1、第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望,離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 課堂練習(xí),在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.,然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的. 而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.,因此，在對隨機變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的 .,在這些數(shù)字特征中，最常用的是,數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),一、數(shù)學(xué)期望的概念,即,若級數(shù)發(fā)散 ，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在。,定義2 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(

2、x)，如 果積分 絕對收斂，則稱該積分的值 為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望或者均值，記為EX，即,如果積分 發(fā)散，則稱X的數(shù)學(xué)期 望不存在。,關(guān)于定義的幾點說明,(3) 隨機變量的數(shù)學(xué)期望與一般變量的算 術(shù)平均值不同.,(1) E(X)是一個實數(shù),而非變量,它是一種加 權(quán)平均,與一般的平均值不同 , 它從本質(zhì)上體現(xiàn) 了隨機變量 X 取可能值的真正的平均值, 也稱 均值.,(2) 級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不 隨級數(shù)各項次序的改變而改變 , 之所以這樣要 求是因為數(shù)學(xué)期望是反映隨機變量X 取可能值 的平均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變.,隨機變量 X 的算術(shù)平均值為,假設(shè),它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機變

3、量X 取可能值的平均值.,當(dāng)隨機變量 X 取各個可能值是等概率分布時 , X 的期望值與算術(shù)平均值相等.,試問哪個射手技術(shù)較好?,思考 誰的技術(shù)比較好?,解,故甲射手的技術(shù)比較好.,例4.1 一批產(chǎn)品中有一、二、三等及廢品4種，相 應(yīng)比例分別為60%，20%，13%，7%，若各等級 的產(chǎn)值分別為10元、5.8元、4元及0元，求這批產(chǎn) 品的平均產(chǎn)值。,解 設(shè)一個產(chǎn)品的產(chǎn)值為X元，則X的可能取值 分別為0，4，5.8，10；取這些值的相應(yīng)比例分別為 7%, 13%, 20%, 60%；則它們可以構(gòu)成概率分布， 由數(shù)學(xué)期望的定義求得產(chǎn)品的平均產(chǎn)值為,EX = 40.13 + 5.80.2 + 100

4、.6 = 7.68（元）。,一旅客8:20到車站,求他候車時間的數(shù)學(xué)期望.,例4.2 按規(guī)定,某車站每天8:009:00,9:0010:00 都恰有一輛客車到站,但到站時刻是隨機的,且兩者 到站的時間相互獨立。其規(guī)律為：,例4.3,若將這兩個電子裝置串聯(lián)連接組成整機,求整機,壽命(以小時計) N 的數(shù)學(xué)期望.,的分布函數(shù)為,例4.4商店的銷售策略,解,例4.5 求常見分布的隨機變量數(shù)學(xué)期望。,二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,1. 問題的提出：,設(shè)已知隨機變量X的分布，我們需要計算的不是X的期望，而是X的某個函數(shù)的期望，比如說g(X)的期望. 那么應(yīng)該如何計算呢？,一種方法是，因為g(X)也是隨機變

5、量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來. 一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把Eg(X)計算出來.,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得Eg(X)呢？,下面的定理指出，答案是肯定的.,使用這種方法必須先求出隨機變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的 .,(1) 當(dāng)X為離散型時,它的分布率為P(X= xk)=pk ;,(2) 當(dāng)X為連續(xù)型時,它的密度函數(shù)為f(x).若,定理1 設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù):Y=g(X) (g是連續(xù)函數(shù)),該公式的重要性在于: 當(dāng)我們求Eg(X)時, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 這給求隨機變量函

6、數(shù)的期望帶來很大方便.,定理2 設(shè)g (X,Y) 是隨機變量X、Y的函數(shù)，且 Eg(X)存在。,(2) 如果X、Y是連續(xù)型隨機變量，聯(lián)合概 率密度為f(x,y)，則,(1) 如果X、Y是離散型隨機變量，聯(lián)合概率 分布為pij , i,j=1,2, ，則,解,例4.6 設(shè) ( X , Y ) 的分布律為,例4.7,解,例8,例9 求數(shù)學(xué)期望E(eX)，若 (1)XP(3); (2) XB(n,p); (3) XN(1,4).,例10,例10,例11,解,于是,例12,解,因此所求數(shù)學(xué)期望為,三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),1. 設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;,4. 設(shè)X、Y 相互獨立，則 E(XY)=E(X)

7、E(Y);,2. 若k是常數(shù)，則E(kX)=kE(X);,3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);,（諸Xi相互獨立時）,請注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 獨立,例10 一民航送客車載有20位旅客自機場開出,旅客有10個車站可以下車,如到達一個車站沒有旅客下車就不停車.以X表示停車的次數(shù)，求E(X).(設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨立),四、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用,按題意,本題是將X分解成數(shù)個隨機變量之和,然后利用隨,機變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機變量數(shù)學(xué)期望的和來求,數(shù)學(xué)期望的,此方法具有一定的意義.,五、課堂練習(xí),1 解 設(shè)試開次數(shù)為X,于是,E(X),2 解,Y是隨機變量X的函數(shù),P(X=k)=1/n, k=1, 2, , n,解,從數(shù)字0, 1, 2, , n中任取兩個不同的數(shù)字, 求這兩個數(shù)字之差的絕對值的數(shù)學(xué)期望.,一般的,3,解,4,某銀行開展定期定額有獎儲蓄, 定期一年, 定額60元, 按規(guī)定10000個戶頭中, 頭等獎一個, 獎金