1、.,立體幾何專(zhuān)題,(1)多面體的截面,多面體的截面在課本 P59例3、P63B1處體現(xiàn)。,.,一、定義及相關(guān)要素 用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個(gè)幾何體的截面此平面與幾何體表面的交集(交線)叫做截線此平面與幾何體的棱的交集(交點(diǎn))叫做截點(diǎn) 二、作多面體截面 1方法(交線法)該作圖關(guān)鍵在于確定截點(diǎn)，有了位于多面體同一表面上的兩個(gè)截點(diǎn)即可連結(jié)成截線，從而求得截面 2作截線與截點(diǎn)的主要根據(jù)有： (1)確定平面的條件 (2)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們相交于過(guò)此點(diǎn)的一條直線 (3)如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi) (4)如果一條直

2、線平行于一個(gè)平面，經(jīng)過(guò)這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行 (5)如果兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面和它們相交，那么兩條交線平行,.,三、作圖題型,1截面經(jīng)過(guò)的三個(gè)已知點(diǎn)分別在多面體的棱上，且其中有兩點(diǎn)在同一個(gè)面的棱上,作圖題1如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分別在AB、BC、DD1上，求作過(guò)E、F、G三點(diǎn)的截面,作法：(1)在底面AC內(nèi)，過(guò)E、F作直線EF分別與DA、DC的延長(zhǎng)線交于L、M (2)在側(cè)面A1D內(nèi)，連結(jié)LG交AA1于K (3)在側(cè)面D1C內(nèi)，連結(jié)GM交CC1于H (4)連結(jié)KE、FH則五邊形EFHFK即為所求的截面,.,作圖題2P、Q、R三點(diǎn)分別在

3、直四棱柱AC1的棱BB1、CC1和DD1上，試畫(huà)出過(guò)P、Q、R三點(diǎn)的截面,作法：(1)連接QP、QR并延長(zhǎng)，分別交CB、CD的延長(zhǎng)線于E、F. (2)連接EF交AB于，交AD于S (3)連接RS、TP。則多邊形PQRST即為所求截面。,.,作圖題3已知P、Q、R分別是四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱CD、DD1和AA1上的點(diǎn)，且QR與AD不平行，求作過(guò)這三點(diǎn)的截面。,作法：(1)連接QP并延長(zhǎng)交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)I。 (2)在平面ABCD內(nèi)連接PI交AB于點(diǎn)M。 (3)連接QP、RM。則四邊形PQRM即為所求。,.,作圖題4如圖，五棱錐PABCDE中，三條側(cè)棱上各有一已知點(diǎn)F、G、H，求作過(guò)F、

4、G、H的截面,作法：(1)將側(cè)面PAB、PBC、PDE伸展得到三棱錐PBST (2)在側(cè)面PBS內(nèi)，連結(jié)并延長(zhǎng)GF，交PS于K (3)在側(cè)面PBT內(nèi)，連結(jié)并延長(zhǎng)GH交PT于L (4)在側(cè)面PST內(nèi)，連結(jié)KL分別交PD、PE于M、N (5)連結(jié)FN、MH則五邊形FGHMN即為所求的截面,.,2截面經(jīng)過(guò)的三個(gè)已知點(diǎn)至少有一點(diǎn)在多面體的面上，其余點(diǎn)在棱上,作圖題5如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F在兩條棱上，G在底面A1C1內(nèi)，求過(guò)E、F、G的截面,作法：(1)過(guò)E、F作輔助面。在面BC1內(nèi)，過(guò)F作FF1BB1，交B1C1于點(diǎn)F1，則面AFF1A1為所作的輔助面 (2)在面AFF1A1內(nèi)

5、，延長(zhǎng)F1A1交FE的延長(zhǎng)線于P (3)在面A1B1C1D1內(nèi)，連接PG交A1B1于M并延長(zhǎng)交B1C1于M。 (4)連結(jié)ME并延長(zhǎng)與BA延長(zhǎng)線交于Q，連接QF交AD于H (5)連結(jié)EH，F(xiàn)N則五邊形EHFNM為所求的截面,.,作圖題6已知直四棱柱AC1，P在面D1DCC1內(nèi)，Q在面A1ADD1內(nèi)，R在棱BB1上，畫(huà)出過(guò)P、Q、R三點(diǎn)的截面。,.,作法：(1)過(guò)P作PPCD于點(diǎn)P，過(guò)Q作Q QAD于Q。 (2)在底面ABCD內(nèi)連接AP、BQ，并交于H。 (3)由平行線QQ、RB作平面QQBR，連接QR。 (4)在平面QQBR內(nèi)過(guò)H作KH面ABCD交QR于K。 (5)由平行線PP、AA1作平面PP

6、AA1，則K必落在面PPAA1內(nèi)。 (6)在面PPAA1內(nèi)，連接PK，并延長(zhǎng)交AA1于M。 (7)在面A1ADD1內(nèi)，連接MQ，并延長(zhǎng)交DD1于S。 (8)在面D1DCC1內(nèi)，連接SP，并延長(zhǎng)交CC1于T。 (9)連接RT、RM。則多邊形SMRT即為所求。,.,3截面經(jīng)過(guò)的三個(gè)已知點(diǎn)中，有兩個(gè)點(diǎn)在同一棱上，第三點(diǎn)在多面體內(nèi),作圖題7試畫(huà)出過(guò)正三棱柱ABCA1B1C1的底邊BC及兩底中心連線OO1中點(diǎn)的截面。,作法：(1)過(guò)A1A和OO1作平面AOO1A1，交BC于D，交B1C1于D1，則D、D1分別為BC、B1C1的中點(diǎn)。 (2)在平面A1AM內(nèi)，作直線DM交上底面A1B1C1于點(diǎn)G。 (3)

7、在平面A1B1C1內(nèi)，過(guò)G作EFB1C1交A1B1于E，交A1C1于F。 (4)連接BE，CF。則多邊形BCFE為所求。,.,作圖題8在側(cè)棱和高的夾角為的正四棱錐中，求作一個(gè)過(guò)底面頂點(diǎn)且與這點(diǎn)所對(duì)側(cè)棱垂直的截面(45)。,作法：(1)在平面SAC中，作AESC于點(diǎn)E。 (2)在底面ABCD內(nèi)過(guò)A作aBD。 (3)延長(zhǎng)CB、CD分別交a于點(diǎn)M、N。 (4)連接EM、EN，分別交SB、SD于點(diǎn)G、H。 (5)連接AG、AH。則多邊形AGEH即為所求。,.,4截面經(jīng)過(guò)的三個(gè)已知點(diǎn)兩兩不在同一面內(nèi)的棱上,作圖題9P、Q、R三點(diǎn)分別在直四棱柱AC1的棱CC1、A1D1和AB上，試畫(huà)出過(guò)P、Q、R三點(diǎn)的截

8、面,.,作法：(1)先過(guò)R、P兩點(diǎn)作輔助平面。過(guò)點(diǎn)R作R1RBB1交A1B1于R1，則面CRR1C1為所作的輔助平面。 (2)在面CRR1C1內(nèi)延長(zhǎng)R1C1，交RP的延長(zhǎng)線于M。 (3)在面A1B1C1D1內(nèi)，連接MQ，交C1D1于點(diǎn)S，延長(zhǎng)MQ交B1A1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T。 (4)連接TR，交AA1于點(diǎn)N，延長(zhǎng)TR交B1B于點(diǎn)K，再連接KP交BC于點(diǎn)L。 (5)連接RL、PS、QN。 則多邊形QNRLPS為所求。,.,注：若已知兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)，只要連接這兩點(diǎn)，就可以得到截面與多面體的一個(gè)面的截線。 若面上只有一個(gè)已知點(diǎn)，應(yīng)設(shè)法在同一平面上再找出第二確定的點(diǎn)。 若兩個(gè)已知點(diǎn)分別在相鄰的面上，應(yīng)找

9、出這兩個(gè)平面的交線與截面的交點(diǎn)。 若兩平行平面中一個(gè)平面與截面有交線，另一個(gè)面上只有一個(gè)已知點(diǎn)，則按平行平面與第三平面相交，那么它們的交線互相平行的性質(zhì)，可得截面與平面的交線。 若有一點(diǎn)在面上而不在棱上，則可通過(guò)作輔助平面轉(zhuǎn)化為棱上的點(diǎn)的問(wèn)題；若已知點(diǎn)在體內(nèi)，則可通過(guò)輔助平面使它轉(zhuǎn)化為面上的點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為棱上的點(diǎn)的問(wèn)題來(lái)解決。,.,立體幾何專(zhuān)題,(2) 空間圖形的作圖,空間圖形的作圖在課本P51A1、 P62A4、 P78A1&2處體現(xiàn)。,.,一、空間幾何作圖的規(guī)則： 1通過(guò)不共線的三點(diǎn)作一平面 2求兩個(gè)可作相交平面的交線 3在一個(gè)可作平面內(nèi)，支持用直尺和圓規(guī)按照平面幾何解決一切作圖題 4任意取

10、一點(diǎn)，在或不在已知直線上，在或不在已知平面上；任意取一直線，通過(guò)或不通過(guò)一已知點(diǎn)，在或不在已知平面內(nèi)；任意取一平面，通過(guò)或不通過(guò)一已知點(diǎn)，通過(guò)或不通過(guò)一已知直線 5求已知球心及半徑的球面 二、解作圖問(wèn)題的步驟： 1分析：假設(shè)求作的圖形已經(jīng)作出了研究已知條件和未知條件間有何可以溝通的關(guān)系或中間條件，從而發(fā)現(xiàn)如何從已知條件通過(guò)中間條件的媒介達(dá)到未知條件 2作法：從分析的結(jié)果，寫(xiě)(說(shuō))出每一個(gè)作圖過(guò)程 3證明：證明所作圖形確實(shí)滿(mǎn)足所設(shè)條件 4討論：研究在怎樣的條件下，解答存在或不存在，以及當(dāng)解答存在時(shí)解的個(gè)數(shù)有多少,.,三、簡(jiǎn)單作圖題,作圖題1求作一平面使其滿(mǎn)足下列條件之一： 1通過(guò)一已知直線及其外

11、一已知點(diǎn)； 2通過(guò)兩已知相交直線； 3通過(guò)兩已知平行直線 作圖題2求已知直線和已知平面的交點(diǎn) 作圖題3求三已知平面的交點(diǎn) 作圖題4通過(guò)已知直線外一已知點(diǎn)，求作一直線使與該直線平行.,.,.,作圖題5(P624)給定兩條異面直線，求作一平面通過(guò)其中一線而平行于另一線,命題：過(guò)兩異面直線中一個(gè)有且只有一平面與另一直線平行。,證明：證明存在性。 設(shè)直線a、b異面。在a上任選取一點(diǎn)A，過(guò)A作bb。相交直線a和b確定一平面，則b。 證明唯一性。 設(shè)點(diǎn)A和直線b確定平面，則b，Ab。假設(shè)過(guò)a還存在平面b，則必有與相交。設(shè)b，則bb，Ab。bb與Ab且Ab相矛盾。故是唯一的。 作圖題5解答唯一存在。,作法：

12、在直線a 上任取一點(diǎn)A，過(guò)直線b與線外一點(diǎn)A作平面M，在平面M內(nèi)作直線cb，過(guò)相交直線a與c作平面N則平面N即為所求,.,作圖題6給定兩條異面直線，過(guò)其一直線各作一平面使兩平面互相平行,命題(P632)：a、b是異面直線，a，a，b，b存在唯一一對(duì)、使。,證明：a、b異面，a，b，由作圖題5的命題知，這樣的面有且只有一個(gè)。要確定它，只需在a上任取一點(diǎn)A作直線bb，則a和b就確定了。 同理，滿(mǎn)足條件的也有且只有一個(gè)。要確定它，只需在b上任取一點(diǎn)B作直線aa，則b和a就確定了。 綜上知、存在且唯一。 又aa，bb，a、b，b、a，。 作圖題6解答唯一存在。,.,作圖題7過(guò)給定平面外一點(diǎn)求作一平面，

13、使平行于該平面,命題：過(guò)平面外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與該平面平行。,證明：設(shè)A是面外一點(diǎn)。在內(nèi)任取兩相交直線a、b，過(guò)A作aa，bb，兩相交直線a、b確定面。存在性證明了。 假設(shè)過(guò)A還存在，則a，b。設(shè)過(guò)A和a的平面為，則與必相交。設(shè)a，則aa，aa，這與Aa且Aa矛盾。故是唯一的。唯一性也證明了。 作圖題7解答唯一存在。,.,作圖題8給定兩直線a、b及一點(diǎn)A，求作一平面使通過(guò)A并平行于a和b,解：1若a、b異面，且A不在通過(guò)其中過(guò)一線而平行于另一線的平面內(nèi)，則問(wèn)題有唯一解答。 2若a、b相交，且A不在a、b所確定的平面內(nèi)，則問(wèn)題有唯一解答。 3若a、b平行，且A既不在a上又不在b上，則問(wèn)題不

14、定，即有無(wú)窮多個(gè)解答。 4其它情形下，問(wèn)題無(wú)解。,作法：在a和A確定的平面內(nèi)過(guò)A作aa，在b和A確定的平面內(nèi)過(guò)A作bb。由a和b確定的平面即為所求。,.,作圖題9求作一直線l使與兩直線a、b相交，并通過(guò)此兩直線以外的一已知點(diǎn)M,解：若a、b共面于 1當(dāng)M時(shí)，有無(wú)窮多個(gè)解答 2當(dāng)M且a、b相交時(shí)，有唯一解答。 3當(dāng)M且ab時(shí)，沒(méi)有解答。 若a、b異面 1當(dāng)M在過(guò)a而平行于b的平面內(nèi)或在過(guò)b而平行于a的平面內(nèi)時(shí)，沒(méi)有解答。 2當(dāng)M既不在過(guò)a而平行于b的平面內(nèi)又不在過(guò)b而平行于a的平面內(nèi)時(shí)，有唯一解答。,.,作圖題10給定兩條異面直線a和b，求作一直線l使與a、b相交，并與第三直線c平行,解：若c、

15、a相交且確定平面 1當(dāng)b時(shí)，無(wú)解。 2當(dāng)與b相交時(shí)，有一解。解為過(guò)b與的交點(diǎn)A作c的平行線。 若c、a異面。設(shè)過(guò)a且平行于c的平面為。 1當(dāng)b時(shí)，無(wú)解。 2當(dāng)與b相交時(shí)，有一解。解為過(guò)b與的交點(diǎn)B作c的平行線。 綜上知，當(dāng)a、b、c平行于同一平面時(shí)，無(wú)解；其它情況下，只有一解。,.,作圖題11給定一平面及一斜線，求作在平面上通過(guò)斜足作一直線，使與斜線成已知銳角,.,作圖題12通過(guò)一定直線求作一平面，使與平面成定角,.,.,作圖題13給定兩條異面直線，求作一直線和它們垂直相交。,解：過(guò)b任意一點(diǎn)M作aa，作過(guò)b和a的平面。 過(guò)a作面交于a0，則a0與b必相交(反證法)。 設(shè)a0bB。在內(nèi)過(guò)B作B

16、Aa0交a于A。 故直線AB即為所求。,.,立體幾何專(zhuān)題,求空間角的基本方法,.,1異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式 已知夾角為的兩異面直線a、b的公垂線段為AA( Aa，Ab)， E、F分別為a、b上的點(diǎn)，且|AA|d，|AE|m，|AF|n，則 _ ,幾個(gè)常用公式,解：設(shè)經(jīng)過(guò)b與a平行的平面為，經(jīng)過(guò)a和AA的平面為，c，則ca因而b、c所成角等于，且AAc又AAb，AA又AA， 在內(nèi)作EGc于G，則EGAA，EG連接FG，則EGFG,.,注：還可用向量法,.,應(yīng)用示例,.,選A,變式：將題中“正方形沿對(duì)角線BD折成直二面角ABDC” 改為“正方形沿對(duì)角線BD折成60二面角ABDC”， 其它不變，

17、又如何？,.,2三余弦公式 已知AO是平面的斜線，為斜足，OB于B，則AB是AO在內(nèi)的射影設(shè)AC是內(nèi)的任一條直線，且BCAC于C設(shè)AO與AB所成角為1，AB與AC所成角為2，AO與AC所成角為 則 _ ,coscos1cos2,.,應(yīng)用示例,.,選C,.,3射影面積公式 已知二面角l的面內(nèi)的平面圖形的面積為S，在面內(nèi)的 射影圖形的面積為S，二面角l的大小為，則_。,下面以進(jìn)行說(shuō)明。,.,一、基本方法,1直接法：先作出平面角，再求其大小,2間接法(公式法)：,異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式 已知夾角為的兩異面直線a、b的公垂線段為AA( Aa，Ab)， E、F分別為a、b上的點(diǎn)，且|AA|d，|AE

18、|m，|AF|n，則 _ ,射影面積法 已知二面角l的面內(nèi)的平面圖形的面積為S，在面內(nèi)的 射影圖形的面積為S，二面角l的大小為，則_。,向量法,求二面角的基本方法,.,示例如圖，在三棱錐ABCD中，AB面BCD，BDCD。 (1)求證：面ABD面ACD； (2)若ABBC2BD，求二面角BACD的正切值。,(1)證明：AB面BCD，ABCD。 又BDCD，ABBDD，CD面ABD。 又CD面ACD，面ABD面ACD。,.,.,二面角的平面角作法二： 作DEBC于E，DFAC于F，連接EF AB面BCD，面ABC面BCD， DE面ABCDEAC AC面EFACEF 則DFE是二面角BACD的平面

19、角。,說(shuō)明：若在討論二面角大小時(shí)，存在與二面角的一個(gè)面垂直而與二面角的另一個(gè)面相交的平面，常先該平面內(nèi)作出兩垂面交線的垂線，然后構(gòu)造出二面角的平面角。,.,.,.,射影作法二： 作DEBC于E，連接AE AB面BCD，面ABC面BCD， DE面ABC ADC在面ABC內(nèi)的射影為AEC,二、作(找)二面角的平面角的基本方法,1定義法 2三垂線法 3垂面法 4轉(zhuǎn)化法,.,1定義法,示例1 在60的二面角a的兩個(gè)面內(nèi)，分別有A和B兩點(diǎn)已知A和B到棱的距離分別為2和4，且線段AB10，試求： (1)直線AB與棱a所構(gòu)成的角的正弦值； (2)直線AB與平面所構(gòu)成的角的正弦值,解析：在平面內(nèi)作ADa； 在

20、平面內(nèi)作BEa，CD EB， 連結(jié)BC、AC則BC DE，CDa， ABC是AB與a所成角，則由二面角的平面角的定義，可知ADC為二面角a的平面角，即ADC60,.,.,.,示例2如圖，四棱錐ABCED中，DB和EC與面ABC垂直，ABC為正三角形 (1)若BCECBD時(shí)，求面ADE與面ABC的夾角； (2)若BCEC2BD時(shí)，求面ADE 與面ABC的夾角,分析：如圖，面ADE與面ABC的交線蛻化成一點(diǎn)，但面ADE與面ABC與面DC相交如果三個(gè)平面兩兩相交，它們可能有三種情況：(1)交線為一點(diǎn)；(2)一條交線；(3)三條交線互相平行在圖1中，兩條交線BC與DE互相平行，所以肯定有過(guò)A且平行于D

21、E的一條交線如圖2，DE與BC不平行且相交根據(jù)三個(gè)平面兩兩相交可能出現(xiàn)的三種情況，這三個(gè)面的交線為一點(diǎn),.,解：CE面ABC，BD面ABC，CEBD。 (1)CEBD，BC DE。過(guò)A作AMDE，平面ADE與平面ABC的交線即為AM過(guò)A作ANDE于N，過(guò)A作AFBC于F ANAM，AFAM， 則NAF為面ADE與面ABC的夾角的平面角,.,(2)EC2BD，延長(zhǎng)ED、CB相交于G點(diǎn)，連結(jié)AG AG即為平面ADE與平面ABC的交線，點(diǎn)B為GC的中點(diǎn)。 在AGC中，ABACBCBG，ACAG。 又CE面ABC，CEAC，CEAG， 即證CAE為平面ADE與平面ABC的夾角的平面角,在RtANF中，

22、ACCE，CAE45。,.,示例3如圖，空間四邊形ABCD中，ABAD3，BCCD4，BD2，AC5試求ABDC二面角的余弦值,說(shuō)明：利用正和等腰中的三線合一找垂直關(guān)系。,.,示例4.如圖，已知空間四邊形ABCD，ABBC6， ADCD4，BD8，AC5試求ABDC的余弦值,說(shuō)明：利用全等找垂直關(guān)系。,.,2三垂線法作(找)出二面角的平面角,示例1如圖，在平面內(nèi)有一條直線AC與平面成30，AC與棱BD成45，求平面與平面的二面角的大小,解：過(guò)A作AFBD于F，AE平面于E， 連結(jié)CE、EF，則ACE是AC與所成角，AEBD，BD面AEF，BDEF， 則AFE為二面角的平面角,.,說(shuō)明： (1)

23、如果兩個(gè)平面相交，有過(guò)一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)與另一個(gè)平面垂直的垂線，可過(guò)這一點(diǎn)向棱作垂線，連結(jié)兩個(gè)垂足應(yīng)用三垂線定理可證明兩個(gè)垂足的連線與棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角 (2)在應(yīng)用三垂線定理尋找二面角的平面角時(shí)，注意“作”、“連”、“證”,.,示例2如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，M為棱AD的中點(diǎn)，求平面B1C1CB和平面BC1M所構(gòu)成的銳二面角的正切,解析：平面AC與二面角MBC1C的 一個(gè)面B1C垂直，與另一個(gè)平面 MBC1相交， 過(guò)M點(diǎn)作MPBC于P，面AC面B1C， MP面B1C，MPBC1， 過(guò)P作PNBC1于N，連結(jié)MN， BC1面MNP，MNBC1， 則MNP為二面角MBC1C 的平面角,.,說(shuō)明：當(dāng)一個(gè)平面與二面角的一個(gè)平面垂直，與另一個(gè)平面相交時(shí)，往往過(guò)這個(gè)面上的一點(diǎn)作這兩個(gè)垂直平面交線的垂線，再過(guò)垂足作二面角棱的垂線根據(jù)三垂線定理即可證明，并找出二面角的平面角,.,3垂面法作(找)出二面角的平面角：作二面角棱的垂面，垂面與二面角的兩個(gè)面的兩條交線所構(gòu)成的角，即為二面角的平面角。