1、二次函數(shù)壓軸之矩形問(wèn)題1（2015宜賓）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸分別相交于點(diǎn)A（2，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)P.（1）求拋物線的解析式；（2）動(dòng)點(diǎn)M、N從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別在線段OB、OC上向點(diǎn)B、C方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交BC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)H.當(dāng)四邊形OMHN為矩形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；是否存在這樣的點(diǎn)F，使PFB為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。2（2015成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線yax 22ax3a（a0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l：ykxb與y

2、軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD4AC（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若ACE的面積的最大值為 ，求a的值；（3）設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由xyOABDlC備用圖xyOABDlCE3.（2013衡陽(yáng)）如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），B（0，3）兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是x=1（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段OA上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從M從O點(diǎn)出發(fā)

3、以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段OB上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OMPQ為矩形；AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）2+k，點(diǎn)A（1，0），B（0，3）在拋物線上，解得：a=1，k=4，拋物線的解析式為：y=（x+1）2+4（2）四邊形OMPQ為矩形，OM=PQ，即3t=（t+1）2+4，整理得：t2+5t3=0，解得t=，由于t=0，故舍去，當(dāng)t=秒時(shí)，四邊形OMPQ為矩形；RtAOB中，OA=1，OB=3，tanA=3若AON為等腰三角形，有三

4、種情況：（I）若ON=AN，如答圖1所示：過(guò)點(diǎn)N作NDOA于點(diǎn)D，則D為OA中點(diǎn)，OD=OA=，t=；（II）若ON=OA，如答圖2所示：過(guò)點(diǎn)N作NDOA于點(diǎn)D，設(shè)AD=x，則ND=ADtanA=3x，OD=OAAD=1x，在RtNOD中，由勾股定理得：OD2+ND2=ON2，即（1x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=0（舍去），x=，OD=1x=，t=；（III）若OA=AN，如答圖3所示：過(guò)點(diǎn)N作NDOA于點(diǎn)D，設(shè)AD=x，則ND=ADtanA=3x，在RtAND中，由勾股定理得：ND2+AD2=AN2，即（x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=（舍去），OD=1x=1，t=

5、1綜上所述，當(dāng)t為秒、秒，（1）秒時(shí)，AON為等腰三角形4.（2013常德）如圖，已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（，），對(duì)稱軸為直線x=，點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PMx軸于點(diǎn)M，PNy軸于點(diǎn)N，在四邊形PMON上分別截取PC=MP，MD=OM，OE=ON，NF=NP（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）求證：以C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形CDEF是平行四邊形；（3）在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形CDEF為矩形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（1）解：設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+）2+k，點(diǎn)A（0，3），B（，）在拋物線上，解得：a=1，k

6、=拋物線的解析式為：y=（x+）2=x2+x3（2）證明：如右圖，連接CD、DE、EF、FCPMx軸于點(diǎn)M，PNy軸于點(diǎn)N，四邊形PMON為矩形，PM=ON，PN=OMPC=MP，OE=ON，PC=OE；MD=OM，NF=NP，MD=NF，PF=OD在PCF與OED中，PCFOED（SAS），CF=DE同理可證：CDMFEN，CD=EFCF=DE，CD=EF，四邊形CDEF是平行四邊形（3）解：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形CDEF為矩形設(shè)矩形PMON的邊長(zhǎng)PM=ON=m，PN=OM=n，則PC=m，MC=m，MD=n，PF=n若四邊形CDEF為矩形，則DCF=90，易證PCFMDC，即，化簡(jiǎn)得：m2=n2，m=n，即矩形PMON為正方形點(diǎn)P為拋物線y=x2+x3與坐標(biāo)象限角平分線y=x或y=x的交點(diǎn)聯(lián)立，解得，P1（，），P2（