1、標(biāo)準(zhǔn)論文格式一：1、題目。應(yīng)能概括整個(gè)論文最重要的內(nèi)容，言簡(jiǎn)意賅，引人注目，一般不宜超過20個(gè)字。論文摘要和關(guān)鍵詞。2、論文摘要應(yīng)闡述學(xué)位論文的主要觀點(diǎn)。說明本論文的目的、研究方法、成果和結(jié)論。盡可能保留原論文的基本信息，突出論文的創(chuàng)造性成果和新見解。而不應(yīng)是各章節(jié)標(biāo)題的簡(jiǎn)單羅列。摘要以500字左右為宜。 關(guān)鍵詞是能反映論文主旨最關(guān)鍵的詞句，一般3-5個(gè)。3、目錄。既是論文的提綱，也是論文組成部分的小標(biāo)題，應(yīng)標(biāo)注相應(yīng)頁碼。4、引言（或序言）。內(nèi)容應(yīng)包括本研究領(lǐng)域的國(guó)內(nèi)外現(xiàn)狀，本論文所要解決的問題及這項(xiàng)研究工作在經(jīng)濟(jì)建設(shè)、科技進(jìn)步和社會(huì)發(fā)展等方面的理論意義與實(shí)用價(jià)值。5、正文。是畢業(yè)論文的主體。

2、6、結(jié)論。論文結(jié)論要求明確、精煉、完整，應(yīng)闡明自己的創(chuàng)造性成果或新見解，以及在本領(lǐng)域的意義。7、參考文獻(xiàn)和注釋。按論文中所引用文獻(xiàn)或注釋編號(hào)的順序列在論文正文之后，參考文獻(xiàn)之前。圖表或數(shù)據(jù)必須注明來源和出處。 （參考文獻(xiàn)是期刊時(shí)，書寫格式為： 編號(hào)、作者、文章題目、期刊名（外文可縮寫）、年份、卷號(hào)、期數(shù)、頁碼。 參考文獻(xiàn)是圖書時(shí)，書寫格式為： 編號(hào)、作者、書名、出版單位、年份、版次、頁碼。）8、附錄。包括放在正文內(nèi)過份冗長(zhǎng)的公式推導(dǎo)，以備他人閱讀方便所需的輔助性數(shù)學(xué)工具、重復(fù)性數(shù)據(jù)圖表、論文使用的符號(hào)意義、單位縮寫、程序全文及有關(guān)說明等。二：本科畢業(yè)論文格式要求：1、裝訂順序：目錄-內(nèi)容提要-

3、正文-參考文獻(xiàn)-寫作過程情況表-指導(dǎo)教師評(píng)議表參考文獻(xiàn)應(yīng)另起一頁。紙張型號(hào)：a4紙。a4 210297毫米論文份數(shù)：一式三份。其他（調(diào)查報(bào)告、學(xué)習(xí)心得）：一律要求打印。2、論文的封面由學(xué)校統(tǒng)一提供。(或聽老師的安排）3、論文格式的字體：各類標(biāo)題（包括“參考文獻(xiàn)”標(biāo)題）用粗宋體；作者姓名、指導(dǎo)教師姓名、摘要、關(guān)鍵詞、圖表名、參考文獻(xiàn)內(nèi)容用楷體；正文、圖表、頁眉、頁腳中的文字用宋體；英文用times new roman字體。4、字體要求： （1）論文標(biāo)題2號(hào)黑體加粗、居中。 （2）論文副標(biāo)題小2號(hào)字，緊挨正標(biāo)題下居中，文字前加破折號(hào)。 （3）填寫姓名、專業(yè)、學(xué)號(hào)等項(xiàng)目時(shí)用3號(hào)楷體。 （4）內(nèi)容提要

4、3號(hào)黑體，居中上下各空一行，內(nèi)容為小4號(hào)楷體。 （5）關(guān)鍵詞4號(hào)黑體，內(nèi)容為小4號(hào)黑體。 （6）目錄另起頁，3號(hào)黑體，內(nèi)容為小4號(hào)仿宋，并列出頁碼。 （7）正文文字另起頁，論文標(biāo)題用3號(hào)黑體，正文文字一般用小4 號(hào)宋體，每段首起空兩個(gè)格，單倍行距。 （8）正文文中標(biāo)題 一級(jí)標(biāo)題：標(biāo)題序號(hào)為“一、”， 4號(hào)黑體，獨(dú)占行，末尾不加標(biāo)點(diǎn)符號(hào)。 二級(jí)標(biāo)題：標(biāo)題序號(hào)為“（一）”與正文字號(hào)相同，獨(dú)占行，末尾不加標(biāo)點(diǎn)符號(hào)。 三級(jí)標(biāo)題：標(biāo)題序號(hào)為“ 1. ”與正文字號(hào)、字體相同。 四級(jí)標(biāo)題：標(biāo)題序號(hào)為“（1）”與正文字號(hào)、字體相同。 五級(jí)標(biāo)題：標(biāo)題序號(hào)為“ ”與正文字號(hào)、字體相同。 （9）注釋：4號(hào)黑體，內(nèi)容

5、為5號(hào)宋體。 （10）附錄： 4號(hào)黑體，內(nèi)容為5號(hào)宋體。 （11）參考文獻(xiàn)：另起頁，4號(hào)黑體，內(nèi)容為5號(hào)宋體。 （12）頁眉用小五號(hào)字體打印“上海復(fù)旦大學(xué)xx學(xué)院2007級(jí)xx專業(yè)學(xué)年論文”字樣，并左對(duì)齊。5、 紙型及頁邊距：a4紙(297mm210mm)。6、頁邊距：天頭（上）20mm，地角（下）15mm，訂口（左）25mm，翻口（右）20mm。7、裝訂要求：先將目錄、內(nèi)容摘要、正文、參考文獻(xiàn)、寫作過程情況表、指導(dǎo)教師評(píng)議表等裝訂好，然后套裝在學(xué)校統(tǒng)一印制的論文封面之內(nèi)（用膠水粘貼，訂書釘不能露在封面外）。 1.紙張與頁面設(shè)置（1）a4，縱向；（2）頁邊距：上1.0c

6、m，下2cm，左側(cè)2.5cm，右側(cè)2cm 2.頁眉（1）設(shè)置：1.4cm（2）字體：統(tǒng)一使用漢語：小五號(hào)宋體。（3）分割線：3磅雙線；（4）內(nèi)容：學(xué)院本科期末論文，居中。3.頁腳內(nèi)容：頁碼，居中。4.論文基本內(nèi)容與要求（1）論文題目：?jiǎn)为?dú)成行，居中，日語：小2號(hào)黑體；英語：times new roman 18號(hào)；（2）作者姓名：另起一行，居中，日語：小4號(hào)宋體；英語：times new roman 12號(hào)；（3）內(nèi)容提要：另起一行，日語：4號(hào)黑體，內(nèi)容為小4號(hào)黑體，長(zhǎng)度要求150字以上；英語：times new roman 12號(hào)，長(zhǎng)度要求在100字左右；（4）關(guān)鍵詞：另起一行，日語：4號(hào)黑體

7、，3-5個(gè)關(guān)鍵詞，每個(gè)關(guān)鍵詞之間用“；”分割，內(nèi)容為小4號(hào)黑體；英語times new roman 12號(hào)；（5）正文正文部分的要求如下：正文部分與“關(guān)鍵詞”行間空兩行；日語正文文字采用小四號(hào)宋體；英語正文文字采用times new roman 12號(hào)，標(biāo)題日語采用四號(hào)黑體，英語采用times new roman 14號(hào)，每段首起空兩格，1.25倍行距；段落間層次要分明，題號(hào)使用要規(guī)范。理工類專業(yè)畢業(yè)設(shè)計(jì)，可以結(jié)合實(shí)際情況確定具體的序號(hào)與層次要求；文字要求：文字通順，語言流暢，無錯(cuò)別字，無違反政治上的原則問題與言論，要采用計(jì)算機(jī)打印文稿；圖表要求：所有圖表、線路圖、流程圖、程序框圖、示意圖等不

8、準(zhǔn)用徒手圖，必須按國(guó)家規(guī)定的工作要求采用計(jì)算機(jī)或手工繪圖，圖表中的文字日語用小五號(hào)宋體；英語采用times new roman 10.5號(hào)；圖表編號(hào)要連續(xù)，如圖1、圖2等，表1、表2等；圖的編號(hào)放在圖的下方，表的編號(hào)放在表的上方，表的左右兩邊不能有邊；字?jǐn)?shù)要求：一般不少于1500(按老師要求）；學(xué)年論文引用的觀點(diǎn)、數(shù)據(jù)等要注明出處，一律采用尾注。（6）注釋注釋部分的要求如下：與正文部分空出兩行；按照文中的索引編號(hào)分別或合并注釋；“注釋”采用五號(hào)黑體，注釋內(nèi)容日語采用小五號(hào)宋體，英語采用times new roman 9號(hào)。英語注釋具體要求如下：在文中要有引用標(biāo)注，如 1；如果重復(fù)出現(xiàn)同一作者的

9、同一作品時(shí)，只注明作者的姓和引文所在頁碼（姓和頁碼之間加逗號(hào)）；格式要求如下：1（空兩格）作者名（名在前，姓在后，后加英文句號(hào)），書名（用斜體，后加英文句號(hào)），出版地（后加冒號(hào)），出版社或出版商（后加逗號(hào)），出版日期（后加逗號(hào)），頁碼（后加英文句號(hào)）。2（空兩格）作者名（名在前，姓在后，后加英文句號(hào)），文章題目（文章題目用“”引起來）（空一格）緊接雜志名（用斜體，后加逗號(hào)），卷號(hào)（期號(hào)），出版年，起止頁碼，英文句號(hào)。（7）參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)部分的要求如下：與注釋部分間空兩行；應(yīng)列明期末論文參考的主要文獻(xiàn)資料，“參考文獻(xiàn)” 采用五號(hào)黑體，參考文獻(xiàn)內(nèi)容日語、漢語采用小五號(hào)宋體，英語times new

10、 roman 10.5號(hào)。參考文獻(xiàn)的著錄，按著錄、題目、出版事項(xiàng)順序排列，其格式為：期刊類：著者.題名j.雜志名,年份,（期號(hào)）。書籍類：著者.書名m.城市名:出版社,年份,頁數(shù)。網(wǎng)絡(luò)類：著者.題名eb/ol.www.*.com.年-月-日。英文作者超過3人寫“et al”(斜體)。英文參考文獻(xiàn)格式要求如下：1（空兩格）作者名（姓在前，名在后，姓與名之間用逗號(hào)分開，后加英文句號(hào)），書名（用斜體，后加英文句號(hào)），出版地（后加冒號(hào)），出版社或出版商（后加逗號(hào)），出版日期（后加英文句號(hào)）。2（空兩格）作者名（姓在前，名在后，姓與名之間用逗號(hào)分開，后加英文句號(hào)），文章題目（文章題目用“”引起來）（空一

11、格）緊接雜志名（用斜體，后加逗號(hào)），卷號(hào)（期號(hào)），出版年，英文句號(hào)?？茖W(xué)技術(shù)報(bào)告是描述一項(xiàng)科學(xué)技術(shù)研究結(jié)果或進(jìn)展或一項(xiàng)技術(shù)研制試驗(yàn)和評(píng)價(jià)的結(jié)果；是論述某項(xiàng)科學(xué)技術(shù)問題的現(xiàn)狀的文件?？茖W(xué)技術(shù)報(bào)告中一般應(yīng)該提供系統(tǒng)的或按工作進(jìn)程的充分信息，可以包括正反兩方面的結(jié)果和經(jīng)驗(yàn)。學(xué)術(shù)論文是某一學(xué)術(shù)課題在實(shí)驗(yàn)性、理論性或觀測(cè)性上具有新的科學(xué)研究成果或創(chuàng)新見解和知識(shí)的科學(xué)記錄；是某種已知原理應(yīng)用于實(shí)際中取得新進(jìn)展的科學(xué)總結(jié)，用以提供學(xué)術(shù)會(huì)議上宣讀、交流和討論；是在學(xué)術(shù)刊物上發(fā)表；有其他用途的書面文件。它應(yīng)提供新的科學(xué)技術(shù)信息，其內(nèi)容應(yīng)有所發(fā)現(xiàn)、有所發(fā)明、有所創(chuàng)造、有所前進(jìn)，絕對(duì)不允許重復(fù)、模仿、抄襲別人的工作

12、。論文題名是以最恰當(dāng)、最簡(jiǎn)明但能夠反映學(xué)術(shù)論文中最重要的特定內(nèi)容的符合語法的詞語組合。題名中所用的每一詞語必須考慮到有助于選定關(guān)鍵詞和編制題錄、索引等二次文獻(xiàn)所可以提供檢索的特定實(shí)用信息。題名中不能使用不常見的縮寫詞、首字母縮寫字、字符、代號(hào)和公式。建議不使用副題名。論文摘要（以下簡(jiǎn)稱摘要）是報(bào)告、論文的內(nèi)容不加注釋和評(píng)論的簡(jiǎn)短陳述。應(yīng)具有獨(dú)立性和自含性，即不閱讀報(bào)告、論文的全文，就能獲得必要的信息?？梢杂袛?shù)據(jù)、有結(jié)論，是一篇完整的短文，可以獨(dú)立使用，可以為其他文獻(xiàn)獨(dú)立引用。內(nèi)容應(yīng)包含與報(bào)告、論文同等量的主要信息。一般應(yīng)說明研究工作的目的、實(shí)驗(yàn)方法、結(jié)果和最終結(jié)論。寫作重點(diǎn)是結(jié)果和結(jié)論。摘要要

13、素目的、研究、研制、調(diào)查等的前提、目的和任務(wù)，以及所涉及的主題范圍。方法、所用的原理、理論、條件、對(duì)象、材料、工藝、結(jié)構(gòu)、手段、裝備、程序等。結(jié)果、實(shí)驗(yàn)或研究的結(jié)果、數(shù)據(jù)、被確定的關(guān)系、觀察結(jié)果、性能等。結(jié)論、結(jié)果的分析、研究、比較、評(píng)價(jià)和應(yīng)用，提出的問題，今后的課題，假設(shè)，啟發(fā)，建議，預(yù)測(cè)等其他、不屬于研究、研制、調(diào)查的主要目的，但就其見識(shí)和情報(bào)價(jià)值而言也是重要的信息摘要類型報(bào)道型摘要表明一次文獻(xiàn)的主題范圍及內(nèi)容梗概的簡(jiǎn)明摘要。指示型摘要表明一次文獻(xiàn)的主題范圍的簡(jiǎn)明摘要。報(bào)道指示型摘要 是以報(bào)道型文摘的形式表述一次文獻(xiàn)中信息價(jià)值較高的部分，而以指示性文摘的形式表示其余的部分的文摘形式。摘要特

14、點(diǎn)報(bào)道型摘要方法、結(jié)果、結(jié)論等3部分必須寫得詳細(xì)，目的和其他等2部分寫得簡(jiǎn)單。指示型摘要目的部分必須寫得詳細(xì)，而方法、結(jié)果、結(jié)論、其他等4部分可以寫得簡(jiǎn)單。報(bào)道指示型摘要上述5個(gè)部分都必須寫得詳細(xì)。字?jǐn)?shù)一般以400字左右為宜。摘要寫作要求中文摘要英文墑要對(duì)于使用漢語言作為學(xué)術(shù)論文的文字載體的作者，使用報(bào)道指示型文摘是使其從事的科研工作和科研成果獲得國(guó)際承認(rèn)的最基礎(chǔ)前提！論文引言用于簡(jiǎn)要說明研究工作的目的、范圍、相關(guān)領(lǐng)域的已有工作、知識(shí)空白、理論基礎(chǔ)、分析、研究設(shè)想、研究方法、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、預(yù)期結(jié)果和研究意義等。應(yīng)言簡(jiǎn)意賅，不能與摘要雷同，不可成為摘要的注釋。普通教科書中已有的知識(shí)，不必在引言中出現(xiàn)

15、。論文正文是學(xué)術(shù)論文的核心部分，占主要篇幅。表達(dá)對(duì)象是，調(diào)查對(duì)象、實(shí)驗(yàn)方法、觀測(cè)方法、儀器設(shè)備、材料原料、實(shí)驗(yàn)結(jié)果、觀測(cè)結(jié)果、計(jì)算方法、編程原理、數(shù)據(jù)資料、經(jīng)過加工整理的圖表、形成的論點(diǎn)和導(dǎo)出的結(jié)論。由于學(xué)科、選題、研究方法、工作進(jìn)程、結(jié)果表達(dá)方式的差異，本次交流活動(dòng)對(duì)正文內(nèi)容不作統(tǒng)一的規(guī)定。正文內(nèi)容必須實(shí)事求是，客觀真切，準(zhǔn)確完備，合乎邏輯，層次分明，簡(jiǎn)練可讀。論文結(jié)論是最終的、總體的結(jié)論。不能與正文各段中的小結(jié)相重復(fù)。應(yīng)該準(zhǔn)確、完整、明確、精練。如果未能導(dǎo)出結(jié)論，也可以沒有結(jié)論而進(jìn)行必要的討論?？梢栽诮Y(jié)論或討論中提出建議、研究設(shè)想、儀器設(shè)備改進(jìn)意見、尚需解決的問題。論文致謝作為一名研究者，

16、應(yīng)該尊重為形成學(xué)術(shù)論文所進(jìn)行的研究所提供幫助的單位、個(gè)人表達(dá)，肯定他們?cè)谛纬蓪W(xué)術(shù)論文過程中所起的作用。由于縱向課題的學(xué)術(shù)論文在論文題名處已給予標(biāo)注，因而本致謝中可以不提出。應(yīng)該對(duì)以下方面致謝：橫向課題合同單位，資助或支持研究的企業(yè)、組織或個(gè)人；協(xié)助完成研究工作或提供便利條件的組織或個(gè)人；在研究工作中提出建議或提供幫助的人員；給予轉(zhuǎn)載和引用權(quán)的資料、圖片、文獻(xiàn)、研究思想和設(shè)想的所有者；其他應(yīng)感謝的組織或個(gè)人。 本 科 學(xué) 年 論 文題 目 院 別 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師 （姓名居中暫不填 閱教師 （姓名居中暫不填） 班 級(jí) 2007級(jí) 姓 名 （姓名居中） 學(xué) 號(hào)

17、（學(xué)號(hào)居中） 年 月 日目 錄摘要(四號(hào)黑體不加粗)abstract(四號(hào)times new roman體加粗)1引言(四號(hào)黑體不加粗)11.1(小四號(hào)黑體不加粗)11.1.1(小四號(hào)仿宋體加粗)12閉區(qū)間套定理在的推廣23閉區(qū)間套定理在一般度量空間上的推廣44閉區(qū)間套定理在上的推廣55閉區(qū)間套定理的應(yīng)用舉例6結(jié)束語8參考文獻(xiàn)8致謝9（注：目錄不加頁碼； 中、英文摘要加頁碼，用羅馬數(shù)字：，； 正文另行加頁碼，用阿拉伯?dāng)?shù)字：1，2，3，）摘 要(四號(hào)黑體不加粗)：在介紹了閉區(qū)間套定理的基礎(chǔ)上，通過綜合應(yīng)用類比法、分析法、演繹推理法將閉區(qū)間套定理進(jìn)行了推廣，得到了嚴(yán)格開區(qū)間套定理和嚴(yán)格半開半閉區(qū)間

18、套定理以及一般完備度量空間上的閉集套定理和常用完備度量空間上的閉集套定理，并給出了這些定理的證明結(jié)合典型例題，分析、討論了閉區(qū)間套定理及推廣后的閉集套定理的實(shí)際應(yīng)用，說明了閉區(qū)間套定理不僅具有重要的理論意義，而且還有很好的應(yīng)用價(jià)值(小四號(hào)仿宋體不加粗,“摘要”字?jǐn)?shù)須300字以上)關(guān)鍵詞(四號(hào)黑體不加粗)：閉區(qū)間套定理；嚴(yán)格開區(qū)間套定理；推廣；應(yīng)用(小四號(hào)仿宋體不加粗，關(guān)鍵詞的個(gè)數(shù)：35個(gè))abstract(四號(hào)times new roman體加粗): the theorem of nested closed interval was extended on the basis of its d

19、efinition with synthetic application of analogy analysis and deductive reasoning, and got a series of theorems such as the theorem of strict open nested interval, the theorem of strict open and closed nested interval and the theorem of closed nested set on ordinary and popular metric space, which we

20、re also testified. the real application of the theorem of nested closed interval and the theorem of closed nested set after extension was discussed by analysis of some typical examples so as to demonstrate its important theoretical meaning and useful application. (小四號(hào)times new roman體不加粗)key words (四

21、號(hào)times new roman體加粗): theorem of nested closed interval; theorem of strict open nested interval; extension; application (小四號(hào)times new roman體不加粗，每個(gè)關(guān)鍵詞開頭字母均不大寫，結(jié)尾處無標(biāo)點(diǎn)符號(hào))1 引言（一級(jí)標(biāo)題四號(hào)黑體不加粗，段前斷后空0.5行）1.1 小四號(hào)黑體不加粗 （二級(jí)標(biāo)題小四號(hào)黑體不加粗，段前斷后不空行）1.1.1 小四號(hào)仿宋體加粗 （三級(jí)標(biāo)題小四號(hào)仿宋體加粗，段前斷后不空行）說明：（1）全文要求：行距：最小值22磅；頁邊距：上2.2cm、左2

22、.5cm、右2.3cm、下1.8cm、頁眉1.2cm、頁腳1.5cm；頁眉中，若是論文就刪去“設(shè)計(jì)”二字，若是設(shè)計(jì)就刪去“論文”二字（2）各級(jí)標(biāo)題一律頂格，標(biāo)題末尾不加標(biāo)點(diǎn)符號(hào)（3）正文中所引用的文獻(xiàn)應(yīng)加尾注，以文獻(xiàn)在文中出現(xiàn)的先后順序依次編號(hào)為：1，2，某種文獻(xiàn)中的內(nèi)容被多次引用時(shí)以第一次出現(xiàn)時(shí)的序號(hào)為準(zhǔn)，即一種文獻(xiàn)只有一個(gè)序號(hào)，可以重復(fù)出現(xiàn)添加尾注的格式如下：愛因斯坦說：提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要1愛因斯坦說：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要”1愛因斯坦說：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要” 1 （4）正文中出現(xiàn)的圖象與表格以編號(hào)（依出現(xiàn)的先后順序編號(hào)）的方式分別加以

23、命名圖象：圖1，圖2，表格：表一，表二，（5）行文要符合文法格式，每段開頭應(yīng)空兩個(gè)漢字的位置若一行中只有符號(hào)表達(dá)式，則可以居中或居中偏左（6）正文中所有的標(biāo)點(diǎn)符號(hào)，一律用全角；句號(hào)用“”閉區(qū)間套定理是實(shí)分析中的一個(gè)重要定理,它同聚點(diǎn)定、有限覆蓋定理、確界原理、數(shù)列的單調(diào)有界定理和cauchy收斂準(zhǔn)則一樣都反映了實(shí)數(shù)的完備性，也是學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)等課程的基礎(chǔ)由于它具有較好的構(gòu)造性，因此閉區(qū)間套定理在證明與實(shí)數(shù)相關(guān)的命題中有廣泛的應(yīng)用，如證明閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定一致連續(xù)1、閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)的介值性定理等故閉區(qū)間套定理不僅有重要的理論價(jià)值，而

24、且具有很好的應(yīng)用價(jià)值為了增大閉區(qū)間套定理的應(yīng)用范圍，從閉區(qū)間套定理的概念出發(fā)，綜合運(yùn)用類比分析法、演繹推理法推廣該定理首先，將閉區(qū)間套定理在一維空間加以推廣，形成嚴(yán)格開區(qū)間套定理和嚴(yán)格半開半閉區(qū)間套定理，增大了區(qū)間套定理的應(yīng)用范圍緊接著結(jié)合一般完備度量空間的特性，即正定性、對(duì)稱性、三角不等式性和完備性，把閉區(qū)間套定理在一般完備度量空間上推廣，形成一般完備度量空間上的閉集套定理，從而把一維空間上的情景推廣到了更一般化的完備度量空間，使得區(qū)間套定理的應(yīng)用范圍更為廣泛，并且給出了常用度量空間上的閉集套定理最后結(jié)合一些實(shí)例分析說明閉區(qū)間套定理的應(yīng)用，比如證明閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有界、單調(diào)有界定理等，通

25、過構(gòu)造滿足題意的閉區(qū)間列，再應(yīng)用閉區(qū)間套定理證明存在滿足題意的點(diǎn)從實(shí)際例題中還可以看出閉區(qū)間套定理反映了實(shí)數(shù)的稠密性，所以閉區(qū)間套定理連同其在一般完備度量空間上推廣后的閉集套定理在證明與實(shí)數(shù)理論相關(guān)命題時(shí)發(fā)揮著重要的作用2 閉區(qū)間套定理在的推廣康托給分析建立了嚴(yán)格的集合論基礎(chǔ)而在對(duì)實(shí)數(shù)連續(xù)性的描述中，閉區(qū)間套定理是一個(gè)基本的定理因此，在對(duì)該定理推廣前有必要先回顧一下閉區(qū)間套定理的內(nèi)容定義2.1設(shè)()是中的閉區(qū)間列，如果滿足：(1) ，；(2) ；則稱為中的一個(gè)閉區(qū)間套，或簡(jiǎn)稱區(qū)間套定理2.12(閉區(qū)間套定理)若是一個(gè)閉區(qū)間套，則存在惟一一點(diǎn)，使得()，且 推論2.13若()是區(qū)間套確定的點(diǎn)，則

26、對(duì)任意正數(shù)，存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，總有定義2.2設(shè)()是中的開區(qū)間列，如果滿足：(1) ，；(2) ；則稱為中的一個(gè)嚴(yán)格開區(qū)間套定理2.2 (嚴(yán)格開區(qū)間套定理)若是中的一個(gè)嚴(yán)格開區(qū)間套，則存在惟一一點(diǎn)，使得，且證明 由定義2.2條件(1)，是一個(gè)嚴(yán)格遞增且有上界的數(shù)列由單調(diào)有界定理，有極限，不妨設(shè)，且，同理嚴(yán)格遞減有下界的數(shù)列也有極限由定義2.2條件(2)應(yīng)有，且，從而存在()最后證明唯一性假如另有，使得，那么有，在上述不等式兩邊取極限，有即故原命題成立定義2.345設(shè)()是中的半閉半開區(qū)間列，如果滿足：(1) ，；(2) ；則稱為中的一個(gè)嚴(yán)格半閉半開區(qū)間套注：類似可以定義嚴(yán)格半開半閉區(qū)間套定理2

27、.3 (嚴(yán)格半開半閉區(qū)間套定理)如果是中的一個(gè)嚴(yán)格半開半閉區(qū)間套，則存在惟一一點(diǎn)，使得，且仿定理2.2的證明即可2 閉區(qū)間套定理在一般度量空間上的推廣完備度量空間具有正定性、對(duì)稱性、三角不等式性和完備性具體到序列，指的是該序列除了滿足一般度量空間的要求，還應(yīng)在該空間上收斂這樣閉區(qū)間套定理就可以在一般度量空間上進(jìn)行推廣定義3.1設(shè)是一個(gè)非空集合，在上定義一個(gè)雙變量的實(shí)值函數(shù)，對(duì)任意的，有：(1)(正定性)0，并且當(dāng)且僅當(dāng)成立；(2)(對(duì)稱性)；(3)(三角不等式)；則稱為一個(gè)度量空間定義3.2設(shè)是度量空間中的一個(gè)子集，對(duì)于中的任意點(diǎn)列，若當(dāng)，有，則稱為閉集定義3.36設(shè)是一度量空間中的一個(gè)序列，

28、若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，存在整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有，則稱為一個(gè)序列定義3.47如果對(duì)度量空間中的每一個(gè)序列都收斂，則稱是一個(gè)完備度量空間定理3.17設(shè)是完備度量空間上的閉集列，如果滿足：(1) ()；(2) ；則在中存在唯一一點(diǎn)，使得，證明任意取中的點(diǎn)列，當(dāng)時(shí)，有，所以，)即對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)，存在整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有，所以是序列又因?yàn)槭情]集列，故收斂于一點(diǎn)，且有，現(xiàn)證唯一性如果另有一點(diǎn)，使得，則由定義3.1條件(3)，有，從而故在中存在唯一一點(diǎn)，使得，3 閉區(qū)間套定理在上的推廣進(jìn)一步還可以將閉區(qū)間套定理在常用度量空間實(shí)數(shù)空間上推廣為此，先給出一個(gè)有用的概念定義4.1對(duì)于任意的，令，則稱為空間上的距離下面驗(yàn)

29、證對(duì)于如上定義的，做成完備的度量空間證明對(duì)于任意的，(1) ，并且=0當(dāng)且僅當(dāng)()，即(2) (3)令和由不等式可以得到2則，即所以滿足度量的定義，又是完備的6，故是一個(gè)完備的度量空間于是根據(jù)前面的論述，可以得到實(shí)數(shù)空間的閉集套定理：定理4.1設(shè)是上的閉集列，如果：(1) ，；(2) ()；則在中存在唯一一點(diǎn)，使得，4 閉區(qū)間套定理的應(yīng)用舉例閉區(qū)間套定理證明命題的基本思路是分劃區(qū)間構(gòu)成閉區(qū)間套，從而找到屬于每一個(gè)區(qū)間的公共點(diǎn)下面就舉幾個(gè)例子說明這一思路例1證明：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必有界分析這個(gè)命題如果從正面入手利用閉區(qū)間套定理證明比較困難，但是如果從反面著手，即假設(shè)在上無界，即對(duì)任意0，存在，有則等分區(qū)間后至少有一個(gè)子區(qū)間上無界，記為性質(zhì)繼續(xù)等分那個(gè)無界的區(qū)間，可得到如上的性質(zhì)無限次重復(fù)上述步