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1、*7.10 常系數(shù)齊次微分方程組,第七章,第一步 “消元” 化為高階常系數(shù)齊次線性微分方程,第二步 “消元” 解此高階微分方程,第三步 把已求得的函數(shù)帶入原方程組，再求出 其余的未知函數(shù),例 略,一階微分方程的分類及求解,1. 一階標準類型方程求解,關鍵: 辨別方程類型 , 掌握求解步驟,三個標準類型:,可分離變量方程,齊次方程,線性方程,一般形式:,常見形式:,第7章 內容回顧,可分離變量方程:,(1)定義,(2)求解,分離變量,兩邊求不定積分,得隱式通解,（只要一個積分常數(shù)，且要適當）,一階齊次方程:,(1)定義,(2)求解,令,代入,（可分離變量方程）,一階線性方程微分方程:,(2),(

2、1)定義,（時，非齊次）,（時，齊次，也是 可分離變量的）,的通解,（不含積分常數(shù)）,的通解,（三不定積分均不含積分常數(shù)）,通過常系數(shù)變易法，推導而來,令,代入,得,2. 一階非標準類型方程求解,(1) 變量代換法 通過適當?shù)拇鷵Q化為已知類型,如P315第7題,令,令,令,原方程化為,(2) 對換自變量與因變量,如P313例3,一階線性微分方程,逐次積分求解,高階微分方程分類及解法,其中,高階微分方程主要研究的是：,（特點:二階不顯含y）,（特點:二階不顯含x）,（二階線性常系數(shù),非齊次f(x)0,齊次f(x)=0,可降階的高階方程,令,降為一階,n次積分均不要常數(shù),令,代入,降為一階,實根,

3、特征方程:,若特征方程含 k 重復根,若特征方程含 k 重實根 r , 則其通解中必含對應項,則其通解中必含,對應項,特征方程:,推廣:,將不同根對應的項加在一起得原方程通解(系數(shù)要區(qū)分開).,（二階線性常系數(shù),非齊次f(x)0),當 是特征方程的 k 重根 時,可設,特解,此結論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .,則可設特解:,其中,為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述結論也可推廣到高階方程的情形.,線性微分方程解的結構,一、一階線性方程,通解:,非齊次方程的特解,對應齊次方程通解Y,二、高階線性方程解的結構,二、高階線性方程解的結構,是 的解.,定理1.,(以二階為例),設,的解,設,(2)的解,(1),為任意實常數(shù),是 的解.,是 的解.,是 的解.,是 的解.,(1),(1),(2),(1),是,的解,定理 2.,是二階線性齊次方程的兩個線,性無關特解, 則,數(shù)) 是該方程的通解.,線性無關的充要條件為：,常數(shù).,推論.,是 n 階齊次方程,的 n 個線性無關解,則方程的通解為,是二階非齊次方程,的一個特解,Y (x) 是相應齊次方程的通解,定理 3.,則,是非齊次方程的通解 .,定理 4.,分別是方程,的特解,是方程,的特解.,定理 5.,是對應齊次方程的 n

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