1、反比例函數(shù)中的面積問題適用學科初中數(shù)學適用年級初中二年級適用區(qū)域全國課時時長（分鐘）60分鐘知識點1. 函數(shù)的相交問題，主要探究函數(shù)相交的交點個數(shù)及如何計算交點坐標，并進一步探究取何值時，一次函數(shù)與反比例函數(shù)值的大小比較；2. 相交時所圍成的三角形的面積問題。教學目標1熟練應用函數(shù)圖像與性質(zhì)知識；2靈活掌握反比例函數(shù)中面積問題的幾種題型；3熟練一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用。教學重點反比例函數(shù)中面積問題涉及題型的掌握。教學難點反比例函數(shù)與一次函數(shù)結合出現(xiàn)的面積問題所涉及的解題方法的歸納。教學過程一、復習預習由于反比例函數(shù)解析式及圖象的特殊性，很多中考試題都將反比例函數(shù)與面積結合起來進行考察。這

2、種考察方式既能考查函數(shù)、反比例函數(shù)本身的基礎知識內(nèi)容，又能充分體現(xiàn)數(shù)形結合的思想方法，考查的題型廣泛，考查方法靈活，可以較好地將知識與能力融合在一起。這類反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題以及相交后求圍成三角形的面積的題型難度很大，并且屬于學生在計算中的難點問題，歸納起來有兩個方面：1、函數(shù)的相交問題，主要探究函數(shù)相交的交點個數(shù)及如何計算交點坐標，并進一步探究取何值時，一次函數(shù)與反比例函數(shù)值的大小比較；2、相交時所圍成的三角形的面積問題?，F(xiàn)以近年中考試題為例加以分析，希望能對同學自主學習有所幫助。二、知識講解1反比例函數(shù)的定義：一般地，形如y（）（k為常數(shù)，k_0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)2反比例函數(shù)

3、的性質(zhì)：反比例函數(shù)y（k0）的圖象是_ _當k0時，兩分支分別位于第_ _象限內(nèi)，且在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而_；當k0,由結論及已知條件得， k=4【例題2】【題干】如圖，已知雙曲線（）經(jīng)過矩形OABC的邊AB，BC的中點F、E，且四邊形OEBF的面積為2，則 【答案】k=2【解析】連結OB，E、F分別為AB、BC的中點 而 ，由四邊形OEBF的面積為2得，解得 k=2。評注：第小題中由圖形所在象限可確定k0，應用結論可直接求k值。第小題首先應用三角形面積的計算方法分析得出四個三角形面積相等，列出含k的方程求k值。題型二：已知反比例函數(shù)解析式，求圖形的面積【例題3】【題干】在反比例函數(shù)的圖

4、象中，陰影部分的面積不等于4的是（ ）A B C D【答案】B【解析】因為過原點的直線與雙曲線交點關于原點對稱，故B、C、D的面積易求。對于A：S=4，對于B：陰影中所含的三個小直角三角形面積相等，故S=；對于C：S=4，對于D：S=4 故選（B）題型三：利用數(shù)形結合思想求點的坐標，注意分類討論【例題4】【題干】已知一次函數(shù)y=kx+b(ko)和反比例函數(shù)y=的圖象交于點A(1，1)(1)求兩個函數(shù)的解析式；(2)若點B是x軸上一點，且AOB是直角三角形，求B點的坐標【答案】解：（1）點A（1，1）在反比例函數(shù)的圖象上，k=2，反比例函數(shù)的解析式為： 。設一次函數(shù)的解析式為：y=2x+b，點A

5、（1，1）在一次函數(shù)y=2x+b的圖象上，b=-1，一次函數(shù)的解析式為y=2x-1。（2）如圖，點A（1，1），AOB=45，AOB是直角三角形，點B只能在x軸正半軸上，當OB1A=90時，即B1AOB1，AOB1=45，B1A=OB1，B1（1，0）；當OAB2=90時，AOB2=AB2O=45， B1起OB2的中點，B2（2，0），綜上可知，B點坐標為（1，0）或（2，0）。 例4題圖 例5題圖【例題5】【題干】如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于M、N兩點 (1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的函數(shù)關系式 (2)根據(jù)圖象寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍【答案】

6、解：（1）的圖象經(jīng)過N（1，4），k=xy=1（4）=4反比例函數(shù)的解析式為。又點M在的圖象上，m=2M（2，2）又直線y=ax+b圖象經(jīng)過M，N，一次函數(shù)的解析式為y=2x2；（2）由圖象可知：反比例函數(shù)的值一次函數(shù)的值的x的取值范圍是x1或0x2題型四：利用點的坐標及面積公式求圖形的面積【例題6】【題干】如圖，已知是一次函數(shù)的圖像和反比例函數(shù)的圖像的兩個交點（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）求直線AB與軸的交點C的坐標及三角形AOB的面積【答案】解：（1）在上 反比例函數(shù)的解析式為：點在上 。經(jīng)過， 解之得 一次函數(shù)的解析式為：（2）是直線與軸的交點，當時， 點 評注：對于例4、

7、例5、例6類型的題目，其解題方法基本上都是分三步：先由條件求函數(shù)解析式，再通過解方程組求交點坐標，最后由面積公式計算面積。難度屬中檔題。題型五：利用反比例函數(shù)的對稱性求有關的面積問題【例題7】【題干】已知, A、B、C、D、E是反比例函數(shù)（x0）圖象上五個整數(shù)點（橫、縱坐標均為整數(shù)），分別以這些點向橫軸或縱軸作垂線段，由垂線段所在的正方形邊長為半徑作四分之一圓周的兩條弧，組成如圖5所示的五個橄欖形（陰影部分），則這五個橄欖形的面積總和是 （用含的代數(shù)式表示）【答案】x,y為正整數(shù)，x=1,2,4,8,16，即A、B、C、D、E五個點的坐標為(1,16)、(2,8)、(4,4)、(8,2)、(1

8、6,1)，因五個橄欖形關于y=x對稱，故有S=13-26。題型六：與其它知識結合，如一元二次方程、相似形、二次函數(shù)等【例題7】【題干】如圖，一次函數(shù)y=x+8和反比例函數(shù)（x0）的圖象在第一象限內(nèi)有兩個不同的公共點A(x 1，y 1)、B(x2，y 2) (1)求實數(shù)k的取值范圍 (2)若AOB的面積SAOB=24，求k的值 【答案】解：（1）y=-x+8與y=k/x聯(lián)立已知k0， x-8x+k=0， 64-4k0，得0k16。（2）設兩個交點橫坐標為x1和x2 ，根據(jù)x2-x1=6以及x-8x+k=0，（x2+x1）-4x1x2=36，由韋達定理x1+x2=8；x1x2=k 解得k=7?！纠?/p>

9、題8】【題干】如圖，已知：一次函數(shù)：的圖像與反比例函數(shù)： 的圖像分別交于A、B兩點，點M是一次函數(shù)圖像在第一象限部分上的任意一點，過M分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為M1、M2，設矩形MM1OM2的面積為S1；點N為反比例函數(shù)圖像上任意一點，過N分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為N1、N2，設矩形NN1ON2的面積為S2；（1）若設點M的坐標為(x，y)，請寫出S1關于x的函數(shù)表達式，并求x取何值時，S1的最大值；（2）觀察圖形，通過確定x的取值，試比較S1、S2的大小 【答案】解：(1) =，當時，。（2），由可得： ，。通過觀察圖像可得：當時，。當時，；當時，。四、課堂運用【基礎】例1、

10、2變式1. 如圖，矩形ABOD的頂點A是函數(shù)與函數(shù)在第二象限的交點，軸于B，軸于D，且矩形ABOD的面積為3（1）求兩函數(shù)的解析式（2）求兩函數(shù)的交點A、C的坐標（3）若點P是y軸上一動點，且，求點P的坐標答案解：（1）由圖象知k0，由結論及已知條件得-k=3 反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為（2）由，解得， 點A、C的坐標分別為（，3），（3，） （3）設點P的坐標為（0，m）直線與y軸的交點坐標為M（0，2） ，8題圖或，點P的坐標為（0，）或（0，）。分析依據(jù)圖象及結論求k值是本題的關鍵，只有求出k代值，才能通過解方程組求A、C兩點的坐標，然后才能解決第小問。2. 例3變式如圖，

11、點、是雙曲線上的點，分別經(jīng)過、兩點向軸、軸作垂線段，若則 答案3x解：點A、B是雙曲線y=上的點，分別經(jīng)過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段，則根據(jù)反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)得兩個矩形的面積都等于|k|=3，S1+S2=3+3-12=4故填空答案：4分析3x欲求S1+S2，只要求出過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段求出與坐標軸所形成的矩形的面積即可，而矩形面積為雙曲線y=的系數(shù)k，由此即可求出S1+S2此題難度較大，考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)及任一點坐標的意義例題4、5變式3. 若一次函數(shù)y=2x1和反比例函數(shù)y=的圖象都經(jīng)過點(1，1) (1)求反比例函數(shù)的解析式； (2)已知點A在第三象限，且同時

12、在兩個函數(shù)的圖象上，求點A的坐標。 (3)利用(2)的結果，若點B的坐標為(2，0)，且以點A、O、B、P為頂點的四邊形是平行四邊形，請你直接寫出點P的坐標答案解：（1）反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點（1，1）， 1=，解得k=2，反比例函數(shù)的解析式為y=；（2）解方程組得，點A在第三象限，且同時在兩個函數(shù)圖象上， A（，-2）；（3） P1（，-2），P2（，-2），P3（，2）。 【鞏固】1. 如圖，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點A（2，3）和點B，與x軸相交于點C（8，0）（1）求這兩個函數(shù)的解析式；（2）當x取何值時，y1y2變式：當0時，比較y1和y2的大小。 答

13、案解：（1）把 A（2，3）代入，得m=6。反比例函數(shù)的解析式為。把 A（2，3）、C（8，0）代入y1=kx+b，得，解得。一次函數(shù)的解析式為y1=x+4。（2）由題意得，解得，。從圖象可得，當x0或2x6 時，y1y2。變式：當0x2和x6時，y1y2；當時，；當2x6時，y1y2。mx分析（1）將A、B中的一點代入y2=，即可求出m的值，從而得到反比例函數(shù)解析式，把 A（2，3）、C（8，0）代入y1=kx+b，可得到k、b的值；（2）根據(jù)圖象可直接得到y(tǒng)1y2時x的取值范圍本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟悉待定系數(shù)法以及理解函數(shù)圖象與不等式的關系是解題的關鍵2. 如圖，直線

14、與反比例函數(shù)（0）的圖象相交于點A、點B，與x軸交于點C，其中點A的坐標為（2，4），點B的橫坐標為4。（1）試確定反比例函數(shù)的關系式；（2）求AOC的面積.答案解：（1）點A（-2，4）在反比例函數(shù)圖象上，4=k-2，k=-8，反比例函數(shù)解析式為y=。（2）B點的橫坐標為-4，y=，y=2 B(-4，2)。點A（-2，4）、 點B（-4，2）在直線y=kx+b上， 4=-2k+b，2=-4k+b，解得 k=1，b=6。直線AB為y=x+6。與x軸的交點坐標C（-6，0），SAOC=COyA=64=12。kx分析主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和反比例函數(shù)y12中k的幾何意義，這里體現(xiàn)了數(shù)形

15、結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關系S= |k|3.如圖，A和B都與x軸和y軸相切，圓心A和圓心B都在反比例函數(shù)的圖象上，則圖中陰影部分的面積等于 . 答案設圓A的圓心A的坐標為(x,y)，由圖可知，x=y， A點在反比例函數(shù)圖象上，解得x=1從而所求面積為。分析根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性，陰影部分的面積正好構成圓，利用圓的面積公式即可求解本題主要考查了反比例函數(shù)的對稱性，理解陰影部分的面積正好構成圓是關鍵【拔高】1. 如圖，一次函數(shù)ykxb的圖象與坐標軸分別交于AB兩點，與反比例函數(shù)y的圖象在第二象限的交點

16、為C，CDx軸，垂足為D若OB2，OD4，AOB的面積為1(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)直接寫出當x0的解集答案解：（1）OB=2，AOB的面積為1，B（2，0），OA=1，A（0，1） ，又OD=4，ODx軸，C（4，y），將代入得y=1，C（4，1），（2）當時，的解集是分析（1）根據(jù)點A和點B的坐標求出一次函數(shù)的解析式再求出C的坐標是（-4，1），利用待定系數(shù)法求解即可求反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象在第二象限的交點為C即可求出當x0時，kx+b-mx0的解集本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，用到的知識點是待定

17、系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，這里體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，關鍵是根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點求出不等式的解集2. 如圖，已知函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=（x0）的圖象交于點A將y=x的圖象向下平移6個單位后與雙曲線y=交于點B，與x軸交于點C（1）求點C的坐標；（2）若=2，求反比例函數(shù)的解析式答案解：（1）向下平移6個單位，得，設點C的坐標為（，0），點C的坐標為（，0）；（2）設點A的坐標（，），點B的坐標（，），若，則，即點A、B在上，即，把代入得：，解得（舍去），或，即點B（6，2），反比例函數(shù)的解析式為分析本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標

18、滿足兩函數(shù)的解析式也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象的平移問題課程小結1. 函數(shù)的相交問題，主要探究函數(shù)相交的交點個數(shù)及如何計算交點坐標，并進一步探究取何值時，一次函數(shù)與反比例函數(shù)值的大小比較；2. 相交時所圍成的三角形的面積問題。課后作業(yè)【基礎】1、反比例函數(shù)的圖象如圖所示，點M是該函數(shù)圖象上一點，MN垂直于x軸，垂足是點N，如果SMON2，則k的值為（） (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4解：由圖象上的點所構成的三角形面積為可知，該點的橫縱坐標的乘積絕對值為4，又因為點M在第二象限內(nèi)，所以可知反比例函數(shù)的系數(shù)為k=-4故選D分析：根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點的橫縱坐標之積是

19、定值k，同時|k|也是該點到兩坐標軸的垂線段與兩坐標軸圍成的矩形面積即可解答點評：本題主要考查反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義反比例函數(shù)圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關系，即S=1/2|k|2、若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函數(shù)圖象上的兩個點，且a1a2，則b1與b2的大小關系是（）Ab1b2 Bb1 = b2 Cb1b2 D大小不確定解：k0，函數(shù)圖象，圖象在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，a1a20，b1b2故選：C分析：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，k0，a1a20，在第二象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，則b1b2點評：本題

20、考查了由反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)判斷函數(shù)圖象上點的坐標特征，得出兩點所在象限是解題關鍵3、函數(shù)與在同一坐標系內(nèi)的圖象可以是（ ）解：A、由函數(shù)y=x+m的圖象可知m0，由函數(shù)y=m/x的圖象可知m0，相矛盾，故錯誤；B、由函數(shù)y=x+m的圖象可知m0，由函數(shù)y=m/x的圖象可知m0，正確；C、由函數(shù)y=x+m的圖象可知m0，由函數(shù)y=m/x的圖象可知m0，相矛盾，故錯誤；D、由函數(shù)y=x+m的圖象可知m=0，由函數(shù)y=m/x的圖象可知m0，相矛盾，故錯誤故選B分析：先根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷出m取值，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷出m的取值，二者一致的即為正確答案點評：本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)

21、和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題4、如圖，反比例函數(shù)的圖象與直線相交于B兩點，AC軸，BC軸，則ABC的面積等于 個面積單位。解：設A的坐標是：（a，b），則ab=5，B的坐標是：（-a，-b），AC=2b，BC=2a，則ABC的面積是：1/2ACBC=1/22a2b=2ab=25=10故選C分析：設A的坐標是：（a，b），則ab=5，B的坐標是：（-a，-b），則AC=2b，BC=2a，根據(jù)直角三角形的面積公式即可求解點評：本題考查了反比例函數(shù)的圖象，以及三角形的面積，正確理解A、B關于原點對稱是關鍵5函數(shù)y=與y=x2圖象交點的橫坐標分別為，則的值為 。解：根據(jù)題意得1/

22、x=x-2，化為整式方程，整理得x2-2x-1=0，函數(shù)y=1/x與y=x-2圖象交點的橫坐標分別為a，b，a、b為方程x2-2x-1=0的兩根，a+b=2，ab=-1，1/a+1/b=（a+b）/ab=2/-1=-2故答案為-2a+bab分析：先根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式得到1/x=x-2，去分母化為一元二次方程得到x2-2x-1=0，根據(jù)根與系數(shù)的關系得到a+b=2，ab=-1，然后變形1/a+1/b得，再利用整體思想計算即可點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系變式：函數(shù)

23、y=與y=x2圖象一個交點的坐標為，則 ?！眷柟獭?.如右圖，直線AB交雙曲線于、B，交x軸于點C,B為線段AC的中點，過點B作BMx軸于M，連結OA.若OM=2MC,SOAC=12.則k的值為_.解：過A作ANOC于N，BMOCANBM，B為AC中點，MN=MC，OM=2MC，ON=MN=CM，設A的坐標是（a，b），則B（2a，1/2b），SOAC=121/23ab=12，ab=8，B在y=k/x上，k=2a1/2b=ab=8，故答案為：8分析：過A作ANOC于N，求出ON=MN=CM，設A的坐標是（a，b），得出B（2a，1/2b），根據(jù)三角形AOC的面積求出ab=8，把B的坐標代入即可

24、求出答案點評：本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題和三角形的面積的應用，主要考查學生的計算能力2. 如果一個正比例函數(shù)的圖象與一個反比例函數(shù)的圖象交，那么值為 .解：正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)y=6/x的圖象交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，x1=-x2，y1=-y2，（x2-x1）（y2-y1）=x2y2-x2y1-x1y2+x1y1=x2y2+x2y2+x1y1+x1y1=64=24故答案為：24分析：正比例函數(shù)與反比例函數(shù)y=6/x的兩交點坐標關于原點對稱，依此可得x1=-x2，y1=-y2，將（x2-x1）（y2-y1）展開，依此關系即可求解點評：考查了反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點問題，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的兩交點坐標關于原點對稱3. 已知反比例函數(shù)y在第一象限的圖象如圖所示，點A在其圖象上，點B為x軸正半軸上一點，連接AO、AB，且AOAB，則SAOB 解：過點A作ACOB于點C，AO=AB，CO=BC，點A在其圖象上，1/2ACCO=3，1/2ACBC=3，SAOB=6故答案為：6分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出CO=BC，再利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出SAOB即可點評：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，正確分割AOB是解題關鍵4. 如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A（-2，1），B（