1、2007 年考研數(shù)學(xué)一真題一、選擇題 （本題共 10 小題，每小題 4 分，滿(mǎn)分 40 分，在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后括號(hào)內(nèi)）（1）當(dāng) x0 時(shí)，與x等價(jià)的無(wú)窮小量是()A. 1e xB. ln1xC.1x1D. 1 cosx1x(2)曲線(xiàn) y=1ln(1ex),漸近線(xiàn)的條數(shù)為()xA.0B.1C.2D.3(3) 如圖，連續(xù)函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間 -3 ，-2， 2，3上的圖形分別是直徑為 1的上、下半圓周，在區(qū)間-2 ， 0，xf (t )dt0， 2的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設(shè)F(x)=.則下列結(jié)論正確的是()0A. F(3)=3 F

2、 (2)B. F(3)=5 F (2)C. F(3)=3 F (2)D. F(3)=5 F (2)4444(4) 設(shè)函數(shù) f （ x）在 x=0 處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是()A. 若 limf ( x) 存在，則 f （ 0） =0B. 若 limf ( x)f (x)存在，則 f （0） =0x0xx0xC. 若 limf ( x)存在，則 f (0) =0D. 若 limf (x)f (x)存在，則 f (0) =0x0xx0x(5) 設(shè)函數(shù) （f x）在（ 0, +）上具有二階導(dǎo)數(shù)， 且 f ( x)o ,令 un =f(n)=1,2, .n,則下列結(jié)論正確的是( )A. 若 u1u2

3、，則 un 必收斂B. 若 u1u2 ，則 un 必發(fā)散C. 若 u1u2 ，則 un 必收斂D.若 u1u2 ，則 un 必發(fā)散(6) 設(shè)曲線(xiàn) L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)） ，過(guò)第象限內(nèi)的點(diǎn)M 和第象限內(nèi)的點(diǎn)N,T 為 L 上從點(diǎn) M 到 N 的一段弧，則下列小于零的是()A.( x, y)dxB.f (x, y)dyC.f ( x, y)dsD.f x (x, y)dxf y ( x, y)dyrrrr（7）設(shè)向量組1，2，3 線(xiàn)形無(wú)關(guān)，則下列向量組線(xiàn)形相關(guān)的是：()（A ）12 ,23 ,31（ B ）12 ,23 ,31（C）12,22,321（

4、D） 122,22 ,3212332111 00（8）設(shè)矩陣 A= 121 ， B=01 011 2000，則 A 于 B()(A)合同，且相似(B) 合同，但不相似(C)不合同，但相似(D) 既不合同，也不相似（9）某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為p 0p1 ，則此人第 4 次射擊恰好第2 次命中目標(biāo)的概率為：()（A ） 3p(1p) 2(B) 6p(1 p)2(C) 3 p2 (1p)2(D) 6 p2 (1p) 2(10) 設(shè)隨即變量（ X ，Y ）服從二維正態(tài)分布，且 X 與 Y 不相關(guān)， fX ( x) ， fY ( y) 分別表示 X ，Y 的概率密度，則在

5、Y y 的條件下，X 的條件概率密度f(wàn)X | Y (x | y) 為 ( )（A ） fX (x)(B)fY ( y)(C)f X ( x) fY ( y)(D)fX (x)fY ( y)二 填空題 ：1116小題，每小題4 分，共24 分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上211_.（11）x3exdx1（12）設(shè) f (u, v) 為二元可微函數(shù)，zf ( x y , yx ) ，則z _.x(13) 二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程y 4 y 3y2e2x 的通解為 y _.(14) 設(shè)曲面： | x | y | z |1，則( x| y |)ds _.0 1 00(15) 設(shè)矩陣 A00 1 0，則

6、 A3 的秩為 _.000 1000 0（16）在區(qū)間（ 0， 1）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值小于1 的概率為 _.2三解答題： 1724小題，共86 分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 .(17) （本題滿(mǎn)分 11分）求函數(shù) f ( x, y)x22y2x2 y2在區(qū)域 D( x, y) x2y24, y 0上的最大值和最小值。(18)(本題滿(mǎn)分 10分 )計(jì)算曲面積分Ixzdydz2xydzdx3xydxdy ,2其中為曲面 z1x2y (0 z 1)的上側(cè) .4(19)(本題是 11分 )設(shè)函數(shù) f ( x), g( x)在 a, b

7、上連續(xù)，在 ( a, b)內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，f (a)g( a), f (b)g(b)證明：存在( a, b)，使得 f ( )g ( ).(20)(本題滿(mǎn)分 10分)設(shè)冪級(jí)數(shù)an xn 在(,內(nèi)收斂，其和函數(shù)y(x)滿(mǎn)足n0)y2xy4 y0, y(0)0, y (0)1(1)證明 an2n21an ,n1,2,L ;(2)求的表達(dá)式 .y( x)本題滿(mǎn)分分)(21)(11x1x2x30設(shè)線(xiàn)性方程組x12x2ax30(1)x14x2a2 x3 0與方程 x12x2x3a1(2)有公共解，求 的值及所有公共解 .a(22)設(shè) 3 階對(duì)稱(chēng)矩陣 A 的特征向量值1 1, 2 2, 32

8、, 1 (1, 1,1)T是 A 的屬于1 的一個(gè)特征向量 ,記 BA54 A3E 其中 E 為 3 階單位矩陣(I ) 驗(yàn)證1 是矩陣 B 的特征向量 ,并求 B 的全部特征值的特征向量；(II ) 求矩陣 B .(23)設(shè)二維變量( x, y) 的概率密度為2xy0x1,0y1f ( x, y)其他0(I ) 求 P X2Y ；(II ) 求 z XY 的概率密度 .(24)設(shè)總體 X 的概率密度為10 x21x 1f ( x, )2(1)0其他X1 , X2 , X n 是來(lái)自總體X 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X 是樣本均值(I ) 求參數(shù)的矩估計(jì)量；(II ) 判斷 4X 2 是否為2 的無(wú)偏估

9、計(jì)量 ,并說(shuō)明理由 .2007 年考研數(shù)學(xué)一真題解析一、選擇題 （本題共 10 小題，每小題 4 分，滿(mǎn)分 40 分，在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后括號(hào)內(nèi)）（2）當(dāng) x0 時(shí)，與x等價(jià)的無(wú)窮小量是(B)A. 1e xB. ln1xC.1x 1D. 1 cosx1x(2)曲線(xiàn) y=1ln(1 ex),漸近線(xiàn)的條數(shù)為(D)xA.0B.1C.2D.3(3) 如圖，連續(xù)函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間 -3 ，-2， 2，3上的圖形分別是直徑為 1的上、下半圓周，在區(qū)間 -2 ， 0，x0， 2的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設(shè)F(x)=f (t )dt.則下列結(jié)論

10、正確的是(C)0A. F(3)=3 F (2)B. F(3)=5 F (2)C. F(3)=3 F (2)D. F(3)=5 F ( 2)4444(4) 設(shè)函數(shù) f （ x）在 x=0 處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是(C)A. 若 limf ( x) 存在，則 f （ 0） =0B. 若 limf ( x)f (x)存在，則 f （0） =0x0xx0xC. 若 limf ( x)存在，則 f (0) =0D. 若 limf (x)f (x)存在，則 f (0) =0x0xx0x(5) 設(shè)函數(shù) f（ x）在（ 0, +）上具有二階導(dǎo)數(shù)， 且 f ( x)o , 令 un =f(n)=1,2, .n,

11、 則下列結(jié)論正確的是 (D)A. 若 u1u2 ，則 un 必收斂B. 若 u1u2 ，則 un 必發(fā)散C. 若 u1u2 ，則 un 必收斂D.若 u1u2 ，則 un 必發(fā)散(6) 設(shè)曲線(xiàn) L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)） ，過(guò)第象限內(nèi)的點(diǎn)M 和第象限內(nèi)的點(diǎn)N,T 為 L 上從點(diǎn) M 到 N 的一段弧，則下列小于零的是(B)A.( x, y)dxB.f (x, y)dyC.f ( x, y)dsD.f x (x, y)dxf y ( x, y)dyrrrr（7）設(shè)向量組1，2 ，3 線(xiàn)形無(wú)關(guān)，則下列向量組線(xiàn)形相關(guān)的是：(A)（A ）12 ,23 ,31（

12、B ）12 ,23 ,31（C）12,22,321（ D）122,22 ,3212332111 00（8）設(shè)矩陣 A= 121 ， B=01 011 2000,則 A 于 B，(B)(A)合同，且相似(B) 合同，但不相似(C)不合同，但相似(D) 既不合同，也不相似（9）某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為p 0p1 ，則此人第 4 次射擊恰好第2 次命中目標(biāo)的概率為：(C)（A ） 3p(1p) 2(B) 6p(1 p)2(C) 3 p2 (1p)2(D) 6 p2 (1p) 2(10) 設(shè)隨即變量（ X ，Y ）服從二維正態(tài)分布，且 X 與 Y 不相關(guān)， fX ( x)

13、， fY ( y) 分別表示 X ，Y 的概率密度，則在 Y y的條件下， X 的條件概率密度f(wàn)X | Y ( x | y) 為(A)（A ） fX (x)(B) fY ( y)(C) f X ( x)fY ( y)fX (x)(D)fY ( y)二 填空題 ：1116 小題，每小題4 分，共24 分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上。21111（11）x3 ex dx 2e2 .1（12）設(shè) f (u, v) 為二元可微函數(shù)，zf ( x y , yx ) ，則z f1 ( xy , yx ) yx y 1y x ln yf 2 ( x y , yx ) .x(13)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程y

14、4 y 3y2e2 x 的通解為 y C1exC 2e3 x2e2x.(14) 設(shè)曲面： | x | y | z |1，則 ( x| y |)ds 433.0 1 0000 1 0，則 A3 的秩為 .(15) 設(shè)矩陣 A00 10000 0（16）在區(qū)間（ 0， 1）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值小于1 的概率為 3.24三、解答題： 1724小題，共86 分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。(17) （本題滿(mǎn)分 11分）求函數(shù) f ( x, y)x22y2x2 y2在區(qū)域 D( x, y) x2y24, y 0上的最大值和最小值。【詳解 】

15、：求駐點(diǎn)f x2xy2xy30(1)f y4 xy2x3 y( x, y) (0,0)( f 0)0或( x, y)(2, 1)( f；2)(2) 考察邊界 y 0，此時(shí)最大值為 4，最小值為 0考察邊界x2y24, y0(3)F ( x, y) x22 y2x2 y2(x2y24)FFF0xyz2x2 xy22x05 , y23 ,14y 2x2 y 2 y 0 x2x2y24222此時(shí)數(shù)值為 74x20, y2，此時(shí)數(shù)值為84x24, y2，此時(shí)數(shù)值為40綜上所述 x0， y2時(shí)，取得為 8最小值 x0，y0取得為 0(18)(本題滿(mǎn)分 10分 )計(jì)算曲面積分Ixzdydz 2xydzdx

16、3xydxdy,其中為曲面 z 1 x2y2(0 z 1)的上側(cè)4【詳解 】2取1為xoy平面上被橢圓 x2y1所圍部分的下側(cè)，4記為由與1圍成的空間閉區(qū)域，則Ixzdydz 2zydzdx3xydxdy1xzdydz2zydzdx3xydxdy1Gauss公式xzdydz2zydzdx3xydxdy( z 3z)dxdydz13zdxdydz31zdxdydz0y2x21 z4而xzdydz 2zydzdx 3xydxdy3xydxdy 0, I.1x2y214(19)(本題是 11分 )設(shè)函數(shù) f ( x), g( x)在 a, b上連續(xù)，在 ( a, b)內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，f

17、 (a)g( a), f (b) g(b)證明：存在( a, b)，使得 f ( ) g( )【詳解 】證明 ：設(shè) f ( x), g ( x) 在 ( a,b) 內(nèi)某點(diǎn) c(a,b) 同時(shí)取得最大值，則f (c) g(c) ，此時(shí)的c 就是所求點(diǎn)使得 f ( )g() .若兩個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不同則有設(shè)f (c)max f ( x), g(d)max g (x)故有f ( c)g(c)0, g( d )f ( d)0 ，由介值定理， 在 (c, d)內(nèi)肯定存在使得 f ()g () 由羅爾定理在區(qū)間(a,),(, b) 內(nèi)分別存在一點(diǎn)1,2 , 使得 f (1 ) f (2 ) 0 在區(qū)間

18、 ( 1 , 2 ) 內(nèi)再用羅爾定理，即存在( a, b)，使得 f ( )g ( )(20)(本題滿(mǎn)分 10分)設(shè)冪級(jí)數(shù)an xn 在(,內(nèi)收斂，其和函數(shù)y(x)滿(mǎn)足)n 0y2xy4 y0, y(0)0, y (0) 1(1)證明 an 2n2 an ,n1,2,L ;1(2)求的表達(dá)式y(tǒng)( x)【詳解 】(1) 將已知條件中 冪級(jí)數(shù)an xn 代入到微分方程中，整理即可得到：n 0an 22an , n1,2,L;n 1(2) 解題如下y(0)0y (0)1an22n1a3a11a52a34a72 a56a92a78a00a11ana2121g12 31g1g12 3 4a4La2n0故

19、an xnxx3n01x2n1n 1 n!本題滿(mǎn)分分)(21)(11x1設(shè)線(xiàn)性方程組x1x1與方程 x12x2 x31 x51 g1 x71 g1g1 x922 32 3 4xx2xex2x3 02x2ax30(1)4x2a2 x30a1(2)有公共解，求 的值及所有公共解a【詳解 】：因?yàn)榉匠探M (1)、 (2)有公共解，即由方程組(1) 、 (2)組成的方程組x1x2x30x12x2ax30(3) 的解 .x14x2a2 x30x12x2x3a11110111002a001a10即距陣4a20001方程組 (3)有解的充要條件為101 2 1 a 10 0 a23a 4 0a1,a2 .當(dāng)

20、 a1 時(shí)，方程組(3) 等價(jià)于方程組(1) 即此時(shí)的公共解為方程組(1) 的解 . 解方程組(1) 的基礎(chǔ)解系為(1,0,1)T 此時(shí)的公共解為：xk,k1,2,L11101110當(dāng) a212200110時(shí) ， 方 程 組 (3) 的 系 數(shù) 距 陣 為440000此 時(shí) 方 程 組 (3) 的 解 為1111110000x10, x2 1, x31 ，即公共解為： k (0,1,1)T(22)設(shè) 3 階對(duì)稱(chēng)矩陣 A的特征向量值11, 22,32,1 (1, 1,1)T是 A 的屬于1 的一個(gè)特征向量 ,記 BA54 A3E 其中 E 為 3 階單位矩陣(I ) 驗(yàn)證 1 是矩陣 B 的特征

21、向量 ,并求 B 的全部特征值的特征向量；(II ) 求矩陣 B .【詳解 】：（）可以很容易驗(yàn)證An11n1 (n1,2,3.) ，于是B 1( A54 A3E) 1( 154 13 1) 12 1于是1 是矩陣 B的特征向量 .B 的特征值可以由A 的特征值以及B 與 A 的關(guān)系得到，即(B)( A)54 ( A)3 1 ，所以 B 的全部特征值為2， 1， 1.前面已經(jīng)求得1 為 B 的屬于 2 的特征值，而A 為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，于是根據(jù) B 與 A 的關(guān)系可以知道B 也是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，于是屬于不同的特征值的特征向量正交，設(shè)B的屬于1 的特征向量為 ( x1 , x2 , x3 )T，所以有方程如下：x1x2x30于是求得 B 的屬于 1 的特征向量為2(1,0,1)T ,3(1,1,0)T111（）令矩陣 P1,2,3101，則 P1 BPdiag (2,1,1)，所以110BP diag ( 2,1,1) P1111111333112101diag ( 2