1、.雙星模型、三星模型、四星模型專練(1) 可見星 a 所受暗星 b 的引力 fa 可等效為位于 o點處質量為 m的星體 ( 視為質點 ) 對它的引力，設 a 和 b 的質量分別為 m、m，試求 m( 用121、天文學家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運行的兩顆恒星稱為12m、m 表示 ).雙星。雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍。利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運動特(2) 求暗星 b 的質量 m 與可見星 a 的速率 v、運行周期 t 和質量 m之間21征可推算出它們的總質量。 已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的關系式；的某一固定點分別做勻速圓周運動，周期均為t，兩顆恒星之間的距離(3) 恒星演化到末期

2、，如果其質量大于太陽質量ms 的 2倍，它將有可能為 r ，試推算這個雙星系統(tǒng)的總質量。（引力常量為g）成為黑洞 . 若可見星 a的速率 v=2.7 105 m/s，運行周期 t=4.7 104 s，質量 m=6m，試通過估算來判斷暗星b 有可能是黑洞嗎？1s-112230（ g=6.6710nm/kg ，m=2.0 10 kg ）s2、神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運動規(guī)律. 天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發(fā)現(xiàn)了 lmcx3雙星系統(tǒng)，它由可見星a和不可見的暗星b 構成，3、天體運動中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星，它們在萬有引兩星視為

3、質點，不考慮其他天體的影響.a 、b 圍繞兩者連線上的o 點做力作用下間距始終保持不變，并沿半徑不同的同心軌道作勻速園周運勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變， 如圖 4-2 所示 . 引力常量為 g，動，設雙星間距為l，質量分別為m1、m2，試計算（ 1）雙星的軌道半徑由觀測能夠得到可見星a 的速率 v 和運行周期 t.（ 2）雙星運動的周期。.5、宇宙中存在一些離其他恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng) , 通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用. 已觀測到穩(wěn)定的三4、如右圖，質量分別為m和 m的兩個星球a 和 b 在引力作用下都繞o星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式: 一種是三顆星位于同一

4、直線上, 兩點做勻速周運動，星球a 和 b 兩者中心之間距離為l。顆星圍繞中央星在同一半徑為r 的圓軌道上運行 ; 另一種形式是三已知 a、b 的中心和 o三點始終共線， a 和 b 分別在 o顆星位于等邊三角形的三個頂點上 , 并沿外接于等邊三角形的圓形的兩側。引力常數(shù)為 g。軌道運行 . 設每個星體的質量均為 m.求兩星球做圓周運動的周期。(1) 試求第一種形式下 , 星體運動的線速度和周期 .在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球(2) 假設兩種形式下星體的運動周期相同, 第二種形式下星體之間的看成上述星球 a 和 b，月球繞其軌道中心運行為的周期記為t1。但在近距離應為多

5、少 ?似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行2。已知地球和月球的質量分別為24和 7.35 周期 t5.98 10 kg22216、宇宙中存在由質量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，四星系統(tǒng)離其他10 kg 。求 t與 t 兩者平方之比。（結果保留 3 位小數(shù)）恒星較遠，通?？珊雎云渌求w對四星系統(tǒng)的引力作用. 已觀測到穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式 : 一種是四顆星穩(wěn)定地分布在邊長為 a 的正方形的四個頂點上， 均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，其運動周期為；另一種形式是有三顆星位于邊長為a 的等邊三角.形的三個項點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，其運動

6、周期為，而第四顆星剛好位于三角形的中心不動. 試求兩種形式下，星體t1運動的周期之比 t2 .7、宇宙中存在一些離其它恒星很遠的四顆恒星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其它星體對它們的引力作用，穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在多種形式，其中一種是四顆質量相等的恒星位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動；另一種四顆恒星始終位于同一直線上，均圍繞中點o做勻速圓周運動已知萬有引力常量為g，求：（ 1）已知第一種形式中的每顆恒星質量均為， 正方形邊長為 l，求其中一顆恒星受到的合力；（ 2）已知第二種形式中的兩外側恒星質量均為 m、兩內側恒星質量均為m，四顆恒星始終位于同一直線，且相鄰恒星之間距

7、離相等求內側恒.星質量 m與外側恒星質量m的比值 m 。m答案1、解、設兩顆恒星的質量分別為m1、m2，做圓周運動的半徑分別為r 1、r ，角速度分別為1、 。根據(jù)題意有2212r1 r2r根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律，有gm1 m2m1w12 r1r 2.gm1 m2m1w22 r1r 2聯(lián)立以上各式解得m2 rr1m2m1根據(jù)解速度與周期的關系知212t聯(lián)立式解得42r3m1 m22 gt2、解析：設 a、 b的圓軌道半徑分別為，由題意知，a、b 做勻速圓周運動的角速度相同，設其為。由牛頓運動定律，有 f a m12 r1 ， fbm22 r2 ， fafb設 a、b 間距離為 ，則rr1r

8、2由以上各式解得 rm1 m2r1m2由萬有引力定律，有m1 m2m1m23fa gr2，代入得 fa g (m1 m2 ) 2 r12令 fa g m1 m2 ，通過比較得 mm232r1( m1 m2 ).（ 2）由牛頓第二定律，有 g m1m2m1v 2r 2r1而可見星a 的軌道半徑r1vt2將代入上式解得m23v3 t2 g( m1 m2 )2（ 3）將 m16ms 代入上式得m23v3tm2 ) 22 g(6ms代入數(shù)據(jù)得m233.5ms(6msm2)2設 m2nms(n0) ，將其代入上式得m2 3nms 3.5ms( 6msm2 61)2(nm23nms3.5ms(6ms m2

9、61)2(n3可見，m2的值隨 的增大而增大，試令 n2 ，得(6msm2 ) 2nms0.125ms 3.4ms( 61) 2n可見，若使以上等式成立，則必大于 2，即暗星 b 的質量 ms 必大于 2ms ，由此可得出結論：暗星b有可能是黑洞。.3 、解析：雙星繞兩者連線上某點做勻速圓周運動，即：.g m 1m 2m 12 l1m 22 l2 -l2. l1 l2l -由以上兩式可得： l1m 2l ，l2m 2lm 1m 2m 1 m 2m 1 m 242l又由 g2m 12 l1 .-得： t 2lltg(m 1 m 2 )4、 a和 b 繞 o做勻速圓周運動， 它們之間的萬有引力提供

10、向心力，則a 和 b 的向心力相等。且 a 和 b和 o始終共線，說明 a 和 b有相同的角速度和周期。因此有m 2 r m2 r ， rr l ，連立解得 rml ， rmlmmmm對 a 根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得gmmm( 2) 2mll2tmm化簡得t 2l3g( m m)將地月看成雙星，由得 t1 2l3g(mm)將月球看作繞地心做圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得 gmmm( 2 )2 ll2t.化簡得t2l32gm所以兩種周 期的平方比值為( t2) 2m m5.9810247.35 10221.01t1m5.9810245、解析(1) 對于第一種運動情況 , 以某

11、個運動星體為研究對象, 根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律有:f1= gm2f2gm2r2(2r)2f1+f2=mv2/r5gmr運動星體的線速度 :v =2r周期為 t, 則有 t=2rvr3t=45gm(2) 設第二種形式星體之間的距離為r, 則三個星體做圓周運動的半徑為r / 2r=cos 30由于星體做圓周運動所需要的向心力靠其它兩個星體的萬有引力的.合力提供 , 由力的合成和牛頓運動定律有：f 合 =2 gm2 cos30r 27、解：（ 1）對其中任意一顆恒星，它受到的合力為2mmmmgm2f 合 =m42 rf合g ( 2l)22gl22l2 (2 2 1)t（2）設相鄰兩顆恒行間距為 a ，四顆星總位于同一直線， 即四顆所以 r= (12 ) 31r恒星運動的角速度相同，由萬有引力定律和牛頓第二定5律，對內側星 m 有6、對三繞一模式，三顆繞行星軌道半徑均為a ，所受合力等于向心力，gmmgmmmmm2 aa2(2a)2g22a因此有對外側星 m 有mmmmmm2 3a解得gggmm : m