1、第16章 基于Copula的VaR度量與事后檢驗,清華大學經管學院 朱世武 Z Resdat樣本數據： SAS論壇： ,Copula函數,最常見的兩種Copula函數是正態(tài)Copula函數和t-分布Copula函數。,正態(tài)Copula函數,正態(tài)分布隨機變量 的均值分別為 ，方差分別為 ，相關矩陣為R，則隨機變量 的分布函數 為Copula函數，稱為協(xié)方差矩陣為R的正態(tài)Copula函數，或稱為Gauss Copula函數。（ 為標準正態(tài)分布函數）。,t-分布Copula函數,t-分布Copula函數是正態(tài)Copula函數的變形。 正態(tài)分布隨機變量 的均值分別為0，方差分別為1，相關矩陣為R。Y為

2、 分布隨機變量，自由度為 ，與 獨立。則隨機變量 的分布函數 為Copula函數，稱為自由度為 ，相關矩陣為R的t-分布Copula函數。 . t-分布Copula函數繼承了正態(tài)Copula函數的幾乎全部性質。但在正態(tài)Copula函數模型中，極端事件的發(fā)生總是彼此獨立的，即 接近于0或1的可能性彼此獨立。而在t-分布Copula函數中，極端事件是相關的。,聯(lián)合分布模擬與收益率映射,假設有一個包括n個資產的組合，收益率為向量為 。設 的邊際分布分別為 ， 的聯(lián)合分布為 。,正態(tài)Copula模擬,對R進行Cholesky分解 生成一個 的服從獨立標準正態(tài)分布的隨機向量 令 ，產生 維向量，這時，

3、即X向量中的每一個隨機變量均服從期望為0，方差為1的正態(tài)分 布，并且它們相關矩陣正好為R。,計算 ，得到 用邊際分布函數的反函數把 映射到收益率 . 若邊際分布為正態(tài)分布，則 若邊際分布為t分布，則 其中 分別是相應t分布的自由度。,t-分布Copula模擬,對R進行Cholesky分解 生成一個 的服從獨立標準正態(tài)分布的隨機向量 令 ，產生 維向量，這時， 即Y向量中的每一個隨機變量均服從期望為0，方差為1的正態(tài)分 布，并且它們相關矩陣正好為R。,產生與Y相互獨立的變量S，服從 分布。 令 ，則X服從自由度為 的t分布。 計算 ，得到 用邊際分布函數的反函數把 映射到收益率,若邊際分布為正態(tài)

4、分布，則 若邊際分布為t分布，則 其中 分別是相應t分布的自由度。,投資組合VaR度量,假設一資產組合中包含20只股票，利用前面介紹的方法估計該資產組合特定置信水平下的日風險值（VaR）。,計算環(huán)境,2004年12月底以前的歷史數據，計算2005年第一個交易日的VaR。假設投資總額為100萬元，構造股票投資組合，針對投資組合做相應計算。 類似地，可以計算2005年全年交易日的VaR，并作相應的事后檢驗。 數據集： 個股數據集ResDat.Qttndist；,計算步驟,第一步：確定權重，構造投資組合； 第二步：對每只股票的收益率進行模擬； 第三步：利用前兩步所得，計算組合的的收益率； 第四步：利

5、用第三步所得的組合的收益率，計算投資組合的VaR； 第五步：對投資組合的VaR作相應的事后檢驗。,計算結果,表16.1 正態(tài)Copula相關結果,表16.2 t-分布Copula相關結果,以上結果表明，采用Copula計算的VaR比上章只用正分布的VaR大，所以，事后檢驗效果更好。,極大似然法擬合t分布,從事后檢驗結果可以看出，不同自由度下，t分布的檢驗效果均優(yōu)于正態(tài)邊際分布。下面給出確定t分布自由度n的極大似然法。,t分布概率密度函數為， 其中n為自由度。t分布擬合就是估計該密度函數的自由度參數n。,通過最大化樣本的對數似然函數， 就可以得到參數n的估計值。 對迭代方法與初值都有很多要求，此

6、處采用一種比較直觀的方法。即通過令n取一列值，分別計算對數似然函 數 的值，取其最大值所對應的 值為自由度參數n的估計值。,/*求t邊際分布的自由度*/ options nodate nosource nonotes; proc means data=return1 noprint; var return1; output out=b mean=m std=std; data b; set b; call symput(mean, m);/*求組合收益率的均值和方差*/ call symput(std, std); data result; delete; %macro a(x); %do i=2 %to ,proc means data=t noprint; var lnt; output out=t1 sum=sum ; data t1; set t1; n=,計算結果： Obs _TYPE_ _FREQ_ sum n 1 0 961 -1337.83 10 2 0 961 -1337.93 11 3 0 961 -1337.99 9 4 0 961 -1338.20 12 5 0 961 -1338.57 8 6 0 961 -1338.57 13 7 0 961 -1339.01 14 8 0 961 -1339.48 15 9 0 961 -1339.84 7