1、2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程,段紅宇,生活中存在著各種形式的拋物線,復(fù)習(xí)：,在初中，我們學(xué)習(xí)了二次函數(shù) ，知道二次函數(shù)的圖象是一條拋物線， 例如：（1） ，（2） 的圖象,怎么樣的曲線是拋物線？它具有怎樣的幾何特征？它的方程是什么呢？,如圖，點 是定點， 是不經(jīng)過點 的定直線。 是 上任意一點，過點H作 , 線段FH的垂直平分線m交MH于點M，拖動點H，觀察點M的軌跡，你能發(fā)現(xiàn)點M滿足的幾何條件嗎？,動畫演示拋物線形成過程：,m,平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫拋物線.,定點F叫拋物線的焦點, 定直線l 叫拋物線的準(zhǔn)線,準(zhǔn)線,焦點,一、拋物線的定義,二、拋

2、物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo),問題1. 你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系恰當(dāng)?根據(jù)拋物線的定義, 你能求出拋物線的方程嗎?,設(shè)焦點 F 到準(zhǔn)線 l 的距離為 p (p0),x,y,o,d,p,設(shè)點 M(x, y) 到直線 l 的距離為 d,根據(jù)定義得 |MF| = d,代入點的坐標(biāo)得,化簡方程得,三、標(biāo)準(zhǔn)方程,把方程 y2 = 2px (p0)叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.其中 p 為正常數(shù),它所表示的拋物線焦點在 x 軸正半軸上. 且焦點坐標(biāo)是 ，準(zhǔn)線方程是,標(biāo)準(zhǔn)方程的特點:,(1)等號左邊是二次式且系數(shù)是1,(2)等號右邊是一次式,(3)焦點的非零坐標(biāo)是一次項系數(shù)1/4 準(zhǔn)線方程是其-1/4,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,問題2

3、. 如果拋物線的開口向左, 方程又是怎樣的呢? 如果開口向上、下, 焦點放在 y 軸上, 方程又會是怎樣?,y2=2px (p0),【幾種不同位置的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程】,y2=2px (p0),y2=-2px (p0),x2=2py (p0),x2=-2py (p0),焦點坐標(biāo),準(zhǔn)線方程,標(biāo)準(zhǔn)方程,焦點到準(zhǔn)線的距離為 p,圖 形,求下列拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程： （1）y2 = 20 x （2）x2= 4y （3）y2 = -8x （4）x2 +16y =0,（5，0）,x= -5,x= 2,（- 2，0）,（0，-4）,y=4,例1：,注意:求拋物線的焦點一定要先把拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式,根據(jù)下

4、列條件，寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：,（1）焦點是F（3，0）,（2）準(zhǔn)線方程 是x =,（3）焦點到準(zhǔn)線的距離是2,y2 =12x,y2 =x,y2 =4x或y2 = -4x 或x2 =4y或x2 = -4y,例2：,思想方法：注重分類討論。,練習(xí) (1) 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 y2=6x, 求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程; (2) 已知拋物線的焦點是 F(0, -2), 求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.,（1）焦點坐標(biāo)為 ，準(zhǔn)線方程為 。,（2）拋物線方程為 。,小 結(jié) ：,1 拋物線的定義,2 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種不同形式及相應(yīng)的焦點和準(zhǔn)線,準(zhǔn)線方程,焦點坐標(biāo),標(biāo)準(zhǔn)方程,焦點位置,圖 形,2. 不同位置的拋物線,x軸的 正方向,x軸的 負(fù)方向,y軸的 正方向,y軸的 負(fù)方向,y2=2px,y2=-2