1、,四、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補(bǔ)充),二、體積,第二節(jié),一、 平面圖形的面積,三、 平面曲線的弧長(zhǎng),定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,第六章,1,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積,1.直角坐標(biāo)系情形,一、 平面圖形的面積,2,解,兩曲線的交點(diǎn),面積元素,選 為積分變量,3,解,兩曲線的交點(diǎn),選 為積分變量,4,于是所求面積,說(shuō)明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式,問(wèn)題：,積分變量只能選 嗎？,5,解,兩曲線的交點(diǎn),選 為積分變量,6,如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程,曲邊梯形的面積,7,例3. 求橢圓,解: 利用對(duì)稱(chēng)性 ,所圍圖形的面積 .,有,利用橢圓的參數(shù)方程,應(yīng)用定積分換元法得,當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式

2、,8,例4. 求由擺線,的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .,解:,9,2. 極坐標(biāo)情形,求由曲線,及,圍成的曲邊扇形的面積 .,在區(qū)間,上任取小區(qū)間,則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為,所求曲邊扇形的面積為,10,對(duì)應(yīng) 從 0 變,例5. 計(jì)算阿基米德螺線,解:,點(diǎn)擊圖片任意處 播放開(kāi)始或暫停,到2 所圍圖形面積 .,11,解,由對(duì)稱(chēng)性知總面積=4倍第一象限部分面積,12,解,利用對(duì)稱(chēng)性知,13,心形線(外擺線的一種),即,點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn) 動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停,尖點(diǎn):,面積:,弧長(zhǎng):,參數(shù)的幾何意義,14,例. 計(jì)算心形線,與圓,所圍圖形的面積 .,解: 利用對(duì)稱(chēng)性 ,所求面積,15,旋轉(zhuǎn)體

3、就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸,圓柱,圓錐,圓臺(tái),二、體積,1.旋轉(zhuǎn)體的體積,16,旋轉(zhuǎn)體的體積為,17,解,直線 方程為,18,19,例. 計(jì)算由橢圓,所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而,轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.,解: 方法1 利用直角坐標(biāo)方程,則,(利用對(duì)稱(chēng)性),20,方法2 利用橢圓參數(shù)方程,則,特別當(dāng)b = a 時(shí), 就得半徑為a 的球體的體積,21,解,22,星形線,星形線是內(nèi)擺線的一種.,點(diǎn)擊圖片任意處 播放開(kāi)始或暫停,大圓半徑 Ra,小圓半徑,參數(shù)的幾何意義,(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動(dòng),時(shí), 小圓上的定點(diǎn)的軌跡為是內(nèi)擺線),23,24,解,25,26,分

4、部積分,注,(利用“偶倍奇零”),27,補(bǔ)充,利用這個(gè)公式，可知上例中,28,例 求曲線,與 x 軸圍成的封閉圖形,繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.,(94 考研),解: 利用對(duì)稱(chēng)性 ,故旋轉(zhuǎn)體體積為,在第一象限,29,例 設(shè),在 x0 時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù), 且,形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積 ,證明:,證:,利用柱殼法,則,故,30,解,體積元素為,31,2、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積,設(shè)定軸為x軸，所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x),則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間,的體積元素為,因此所求立體體積為,上連續(xù),如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立

5、體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算.,32,解,取坐標(biāo)系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,33,解,取坐標(biāo)系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,34,三、平面曲線弧長(zhǎng),定理: 任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的.,并稱(chēng)此曲線弧為可求長(zhǎng)的.,35,弧長(zhǎng)元素,弧長(zhǎng),1、直角坐標(biāo)情形,36,曲線弧為,弧長(zhǎng),2、參數(shù)方程情形,37,曲線弧為,弧長(zhǎng),3.、極坐標(biāo)情形,38,解,所求弧長(zhǎng)為,39,解,星形線的參數(shù)方程為,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,第一象限部分的弧長(zhǎng),40,例15. 擺線,一拱,的弧長(zhǎng) .,解:,41,解,42,證,43,根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性知,故原結(jié)論成立.,44,解,45,例. 求連續(xù)曲線段,解:,的弧長(zhǎng).,46,

6、解,47,例. 兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量,成懸鏈線 .,求這一段弧長(zhǎng) .,解:,下垂,懸鏈線方程為,48,四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補(bǔ)充),設(shè)平面光滑曲線,求,積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .,取側(cè)面積元素:,49,側(cè)面積元素,的線性主部 .,若光滑曲線由參數(shù)方程,給出,則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的,不是薄片側(cè)面積S 的,注意:,側(cè)面積為,50,例. 計(jì)算圓,x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺(tái)的側(cè)面積 S .,解: 對(duì)曲線弧,應(yīng)用公式得,當(dāng)球臺(tái)高 h2R 時(shí), 得球的表面積公式,51,例. 求由星形線,一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S .,解: 利用

7、對(duì)稱(chēng)性,繞 x 軸旋轉(zhuǎn),52,1. 平面圖形的面積,邊界方程,參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,2. 平面曲線的弧長(zhǎng),曲線方程,參數(shù)方程方程,極坐標(biāo)方程,弧微分:,直角坐標(biāo)方程,上下限按順時(shí)針?lè)较虼_定,直角坐標(biāo)方程,注意: 求弧長(zhǎng)時(shí)積分上下限必須上大下小,五、小結(jié),53,3. 已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積,旋轉(zhuǎn)體的體積,繞 x 軸 :,4. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,側(cè)面積元素為,(注意在不同坐標(biāo)系下 ds 的表達(dá)式),繞 y 軸 :,(柱殼法),54,思考題1,55,思考題1解答,兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo),56,積分得,所以所求曲線為,57,思考題2,解答,交點(diǎn),立體體積,58,思考題3,不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠，

8、必須保證曲線光滑才可求長(zhǎng),解答,59,思考與練習(xí),1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長(zhǎng) s .,提示: 交點(diǎn)為,弧線段部分,直線段部分,以 x 為積分變量 , 則要分,兩段積分,故以 y 為積分變量.,60,2. 試用定積分求圓,繞 x 軸,上,半圓為,下,求體積 :,提示:,方法1 利用對(duì)稱(chēng)性,旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V 及表面積 S .,61,方法2 用柱殼法,說(shuō)明: 上式可變形為,此式反映了環(huán)體微元的另一種取法(如圖所示).,62,求側(cè)面積 :,利用對(duì)稱(chēng)性,上式也可寫(xiě)成,它也反映了環(huán)面微元的另一種取法.,63,練 習(xí) 題1,64,65,66,練習(xí)題1答案,67,練 習(xí) 題2,68,69,70,練習(xí)題2答案,71,練 習(xí) 題3,72,73,練習(xí)題3答案,74,備用題,解：,1. 求曲線,所圍圖形的面積.,顯然,面積為,同理其它.,又,故在區(qū)域,75,分析曲線特點(diǎn),2.,解:,與 x 軸所圍面積,由圖形的對(duì)稱(chēng)性 ,也合于所求., 為何值才能使,與 x 軸圍成的面積等,故,76