1、1,換元積分法,一、第一類換元法,二、第二類換元法,2,問題的提出: 計算,利用基本積分的公式和性質(zhì)計算不定積分是非,常有限. 本節(jié)介紹不定積分的換元積分法( 簡稱換元,用于不定積分.,利用換元法，可以通過適當?shù)淖兞看?換，把某些不定積分化為積分表中所列的積分形式，,從而可以求出不定積分.,法) . 它的基本思想是把復合函數(shù)的求導法則反過來,3,第二類換元法,第一類換元法,基本思路,設(shè),則有,4,一、第一類換元法,則有換元公式,(也稱配元法,即, 湊微分法),5,常用的幾種湊微分形式,若令,則,(2),6,(3),萬能湊冪法,(4),(5),(6),(7),7,(8),(9),(10),(11

2、),8,(12),(13),(14),(15),9,(16),下面我們通過舉例來說明上述公式的應(yīng)用.,10,例1 求,解 令,則,故,原式 =,注: 當,時,11,例2 求,解,令,則,想到公式,(變量還原),(換元),(直接利用基本積分公式),12,例3 求,想到,解,(直接配元),13,例4 求,解 原式 =,14,例5 求,解,類似,15,例6 求,解, 原式 =,16,例7 求,解 原式 =,例8 求,解 原式 =,17,例9 求,解法1,解法2,兩法結(jié)果一樣,18,例10 求,解法1,19,解法 2,同樣可證,或,20,解 原式 =,例11 求,例12 求,解 原式 =,21,例13

3、 求,解,原式,22,若,均為偶數(shù)，則用公式降階,在,中,拆開奇次項去湊微分.,若,中至少有一個為奇數(shù)，,則用公式,23,例14 求,解,思想方法：降次,24,例15 求,解,原式 =,25,例16 求,解,26,例17 求,解,原式,27,例18 求,解,原式,28,在,中,當,為奇數(shù)時，可把,湊成,湊成,轉(zhuǎn)化為冪函數(shù)的積分.,例19 求,原式,29,有理函數(shù)的積分,有理函數(shù),時,為假分式;,時,為真分式,有理函數(shù),多項式 + 真分式,分解,若干部分分式之和,30,(1) 分母中若有因式 ，則分解后為,真分式化為部分分式之和的一般規(guī)律:,分解后為,分解后為,31,結(jié)論,任一有理函數(shù)的積分總能

4、積出來.,這樣任一真分式都可以化為下列四個類型之和:,32,四種典型部分分式的積分:,變分子為,再分項積分,33,整理得,比較系數(shù),例20 求,解,34, 原式,35,思考與練習,下列各題求積方法有何不同?,36,小結(jié),常用簡化技巧,(1) 分項積分,(2) 降低冪次,(3) 統(tǒng)一函數(shù) 利用三角公式 ; 配元方法;,(4) 巧妙換元或配元.,萬能湊冪法,利用積化和差; 分式分項;,利用倍角公式 , 如,37,二、第二類換元法,第一類換元法解決的問題,難求,易求,若所求積分,易求,則得第二類換元積分法 .,難求，,如對：,38,設(shè),是單調(diào)可導函數(shù) , 且,具有原函數(shù) ,則有換元公式,二、第二類換

5、元法,39,令,令,被積函數(shù)為簡單根式的有理式 , 可通過根式代換,化為有理函數(shù)的積分.,例如:,令,1. 根式代換,40,例21 求,解,令,41,例22 求,解 令,則,原式,42,例 23 求,解 令,則,原式,43,2. 三角代換,目的: 是化掉根式.,一般規(guī)律如下：當被積函數(shù)中含有,可令,可令,可令,采用,三角代換,消去根式 ,積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.,注意:,44,例24 求,解 令,則, 原式,45,例25 求,解,令,46,例26 求,解,令,47,例27 求,令,解,根式代換,三角代換,可令,湊微分,48,原式,例28 求,解 令,為倒代換則,原式,也可令,3. 倒代換,當分母的階較高時, 可采用倒代換,49,例28 求,當 x 0 時, 類似可得同樣結(jié)果 .,也可令,3. 倒代換,當分母的階較高時, 可采用倒代換,50,51,例29 求,解,令,根式代換,52,法1 原式,法2 原式,法3 原式,法4,原式,例30 求,倒代換,53,小結(jié),第二類換元法常見類型:,令,令,令,或,令,令,(7) 分母中因子次數(shù)較高時, 可試用倒代換.,令,54,