解應用題的一般步驟（1） 審題，（2）設(shè)未知數(shù)，（3）列方程，（4）解方程，（5）檢驗，（6）作答。關(guān)鍵點：找出題中的等量關(guān)系。知識點二 用一元二次方程解與增長率（或降低率）有關(guān)得到問題增長率問題與降低率問題的數(shù)量關(guān)系及表示法：（1）若

12、基數(shù)為a，增長率為，則一次增長后的值為，兩次增長后的值為；（2）若基數(shù)為a，降低率為，則一次降低后的值為，兩次降低后的值為。例 某農(nóng)場糧食產(chǎn)量在兩年內(nèi)由3000噸增加到3630噸，設(shè)這兩年的年平均增長率為，列出關(guān)于的方程為 知識點三 用一元二次方程解與市場經(jīng)濟有關(guān)的問題與市場經(jīng)濟有關(guān)的問題：如：營銷問題、水電問題、水利問題等。與利潤相關(guān)的常用關(guān)系式有：（1）每件利潤=銷售價-成本價；（2）利潤率=（銷售價進貨價）進貨價100%；（3）銷售額=售價銷售量例 某商店如果將進貨價為8 元的商品每件10元售出，每天可售200件，現(xiàn)在采取提高售價，減少進貨價的方法增加利潤，已知這種商品每漲價0.5元，其

13、銷量減少10件。（1）要使每天獲得700 元，請你幫忙確定售價。（2）當售價定為多少時，能使每天獲得的利潤最多？并求出最大利潤。第二章 一元二次方程（補充）只含有一個未知數(shù)的整式方程，且都可以化為（a、b、c為常數(shù)，a0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。把（a、b、c為常數(shù)，a0）稱為一元二次方程的一般形式，a為二次項系數(shù)；b為一次項系數(shù)；c為常數(shù)項。解一元二次方程的方法：配方法 公式法 （注意在找abc時須先把方程化為一般形式）分解因式法 把方程的一邊變成0，另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）根與系數(shù)的關(guān)系：當b2-4ac0時，方程有兩個不等的實數(shù)根；當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當b2-4ac0時，方程無實數(shù)根。如果一元二次方程的兩根分別為x1、x2，則有：。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的對稱式的值，特別注意以下公式： 其