1、,知能整合提升,說明(1)函數(shù)yf(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)是一個常數(shù)，而函數(shù)yf(x)在一個區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)指的是這個函數(shù)在這個區(qū)間上每點處的導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的一個函數(shù)，它實際上是“導(dǎo)函數(shù)”的簡稱； (2)函數(shù)yf(x)和它的導(dǎo)數(shù)yf(x)具有相同的定義域，并且yf(x)在定義域上點x0處的函數(shù)值就是函數(shù)yf(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)值，這樣求函數(shù)在點x0處的導(dǎo)數(shù)值就可以先求出這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求這個導(dǎo)數(shù)在點x0處的函數(shù)值； (3)并不是所有的函數(shù)在其定義域上每一點處都有導(dǎo)數(shù)，如函數(shù)y|x|在點0處就沒有導(dǎo)數(shù)，但這個函數(shù)在定義域的其他點處都有導(dǎo)數(shù),2導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)yf(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何

2、意義，就是曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率，即kf(x0) 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的關(guān)鍵是搞清所給的點是不是切點，常見的類型有兩種，一是求“在某點處的切線方程”，則此點一定為切點，先求導(dǎo)，再求斜率代入直線方程即可得；另一類是求“過某點的切線方程”，這種類型中的點不一定是切點，可先設(shè)切點為Q(x1，y1)，則切線方程為yy1f(x1)(xx1)，再由切線過點P(x0，y0)得,y0y1f(x1)(x0 x1) 又y1f(x1)， 由求出x1，y1的值， 即求出了過點P(x0，y0)的切線方程,3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)復(fù)合函數(shù)g(x)在點x處可導(dǎo)，yf()在點處可導(dǎo)，則復(fù)

3、合函數(shù)fg(x)在點x處可導(dǎo)，且f(x)f()g(x)，即yxyx.利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)后，要把中間變量換成自變量 說明求導(dǎo)數(shù)時，先化簡再求導(dǎo)是導(dǎo)數(shù)計算的基本原則一般情況下，有四類函數(shù)求導(dǎo)數(shù)在解題時較容易出錯，需要特別注意，即分式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和復(fù)合函數(shù),三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 (1)在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x)0能推出f(x)為增函數(shù)，但反之不一定如函數(shù)f(x)x3在(，)上單調(diào)遞增，但f(x)0， f(x)0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件,(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是導(dǎo)數(shù)的主要應(yīng)用之一，其

4、步驟為： 求導(dǎo)數(shù)f(x)； 解不等式f(x)0或f(x)0； 確定并指出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間、減區(qū)間 特別要注意寫單調(diào)區(qū)間時，區(qū)間之間用“和”或“，”隔開，絕對不能用“”連接,2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值和最值 函數(shù)的極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性，而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)；函數(shù)的最值是個整體性概念，最大值必是整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值，最小值必是整個區(qū)間上的所有函數(shù)值中的最小值 (1)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟： 確定函數(shù)f(x)的定義域； 解方程f(x)0的根； 檢驗f(x)0的根的兩側(cè)f(x)的符號,若左正右負(fù)，則f(x)在此根處取得極大值； 若左負(fù)右正，則f(x)在此根處取得極小值

5、； 否則，此根不是f(x)的極值點 說明可導(dǎo)函數(shù)的極值點必須是導(dǎo)數(shù)為0的點，但導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點，即f(x0)0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在xx0處取得極值的必要不充分條件例如函數(shù)yx3在x0處有y|x00，但x0不是極值點此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點也可能是函數(shù)的極值點,(2)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最大值、最小值的方法與步驟： 求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； 將求得的極值與f(a)，f(b)相比較，其中最大的一個值為最大值，最小的一個值為最小值 特別地，當(dāng)f(x)在a，b上單調(diào)時，其最小值、最大值在區(qū)間端點取得；當(dāng)f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個極值點時，若在這一點處f(x)有極大(或極小

6、)值，則可以斷定f(x)在該點處取得最大(或最小)值，這里(a，b)也可以是(，),四、定積分 1求定積分 求導(dǎo)運算與求原函數(shù)運算互為逆運算，求定積分的關(guān)鍵是要找到被積函數(shù)的原函數(shù)為避免出錯在求出原函數(shù)后可利用求導(dǎo)與積分互為逆運算的關(guān)系進行驗證,2利用定積分求平面圖形的面積 將求平面圖形的面積轉(zhuǎn)化為定積分運算時，必須確定的是被積函數(shù)，積分變量，積分上、下限一般步驟為： 畫圖； 確定要素(找到所屬基本型，確定被積函數(shù)的積分上、下限)； 轉(zhuǎn)化求值 要注意當(dāng)所圍成的圖形在x軸下方時積分值為負(fù)，因此，需對其定積分取絕對值,熱點考點例析,【點撥】函數(shù)yf(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線yf(x)在

7、點P(x0，f(x0)處的切線的斜率也就是說，曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率為f(x0)，相應(yīng)的切線方程為yy0f(x0)(xx0),導(dǎo)數(shù)的幾何意義,思維點擊切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形為直角三角形，要求其面積關(guān)鍵是求兩條直角邊的長，為此只要求兩條坐標(biāo)軸與切線交點的坐標(biāo)，從而應(yīng)先求出切線的方程,【點撥】在區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,思維點擊先求定義域，然后求導(dǎo) (1)中利用f(x)0及f(x)0求單調(diào)區(qū)間 (2)中利用

8、x1,2時f(x)0或f(x)0恒成立,2設(shè)函數(shù)f(x)x33axb(a0) (1)若曲線yf(x)在點(2，f(2)處與直線y8相切，求a，b的值； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,【點撥】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用： 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)非常有用的工具，可以和許多考點相聯(lián)系： (1)求函數(shù)的最大值與最小值；求函數(shù)的極大值與極小值；已知最值與極值，求參數(shù)的值 (2)解決恒成立問題 (3)數(shù)形結(jié)合，研究函數(shù)的圖象交點情況(方程根的個數(shù)問題),導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,函數(shù)f(x)x2ex1ax3bx2，已知x2和x1為f(x)的極值點 (1)求a和b的值；,當(dāng)x1，)時，h(x)0， 所以h(x)在1，)上單調(diào)遞增， 故當(dāng)x

9、1，)時，h(x)h(1)0. 所以對任意的x(，)，恒有h(x)0. 又x20，因此f(x)g(x)0. 故對任意的x(，)，恒有f(x)g(x),3設(shè)函數(shù)f(x)ax2，g(x)a2x2ln x2，其中aR，x0，是否存在負(fù)數(shù)a，使得f(x)g(x)對一切正數(shù)x都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由 解析：令h(x)f(x)g(x)axln xa2x2(x0)， 假設(shè)存在負(fù)數(shù)a，使得f(x)g(x)對一切正數(shù)x都成立， 即當(dāng)x0時，h(x)的最大值小于等于0. 下面求h(x)的最大值,【點撥】定積分是解決求平面圖形的面積，特別是不規(guī)則圖形的面積、變速直線運動的路程及變力做功

10、等問題的方便而且強有力的工具,定積分及其應(yīng)用,求由曲線yx2，yx及y2x所圍成的平面圖形的面積,答案：C,2已知f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象只可能是(),解析：由f(x)的圖象知函數(shù)f(x)的切線斜率先增大后減小，故選D. 答案：D,2與直線2xy40平行的拋物線yx2的切線方程為() A2xy30 B2xy30 C2xy10 D2xy10 解析：由導(dǎo)數(shù)定義求得y2x， 拋物線yx2的切線與直線2xy40平行， y2x2x1，即切點為(1,1)， 所求切線方程為y12(x1)， 即2xy10，故選D. 答案：D,4若函數(shù)f(x)滿足xf(x)0，則下列

11、關(guān)于f(x)的判斷中正確的一項是() Af(x)可能是奇函數(shù) Bf(x)可能是偶函數(shù) C若1x1x21，則f(x1)f(x2) D若1x1x21，則f(x1)f(x2),解析：由xf(x)0知，當(dāng)x0時，f(x)0， 當(dāng)x0時，f(x)0. 所以f(x)在(，0)上單調(diào)遞減， 在(0，)上單調(diào)遞增 若f(x)為奇函數(shù)，則在(，0)與(0，)單調(diào)性一致， 故排除A.又x1，x2不同在一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)且f(x)的解析式?jīng)]有給出，故無法比較f(x1)與f(x2)的大小，排除C、D.故選B. 答案：B,5由曲線yx2，yx3圍成的封閉圖形的面積為_,6函數(shù)f(x)x3ax在區(qū)間(1,1)上為減函數(shù)，在(

12、1，)上為增函數(shù)，則a_. 解析：f(x)x3ax，f(x)3x2a. f(x)在(1,1)上為減函數(shù)，在(1，)上為增函數(shù)， f(1)3a0.a3. 答案：3,7設(shè)函數(shù)f(x)x3ax29x1(a0)若曲線yf(x)的斜率最小的切線與直線12xy6平行，求a的值,8設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值； (2)求證：當(dāng)aln 21且x0時，exx22ax1. 解析：(1)由f(x)ex2x2a，xR，知f(x)ex2，xR. 令f(x)0，得xln 2. 于是當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：,故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2)， 單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，)； f(x)在xln 2處取得極小值，極小值為 f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a),